人教A版高中数学第四章数列4.1数列的概念课件选择性必修第二册

第四章

数列4.1数列的概念学习目标素养要求1.理解数列的有关概念与数列的表示方法逻辑推理2.掌握数列的分类数学抽象3.理解数列的函数特征，掌握判断数列增减性的方法逻辑推理4.掌握数列通项公式的概念及其应用，能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式数学运算5.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项逻辑推理6.掌握数列的前n项和，能够求得数列an和Sn的关系逻辑推理自学导引1．定义：按照确定的__________排列的一列数称为数列．2．项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为__________)，a2称为第2项，…，an称为第n项．3．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为__________．数列的概念顺序每一个数首项{an}【预习自测】(2022年南阳月考)(多选)下列有关数列的说法错误的是 (

)A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】ABC【解析】同一个数在数列中可以重复出现，故A错误；数列是有序的，故数列－1，0，1与数列1，0，－1是不同的数列，故B错误；{1，3，5，7}为集合不是数列，故C错误；由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故D正确．故选ABC．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数________的数列无穷数列项数________的数列按项的变化趋势递增数列从第________项起，每一项都________它的前一项的数列有限无限2大于分类标准名称含义按项的变化趋势递减数列从第________项起，每一项都________它的前一项的数列常数列______________的数列摆动数列从第________项起，有些项________它的前一项，有些项________它的前一项的数列2小于各项都相等2大于小于其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)【答案】(1)

(2)(3)(4)

(3)

(4)

(1)

(2)如果数列{an}的第n项an与____________之间的对应关系可以用______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．它的序号n数列的通项公式一个式子【预习自测】1．是不是所有数列都有通项公式？如果有，是否唯一？2．数列与函数有何区别与联系？解：区别：数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子集)，而函数的定义域为实数集R(或它的子集)．联系：数列是特殊的函数．如果一个数列的____________或___________的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．相邻两项数列的递推公式多项之间【预习自测】在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.【答案】21【解析】由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.数列{an}的前n项和数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋anS1Sn－Sn－1Snn一个式子【预习自测】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．课堂互动分别写出下列数列(数列的前4项已给出)的一个通项公式：题型1探求数列的通项公式【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据．已知数列的前几项求通项公式的一般规律此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等；②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；④对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的前3项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．解：(1)∵an＝3n2－28n，∴a1＝3×12－28×1＝－25，a2＝3×22－28×2＝－44，a3＝3×32－28×3＝－57.题型2数列通项公式的应用通项公式的应用主要包括的两个方面(1)由通项公式写出数列的前几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；(2)判断一个数是否为该数列中的项．可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项．【解题探究】将已知等式进行变形，利用“累乘求积”得到通项公式．题型3由递推公式求数列中的项或通项3．已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)．根据数列的首项和递推公式，写出它的前五项并猜想出该数列的一个通项公式．解：由条件得a1＝0，a2＝0＋1＝1＝12，a3＝1＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，a5＝9＋(2×4－1)＝16＝42，由以上各项猜想出数列的一个通项公式为an＝(n－1)2.

(2021年上海期末)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2n＋3，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________．题型4由前n项和Sn求通项公式已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．4．已知数列的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1，则{an}的通项公式为an＝________．【答案】2n＋1【解析】当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1(n≥1)，又∵S2＝a2＋22－1＝a2＋3，∴a1＋a2＝a2＋3，∴a1＝3＝2×1＋1，∴{an}的通项公式为an＝2n＋1.已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，求an.易错警示对递推公式变形时忽略n取值的变化而致误素养训练1．数列的有关概念：概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式前n项和我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an1．(题型1)(2022年东莞期末)数列－3，－1，1，3，5，…的一个通项公式为

(

)A．an＝－2n－5 B．an＝－2n－1C．an＝2n－5 D．an＝2n－1【答案】C【解析】－3，－1，1，3，5，…，由分析可得a1＝2×1－5＝－3，a2＝2×2－5＝－1，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×