基本不等式（第2课时）同步学案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第第页 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2.2基本不等式(第2课时）课时学习素养目标：1.能够对式子进行变形，构造定值2.熟练掌握基本不等式及变形的应用.（数据分析）；3.能运用基本不等式求代数式的最值（数学运算）·必识【导】一、两个重要结论已知x、y都是正数，1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．二、运用基本不等式求最值的三个条件：1.“一正”：x，y必须是；2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为.3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。如果题目中基本不等式不能满足“一正”、“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。思：探究一利用基本不等式求最值基本不等式的变形：（1）ab≤a+b22,（2）a+b≥2ab,a,（1）已知x>0，求x+若x<0，求x+1迁移应用1.已知x<0，求最大值。思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0，，通过变形再利用基本不等式求最值。探究二变形构造定值—配项法例2.当x>1时，求函数y＝x＋eq\f(1,x－1)最小值。迁移应用2.已知已知x>1，求y=4x+1+解题感悟：以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x)＝ax＋b＋eq\f(e,cx＋d)的函数求最值时可以考虑配凑法．探究三变形构造定值—配系数法例3.已知0<x<12，求y=x(1−2x)的最大值迁移应用3.已知0＜x＜125，求y＝x(12－5x点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。探究四变形构造定值—分式型基本不等式例4.已知x>0，则函数的最小值为_______.迁移应用4.（1）函数f(x)=x2−4x+5x−2(x⩾52A.最大值52 B.最小值52 C.最大值2 D.（2）已知x＞0，求y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．解题感悟：分式型基本不等式有两种形式当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。探究五变形构造定值—常值代换法“1”的代换例5.已知a>0，b>0，1a+1b=1A.14B.12C.2D.迁移应用5.已知a，b均为正实数，且2a+3b=4，则3a+2bA.3 B.6 C.9 D.12解题感悟：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by为定值，求eq\f(c,x)＋eq\f(d,y)的最值”或“已知eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)为定值，求cx＋dy的最值”(其中a，b，c，d均为常参数)时可用常值代换处理。应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.【检】1.已知x>0，y>0，且2x+A.14B.12