计量经济学讲义

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第四讲趋势和DF检验（修订版）此翻译稿制作学习之用，如有错误之处，文责自负。趋势平稳序列（TS）（图1和2）一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势（序列的均值），其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。线性确定性趋势：y产以+位+弓弓〜，微。02）t=1,2,...平方确定性趋势： 叫=a+位+yt2+§弓〜iid0,b2）t=1,2,...通常： yt=f（t）+et 弓〜iid（0,b2）t=1,2,...均值是是随时间变化的（川），但是方差是常数。£t可以为任意平稳序列，也就是说，不一定要是白噪声过程。通过拟合一个确定的多项式时间趋势，趋势可以来消除：拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。一个带线性确定性趋势AR（1）过程可以写作：y—a一伐=8（y—a—。（t-1））+& &-iid（0,b2）t=1,2,...t 1 t-1 t t此处确定性趋势被yt减去。然而在实践中，a、。是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被重述为：y=（1—8）a+8P+（1—8）pt+8y+£t 1 1 1 1t-1t其中包含一个截距和一个趋势，也就是y=a*+。*t+8y+£t 1t-1t此处a*=（1—8）a+8P 且p*=（1—8）P11 1若18「V1，那么此AR过程就是围绕一个确定性趋势的平稳过程.差分平稳序列（DF）（也叫单整序列）和随机性趋势如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过d次差分得到，那么我们说这个序列就是d阶单整的，写做I（d）.这一过程也因此叫做差分平稳过程（DSP）.因此，平稳序列就是零阶单整的，I（0）。白噪声序列是I（0）。所以如果序列”t=&yt是平稳的，那么yt就是I（d）。A是差分算子，即Ay=y—Ay=y—y,&y=AAyttt-1t t=A(yt一yt-1)=(yt—yt1)—(yt1—y)=y—2y+y等等t-2tt-1 t-2如果序列w=Ay=y—y是平稳的话，y是I（1）；t ttt-1 t如果序列w=A2y=y—2y+y 是平稳的，y是I(2)，t tt t-1 t-2 t随机游走（图3）J是随机游走的，如果满足J=J+£此处§〜2d0,b2）t t t-1 t L £这是一个ar（1）过程，且在yt=^yt1+£七中具有根4=1这一序列被称为具有单位根，或者叫做1阶单整，I（1）。注意：y—y1=Ay=£假设此过程在t=0起始处有一个确定的值y0.那么，y1=yo+£1y=y+£=y+£+£2 12 0 12y=y+£+£+...+£=y+^^£2 0 12 t0 TT=1注释:（a） 在（1）式中，yt被表示为初始值y0和一个序列的局部的和£七（即所谓的随机趋T=1势）。所有随机冲击£对序列yt都有永久的影响，它们可以永久的改变yt的水平，而在平稳序列中，冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此，称随机游走具有一个随机趋势。（b） E（yt）=y0+t*0=y0 ［定值］Var（yt）=Var（E£）=to2T=1都时间依赖的，即，Var（"存在趋势。所以yt是非平稳的。但是Ayt=£.是平稳的。这也叫做不带漂移的随机游走。（c）Ayt=R+£t称作带漂移的随机游走。现在，Ayt=y0+tR+£七 可以推出T=1E（yt）=y0+tR 均值具有趋势Var（y>to2 方差具有趋势就是说，不带漂移的随机游走只有方差具有趋势，而带漂移的随机游走均值和方差中都具有趋势，即不仅有确定性趋势y0+tR，也有随机性趋势£七

（d） 因此随机游走是一个I（1）序列。由于差分平稳序列通常可以用ARMA（p,q）表示，所以随机游走是一种特殊的I（1）序列。但是对于随机游走来说，其中弓〜iid（0,b2）［当由j=j+£nj=j+Ss时，我们使用单整这个词，总和三单整］t t-1 t t0 t（e） 在J=J+£中，冲击的影响会持续到永远，而在平稳序列中，例如，J=8J+£t t-1 t t1t-1t中，冲击的影响会随着时间的流逝趋向于0。（f）一个I（0）序列将围绕着均值波动，而且观测值会频繁的与这个值相交。I（1）序列会不断扩散而很少回到其早先的值。（g） 对于I（0）序列其相关系数Pk—0（迅速地）。对I（1）序列，其相关系数对于任何滞后期k都在1附近。（i）当我们分析分平稳序列的时候，标准分布理论（中心极限定理）会失效。特别地，弱大数定律（WLLN）也不成立。弱大数定律说的是：在一定条件下，当样本容量趋向于无穷的时候，样本距会收敛于总体距。I（0）和I（1）序列的区别一小结I（0）I（1）冲击的影响随时间的消逝趋向于0冲击的影响永远持续观测值绕着均值波动且经常与均值相交观测值偏离均值很大且很少回到先前的值自相关系数很快趋向0，PkT0相关系数对于任何滞后期k都在1附近中心极限定理适用中心极限定理不适用通过读图辨别非平稳性纯粹的随机游走和带漂移的随机游走的图示如下1050-520 40 60 80100120140160180200120-100-withstochastictrend /uu80/产60J1050-520 40 60 80100120140160180200120-100-withstochastictrend /uu80/产60J—r4020-yv0--1-2O72004006008001000图例另见讲义P30纯粹的随机游走过程在整个时间段内，不显示任何上升或者下降的趋势，也不显示趋向于一个给定的均值的趋势（比如汇率）；而带漂移的随机游走的时间路径有确定性的趋势主导（例如货币供给，GNP等）。这些序列可以从一个长期的确定性的趋势中得到。在小样本的情形下，很难区分出纯粹的随机游走和带漂移的随机游走。漂移R的绝对值较小，或者冲击£的方差较大，都将掩盖带漂移的随机游走的长期中所具有的趋势。同时要区分（具有确定性趋势的）平稳AR过程和（带漂移的）随机游走也不是很容易的。趋势平稳序列（TF）和差分平稳序列（DF）图例见讲义现在我们来考虑下述三个序列：1） 平稳的1） 平稳的AR（1）过程2） 带漂移的随机游走3） 发散过程j=0.05+0.95j/£r=0.05+r+£z=0.05+1.05z1+£样本容量1500图示见讲义一个对平稳性的非正式检验是基于对相关图的观察。一个平稳AR序列的相关图应该按指数规律下降，而对于非平稳序列则下降得非常缓慢。下面是y和r序列的自相关系数的一些数据变化的比较。滞后期数自相关系数y:平稳的AR（1）过程r:带漂移的随机游走10.9510.99530.8560.98250.7830.972110.5960.939150.4960.917360.1270.770上述两组自相关系数的变化模式是很不相同的，这就验证了y序列的平稳性和随机游走的非平稳性。非平稳性检验（单位根检验）单位根的存在也就意味着中心极限定理的失效。因此在进行任何估计前，为了运用适当的去趋势的方法，检验该序列的平稳性就显得很重要了。迪基-富勒（DF）检验和修正的DF检验A单假设检验考虑一个ARC1）过程y=Py+£ £~iid（0,b2）如果P=1，则上述等式就定义了一个纯粹的随机游走过程，而且y是非平稳的。检验非平稳的零假设为H0：P=1。此假设检验就是所谓的单位根检验。检验零假设的一个简单的方法是把ARC1）等式化为如下形式：

ytyt1（ 1）yt1 t ytyt1t因此假设Ho： =1现在就等价于要检验Ho： 0,而且我们只要相应的检验1（0）就可以了（因为拒绝域在左边）。我们不考虑II1的情形，因为在此情形下序列是发散的，而在经济数据序列中我们并不认为会是发散的。上述等式也可以包含一个常数项：yt yt1t还可以包含一个常数项和一个趋势变量,yt tyt1t进行检验时，我们用OLS对上述三个回归中的一个进行估计，然后将前的系数的t统计量与适当的临界值进行比较得到结论。(1)（即无常数项等式）的的七比率为,nc序列）。(1)（无趋势项等式）的（带趋势项等式）的（2）（3）每一种情形下如果拒绝H0,那么有:的七比率为(1)（即无常数项等式）的的七比率为,nc序列）。(1)（无趋势项等式）的（带趋势项等式）的（2）（3）每一种情形下如果拒绝H0,那么有:的七比率为的七比率为H0都是ct（单位根），对应于H］为0（平稳在⑵中，y是均值为非0的平稳序列；［yyt1 七或者）七有确定性趋势的yt1平稳序t列此处 （1在（3t）］）中， yt是均值为t具[yabt(yab(t1))或者y ty此处ta(1-)t1 tb，且b(1 )]t t1tyt1]t在（1）中，yt是均值为0的平稳序列;上述临界值由Fuller,W.A.1976年的IntroductiontoStatisticalTime时间序列统计概论）和迪基与富勒在1981年的计量经济学刊物上的文章给出（这些临界值只针对一些样本容量而言）。注释:在H0成立的条件下，不服从t分布。相对于t分布或者N（0,1）正态分布来说，的分布向左移了。要拒绝零假设就需要较大的负值。见下表：为了在5%的水平下拒绝H0的话，我们需要＜-1.95对于一个N（0，1）的5%的单边检验，或者是较大T值的t检验来说，临界值为-1.645所以不恰当的使用标准正态分布进行单边检验将会导致对于零假设的过度拒绝。单位根检验的渐进临界值（见讲义P33）请自己填列！

4.039常数加趋势的情形的5%的临界值为C.V.=-3.4126-4.039常数加趋势的情形的5%的临界值为C.V.=-3.4126-同17.831062=-3.4523(相关数据可以从N=1行中的麦金农的表格中得到）。若ty=Y-0

se(Y)<CV，T，则拒绝零假设，而接受备择假设H1：Y<0。响应面协整检验的临界值n模型%8s81821常数+趋势15-3.4126-4.039-17.8310如果（1）（2）（3）式中的误差项是序列相关的（yt为一个AR（p）过程），此时我们就应当使用修正的DF检验（ADF）。这一检验的方法为扩展对滞后差分项的DF回归。因此（4）像(3)式就变为：Ay=a+pt+yy+会e+£（4）t-1 jt-1 t

j=1此处，需包括充足的滞后的一阶差分，用来确保ADF回归中的误差项为近似的白噪声-0过程。对单位根的检验是通过计算〃的一个t统计量进行的，仃晶，其中的临界值与DF检验中的一样。通常地，AR（p）过程可以重设参数为:AyAyt=Yyt-1+云8Ay+£j=1例如，我们可以重述AR（2）过程为y=8y+8y+£，t1t-1 2t-2 t写为差分形式如下，Ay=(8+8—1)y-8Ay+et1 2 t-1 2t-1 tAy=yy+6Ay+£t t-i1t-it此处，y=q+82-i,且61=一©2存在单位根的时候，©+©=1。记住，©+©<1是AR（2）过程平稳性的必要条件。12 12这就是为什么我们检验H0：y=0和H1：y<0时，我们其实就是在检验单位根的存在的原因。单位根检验的局限性：功效和检验水平的问题［功效=当零假设为假时拒绝领假设的概率；检验水平=显著性水平，犯第一类错误的概率，即当零假设为真的时候却拒绝的概率］功效小的原因：（a）样本容量较小（b）P接近于1；（c）存在结构突变（译者注：可能就是结构不稳定的意思）。因此，拒绝H0的失败，只能为优先选择随机游走假说提供较弱的证据。检验的检验水平可能受下述因素影响：低估滞后长度或者使用了错误的检验等式（比如确定性趋势上的错误）。ADF回归的滞后长度的选取有以下几种方法：（a）用最小化的选择标准，像赤池信息准则（AIC）或者施瓦茨准则（SC）；（b）首先选取一个较大的滞后阶数，用标准正态分布检验最后一个自回归系数的显著性，如果接受零假设就减少一个滞后阶数；（c）对p使用不同的值，观察ADF检验的结果是否具有稳健性;（d）选取使误差项呈近似白噪声过程的最小的p值。确定性趋势的选取：建议：用带常数项的回归，画出序列的图像，看它是否像纯粹的随机游走。如果看起来像带漂移的随机游走过程，那就用带常数和时间趋势的项进行回归。因此，对于通货膨胀就使用模型（2），而产出则使用模型（3）B、联合检验对单位根和确定性趋势进行联合检验，这是可以实现的。就拿（2）和（3）等式本身，或者针对ADF识别的修正式来说，联合检验就有如下几种情形：用于检验（2）式中的以=y=0的F统计量（受约束的比上不受约束的RSS），我们称之为①；1用于检验（3）式中的以=0=丫=0的F统计量，我们称之为①2用于检验⑶式中的P=Y=0的F统计量，我们称之为①3。Az=a+yz+£H0：以=y=0①Az=a+pt+yz+£H:以=P=y=0①tt-1 t02Az=a+pt+yz+sH:p=y=0①tt-1 t03这些F统计量的分布也是非标准的，迪基和富勒（1981）已经给出了其临界值。这些临界值的一个样本参见GujaratiTableD.7,附录D.菲利普斯和配荣（PP）非参数检验就像ADF检验一样，菲利普斯和配荣检验也是对上述三式的假设y=0进行检验。与ADF检验不同的是，菲利普斯和配荣检验没有滞后差分项。相应的，这个等式就用普通最小二乘法进行估计（可以选择是否包括常数和时间趋势项）然后修正这些系数的t统计量，因为£t存在序列相关，所以运用内维-维斯特方法调整这些标准差。这些检验的临界值与ADF的相等。在有些情形下，菲利普斯和配荣（PP）非参数检验比ADF更好，而且对过度的滞后长度不敏感。二阶单位根的检验运用如下的模型就可以办到：△2yt=a+yAyt1+^62、.+£tj=1然后用与麦金农相同的临界值检验H0：y=0，备择假设H1：y<0，以检验单位根。注意:在这种情形下，只有（1）和（2）式是合理的。单位根检验和结构性突变如果一个平稳序列在截距处（水平性）或者确定性趋势斜率处（增长性）显示了结构性突变