中科大理论力学课后习题答案

2-6题解:

2-5题解：由题意可知：OB=&2+H?p=1(1+COS(p)

vp=-la)sin6?/,%=%>(1+coscut}

.二吊桶上升运动：S=OB-H=^X2+H2-H2

⑵ap=—lai(1+2coscot)

将％=匕，代入并对S求时间导数a0=-2la)2sin.0，

七=S=*』+由—H)=+即什+由—Hp=/J2cos2(p

—IsintIrr------

v=一厂--,v=-72cost

J2cosf2

2

ap=-7(1+2cosi)(2cosf)一%,

%=-Isint/A/2COS7

p—Z(sin(p-tg(p—cos(p)

〃(，2+3)

⑷'(/+1)%(l+z2)V/2+1

匕2/247(1-/2)87/

X2+H2(x2+H2)3/2?二77谓(1+尸)%

2-14题解：由a=-f⑥并设初速度为％2-15题解：

建立图示参考坐标系Axy。写出C点的运动规律为:

则

=v-

v(00*Tu/(0^

v(T)=vo_L/(O.=0

*u

ds=v-dt

■■■5=讣。-〕"⑺呼

=『〕：(〕)⑺町成

毛=bcos(p+a=bcos(Dt+a

而J：[J；f⑥dt]dt采用分步积分法，

yc=bsin(p+atg(p=bsina)t+atg(ot

点的速度匕，匕分别为：

J：(£/(o出)出=tf；2)比卜。•d(£/(o流c

vx=xc=-basinet

成I；+『d威)

^=v0T-t£/(O•2

vy=yc=b①cos(Dt+a(o/coscot

点的加速度里,多分别为：

%丁-『J；/⑴成=(v0-J：/⑥流)•7c

=v(7,)-T=Oax=xc=-b(£^cos6)/

S=Q〃。流。23

av=yc=(-6+2/cossin6)/

2

2-16.解:设此固定轮的半径为R

初始位于x轴上(五,0),任一时

刻M点的坐标为(xj)

当圆心角为6时，利用渐

开线公式，易得：

2-17题解：

R设上岸地在距A处x公里的E处。

x=------(Rtg&-R。)sin9=Kcos9+R&sin&由A处出发经E到B处用时为T

cos<9

y=Ksin9-KJcos®7=热+«7"%2=7。

M嗡x务心/=V41*41-92

二［(K9cos0)2+(K9sin8)2］，=五e求最少用时，即求T的最小值

dT八4.32(/-x)

c&1

S=IR&d&=-R002心’5.4却—+92

Jo2

求得：

即；s(e)=；xd

4%=28公里处。

3

2-20题解:2-35题解

VA,B两点在垂直于AB连线的速度分量是相等的。解。当小球以高为H处滑下时，小球在D点的速度为v

AB之间的连线始终平行于原来的连线。

则由动能定理mgH=[mv2（1）

/沿直线运动.即pi恒定（外，方恒定）

V要求最小高度H,应使v最小而使小球正好落在E点,

又；％sin^=%sin%，做恒定

以D为原点，市为x轴建立坐标

即B也一定沿直线运动.

系如图示。

xB=V2sin中2-t由几何关系，E与x轴的夹角为45°

Bt=。时为=。

~（右*+yg）"=匕；♦s=J。6必-W

设经t秒由D到E,则:时V」=0，

0=(2)

卜4=匕sin。/乙22

对干

Ja=%cos*/I=——vt⑶

2

AB=r+y-y=r+Vtcos(pVtcos(p*=沁尸

QABQxr22(4)

AB=Q时相遇此时？8=。+咒4连立求解（1）,（2）,（3）,（4）可得

即七tcos02=匕1COS01+0

H.=—/=20cm

■2

I=-----------------------

Vcos02一匕cos%h=b=—I=10cm

24

4

2-38题解

解(1)建立Oxy坐标系，利用机械能守恒(绳

的拉力与运动方向竖直，不做功)可得

-mg/?(sin3+cosa)=Jm(y^-VQ)

mgsin6=mVl

R

解方程组，得v,=1.57m/s,9=30°

M点的坐标为斗，»

2—36题解

(2)之后，小球以初速度》作斜上抛运动，一直到小球到达最低点，绳子又重

解.建立如图所示的坐标系y

新拉直。设当小球运动到任一位置6。)有

诟=±K=£X20=1(

x=x+Vjsin6-t=_Rcos6+%sin8-t

220

1212

BM=1-AB=369cMy=+%cosO——gt=Rsm6+%cosO--gt

/=0时，舷点的初位置Jx=—0.433+0.78%

代人数值得轨迹参数方程[y=0.250+1.356"4.900尸

肛-幽)

(36.9c20cv=0222

走完这段轨迹时x+y=R=0.25

当转动角度为a时，取点坐标将轨迹方程代入求得t=0.55(s)o

'X=(Ra+36.9)cosa-Rsina或取M点为新坐标原点，在Mx?y＞坐标系中描写以

后的运动：

y=-(Raa

+36.9)sina-Acosx-VjsinOt

12

a=60°即a=巴时，代入得y=vYcosO--gt

3

老坐标的原点为(应?.-L),当绳子再拉直的时

也

%=11.58c22

y=-60.06加候一定在园上，有

产

在此过程中只有重力做功，机械能守恒8-4/)2+3+1)2=

=馆(%-y)=憎(-20+60.06)x1。"代入•并利用£=。得：-g2t2-^~V\gt+(V：-;gj)=0

v=2.83w/s

解得t=”S

3.2解

(a)刚体B既受到绳的柔性约束，又受到墙壁的面约束，

同时刚体B上各质点之间存在着刚性约束；其特征是：

柔性约束不可伸长、刚性约束两点间距离不变、面约

束是面接触。

(b)杆BE既受到绳AB的柔性约束，又受到点E的柱较链

约束，同时杆BE上各质点之间存在着刚性约束，其特

征是：柔性约束不可伸长、刚性约束两点间距离不变、

柱投链约束限制杆BE在BDE平面内运动；刚体D只受

到绳的柔性约束，同时刚体D上各质点之间存在着刚

性约束，其特征是柔性约束不可伸长、刚性约束两点

间距离不变。

(c)杆BE既受到墙角E的点约束和刚体A的线约束，又受

到点B的球锐链约束，同时杆BE上各质点之间存在着

刚性约束，其特征是：点约束是点接触、线约束是线

接触、球较链约束限制杆的自由端只能在以B为中心

以杆长为半径的球面上的运动、刚性约束是杆上两点

间距离不变；刚体A受到杆BE的线约束和墙壁的面约3.4解

束，同时刚体A上各质点之间存在着刚性约束,其特征注：1,每一自由刚体在平面内有三个自由度；

是：线约束是线接触、面约束是面接触、刚性约束两2,平面内两个刚体有一公共节点，则存在两个约

点间距离不变。束方程

(d)质点D只受到绳的柔性约束，其特征是不可伸长；动3,每一较链约束对刚体有两个约束方程

滑轮只受到绳的线约束，其特征是线接触；定滑轮既本系统有三个刚体，若不考虑约束，愫统有9个自由

受到绳的线约束又受到点E的柱较链约束，其特征是：度，实际上系统受到两个较链约束，两个节点，故系统有

线约束是线接触、柱较链约束限制滑轮在某一平面内

9-2x2-2x2=1个自由度，其广义坐标可选择AC和AB的连

运动；同时作为刚体，两滑轮上各质点间存在刚性约

束，其特征是两点间距离不变线的夹角a。

6

3.6解

系统共有三个刚体，若不考虑约束系统有9个自由

度，实际上系统受到一个较链约束、两个节点约束、滑块

受到一个位移约束和一个转动约束，故系统有

9-2-2x2-l-l=l个自由度，其广义坐标可选择0A与水平

线的夹角aD

3.12解

如图所示，将VB在0B以及在与0B垂直的方向分解，

3.15解

如图，设=并以CB与CO重合时。为零,

瞑sin夕=&•OB有

7sin<??=/sin(7r-0-q))

OB=/sin(p

|n/sin①=sin(6+*

=^>tgq>=r(h-rcos0)

v2sin2^)sin20/b2

又6=gt

=sin2夕sin202zrsin^

81/J(l/s)=>中=artg

h-rcos。

7

3-19.解：建立固连在上8杆

上的平动坐标系xoy

固连在8杆上的平动坐标系

x'o'y',在秘中

+%=%+%,在xby中

氏=沅,+声；=书+『；

即转+落=无+/:

在qy,ox方向上投影，得

—i=Jcosa+叱sina(1)

匕=/；cosa-％sina(2)

3.16解

由⑴式，可得叱=-g2Cosa-/J/sina

解：任一瞬时在两轮啮合处总有力=%

二左=丹+%=玄一2皑«+-^-

二＞a\r=G)2Rsina

又&)!=6)0+£/小河而喂历百1，2cosa

"=3。+马力设嗫与犬轴的夹角为B.则sin£=Q

8

Q—91母而融3—27题解：

尸点沿直线49运动为定系中平动坐标系中，牵连速度

的运动匕.P点相对圆环的运匕=匕尸点相对于O点作定轴

转动则匕＞_LOP轴。尸点的相

动是动系中的相对运动匕，如

对速度沿y=/(x)的切线如图,OF=l,任一时亥!Jt,P

右图，设。尸的长度为2d如点所在位置*有：百=二十万，匕=2。

右图，建立定轴转动坐标系/。歹则尸点运动在水平和竖直方向上投影得

唯sina=—匕cosQ+%

匕=昭=/+/沿0P和垂直0P方向投影有:{cosa=匕,sin0

sinex.=tg/3=f'(x)

J^=《sina,匕=%cosasin=「1个尸+1，cos77=1/+1

代入，汨

rrV2d81(f'

V=——-e-=---=2ro}%=%(+costz•ctg/74-sinar)=/cosa/+sina)

rcosarjd

匕

<2?=-吸---=-------------------------------—

II(sina-Fcosorctg/7)

V=叱sina=2rs=2a)JM-d’

p当0=0。是常数时.即sinOL+cosarctgfl是常数

&P匕/(o/)=sina+cosactg/7•恒成立•

下面求F点的加速度af,

f—----sina[")•=cosa

)dx

%=豆+%+"用

a=—,a=2o匕=Ar03

77trk或j%

1也[1)dx1

沿垂直OP方向投影有：

二[--彳-/-51d尸=dx

[也丁…下2—尸)，

0=sina+a”cosd-aksin9=>a”=0

沿OP方向投影有：积分得arcsin———y2-x+c

卬。2

陶=巩+%荷

COSa-akcosa,n%=4=27(0)=O得c=-l二轮廓方程为

a,=+d=4r4

3—33题解

2女

三角形转过一周用时t=—,因为匀速，所以

d)

aaa)

v=_=——假定从A向B运动

t2)

3—29题解：取定轴转动的动坐标系xoy在4点时v.=AO・s=方向垂直于20

Ve=a)rVr=r

v=4+匕=(匕+vrsin450)r-vrcos450n

二叱=+座，又♦.%=C为一常数

22-22

即a)r+r=c

设£=0时r=0>r=c=v0

=d^r—=dt积分得1.or

arcsin—=t+c2

2-a)2r21c

由t=0时r=0,X>c2=0

cv

r=—sindt其中c=v0=^>r=­sind^

6)d)

C.工

⑦一sin血

.a)r,

由tAg0=—=――m--------=tgd)f二>9=M

于C

3—COSd^

d)

=-aksin45°r+(aa+akcos450)/7

是点的轨迹方程°

r=—sin^P迫ad在+32(应+也上

d)

1=(〜河孱+(9+2户0乃是P点的加速度

=-2v0sin<uter+2a)v>cosa)tev

3—35题解

动系间在盘01上，盘弓边缘上的

点幺的绝对速度，绝对加速度已知

-=%+>，

绝对速度va=d)2r

(方向垂直于qq杆向下)，牵连速度匕=。-厂)%

方向垂直于。1。2杆向下，

vr=v-vg=-(I-r)o\+ra)2=r(6\+

绝对加速度a=a^r方向指向Q

3—40解:

牵连加速度4=电^一厂)方向指向q

如图示，/垂直于OA沿着AB,

ak=2<y1v),=2d)1[-(Z-r)<y1+rcy2]

AB杆上O1点的速度必沿着

设v,的方向与v°相同，即二>吗一,也指向q,AB,所以AB刚体瞬时平动。

I<3\+0)2

活塞的速度VS^VA,汽缸的角

由a=ae+a2+a1取OXO2为正方向

速度等于AB杆的角速度。

2

ar=a-ae-ak=用r+(^(/-r)+Zojrg一0一厂泗］

出=/四=0

2弓=04%=cm!s

=d^r-£y1(Z-r)+2rd)i,%225

II

3—42题解

证明以观察点为极点，船B

的速度巧的方向为极轴，建立

动极坐标系，因为巧的方向不

变，动系为平动坐标系&=0,

又巧作匀直线速航行名=04-1题解：

只要写出C点的运动规律通〃）,必“）以及20a4的

I.aA=ae+ar+ak

变化规律“办就是写出了刚体AB的运动方程。

观察/点时，/船以以作匀速直线航行北=0

■/OC=CB=r:.ZCOB=ZCBO

，彳=0：.杆平面运动的运动方程

即（尸一r/2）瓦+任。+2而居=0xc=rcos（p

<]y,=rsin0

I4-O2拓

于是有r=rd29=------

r、。=仙+阳

12

4-6题解:

对两个接触点4、4它

们绝对速度的大小分别是

解4.2轮子沿斜面滚下，斜

M=6m/s|v2|=2

面倾角为30°，轮心速度

速度瞬心为

v=2m/s,C,A,以A2为基点分析4点，Aj

B点的速度如图示，设轮半的速度为：

径为r,轮子角速度为：v,-

Vj=v+2aa),:.a)=——

v2

6)=—

以A2为基点分析O点

贝kAC=r,BC=ryfi

vc=v2+aa)=4m/s

(

7A=AC-a),VS=^C-D

圆柱的角速度£P=—{radis),

圆柱中心O的速度v,=4mts

13

4.10解：AB杆在套筒处的速度方

向已知、/点的速度和速度方向已B

知，可找出瞬心如图，求得AB杆

的角速度为：

sdn6O0

AC_OE

cos30°一(cos30°)2

以80、

(OAPt=—彳=―—―=Z

四AC4x30

4-13解：因为曲柄垂直于连杆,

A点的速度沿着AB,而6处

的速度也是沿着连杆，所以连杆

AB瞬时平动，

B

VB=VA=GA^Q

=15xl5=225cm/s

=0

6AB

14

4-15解：如右图4的

速度方向为水平向右

I以外为角速度

匀速转动时II也等角速转动灯

出2r2=46即d)2=^-L

r2

则上也是水平向右以=。2。=也1a4-21由题意可得

「2

。点的速度为水平向右a=90°Ra)-rw=V

Rs-rs=a

对刚杆片。约由速度投影定理可知瞑，勺2必水平向右

v

对刚杆4%，有匕2cos4=/2COS%,夕1=〃2可二＞4)=----.£

R-r

知嗫2=/2=曳n，同理可知嗫=瞑=/。a

弓

以刚杆为研究对象，R-r

BXCB2

t+aRr

a„=Rsi=------i

375可一丽q瓯jR-r

~T-272aRtRv2t

a=a+R.si-Ra)j=----------T