1.1.平面直角坐标系,伸缩变换

新课标人教版课件系列《数学》选修4－42021/5/911.1.1《平面直角坐标系》2021/5/92（1）学会用坐标法来解决几何问题。（2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。（3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换公式。教学目标2021/5/93教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。2021/5/94第一讲坐标系2021/5/95一．平面直角坐标系的建立2021/5/96思考:声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）

2021/5/97yxBACPo2021/5/98

以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，

设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，yxBACPo则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)故|PA|－|PB|=340×4=13602021/5/99由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，2021/5/910答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.用y=－x代入上式，得，∵|PA|>|PB|,2021/5/911

解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明坐标法2021/5/912例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为解：A(0,0),B(c,0),F(,0).因此，BE与CF互相垂直.2021/5/913建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

具体解答过程见书本P4你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？2021/5/914xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?2021/5/915

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：1

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点2021/5/916（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx2021/5/917在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。22设点P（x,y）经变换得到点为2021/5/918（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx2021/5/919

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。32021/5/920定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。2021/5/921例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=12021/5/9221.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线2021/5/9232.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程