第五章 离散时间傅里叶变换

复习知识点：2021/5/91h（t）h[n]2021/5/92第五章离散时间傅里叶变换

基本内容：1.离散时间傅里叶变换；2.离散周期信号的傅里叶变换；3.傅里叶变换的性质；4.系统的频率响应与频域分析；TheDiscretetimeFourierTransform2021/5/93注释:

CFS(thecontinuousFourierseries):

连续时间傅里叶级数DFS(thediscreteFourierseries):

离散时间傅里叶级数

CTFT

(thecontinuoustimeFouriertransforms)：

连续时间傅里叶变换

DTFT(thediscretetimeFouriertransforms):

离散时间傅里叶变换2021/5/94§5.1非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换

一、从傅里叶级数到傅里叶变换

本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。2021/5/95即

从DFS的分析中得出DTFT。周期信号非周期信号2021/5/961.傅里叶变换2021/5/97当N时，

离散时间傅里叶变换信号的频谱令2021/5/98为周期信号，周期为2。重要结论：2021/5/99当N2021/5/910离散非周期序列的傅里叶变换：傅里叶变换傅里叶逆变换2021/5/911二、常用信号的离散时间傅里叶变换1.2021/5/912时,低通特性,时,高通特性,单调指数衰减摆动指数衰减2021/5/9132.2021/5/914可以得出结论:实偶序列实偶函数(频域)2021/5/9153、矩形脉冲:有同样的结论:实偶信号实偶函数102021/5/916当时,2021/5/917非周期矩形脉冲傅里叶变换的两点比较:1.与对应的离散周期性矩形脉冲频谱系数相比较显然有周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：非周期离散矩形脉冲的傅里叶变换：2021/5/918连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换：2.与对应的连续时间矩形脉冲比较离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：2021/5/919

4.

2021/5/920三、离散时间傅里叶变换的收敛性这是一个无限项的求和，存在着一个收敛条件：条件1：条件2：例5.1，5.2是无限长序列其傅里叶变换存在。此时2021/5/921§5.2周期信号的DTFTDTFTforperiodicsignals

对连续时间信号,有由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:对其作反变换有2021/5/922可见,由DFS,有因此,周期信号可表示为DTFT2021/5/923比较：可以看出与周期性连续时间傅里叶变换的形式是基本一样的。如图P263Fig5.9:下页如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：2021/5/9242021/5/925例1不一定是周期的,当时是周期的.如图所示:2021/5/926例：均匀脉冲串比较:与连续时间情况下对应的一致.2021/5/927§5.3离散时间傅里叶变换的性质1.周期性是以2为周期的。比较:这是与CTFT不同的2.线性2021/5/9283.时移与频移性质2021/5/929例：求的解：2021/5/9302021/5/9315.共轭对称性若是实序列，则4、时间反转:2021/5/932即

若是实信号,则因此:

若是实偶信号,则于是有:即是实偶函数.由此可进一步得到以下结论:2021/5/933若是实奇信号,则于是有:表明是虚奇函数.若则说明:这些结论与连续时间情况下完全一致.2021/5/9346.时域差分与累加例:累加器：2021/5/9357.时域与频域的尺度变换n是k的整倍数。其它n信号的反转：图5.132021/5/936返回n是k的整倍数。其它n2021/5/9372021/5/938例5.9作为时域扩展性质在确定傅里叶变换应用中的一个例子2021/5/9398.频域微分特性2021/5/9409.帕斯瓦尔定理若则——非周期信号能量——周期信号功率对比：说明：一个周期信号中的平均功率等于它各次谐波分量的平均功率之和。2021/5/9412021/5/9422021/5/9432021/5/94445h（t）h[n]复习上节课内容：第四章第五节2021/5/94546第五章：离散非周期序列离散周期序列2021/5/946473、矩形脉冲:10

4.

常用信号的离散时间傅里叶变换2021/5/947§5.4时域卷积性质若则卷积特性是频域分析LTI系统的理论基础。2021/5/948例:累加性质的证明证明：2021/5/949例5.12：离散时间的理想低通滤波器2021/5/950例5.14分析系统互联的应用。2021/5/951§5.5时域相乘性质若则调制特性在信息传输中是极其重要的。周期卷积(调制特性)2021/5/952例:由此可见，周期卷积可以转化成非周期卷积来求解。见例题5.152021/5/953§5.6傅里叶变变换性质和基本傅里叶变换对列表2021/5/9542021/5/9552021/5/9562021/5/95758复习知识点：傅里叶变换傅里叶逆变换2021/5/958一、离散时间傅里叶级数的对偶性对离散周期序列§5.7对偶性2021/5/959这表明序列的DFS系数就是即:2021/5/960例1:从时移到频移利用时移性质有:由对偶性有:即是频移特性2021/5/961二、DTFT与CFS间的对偶由可知是一个以为周期的连续函数,若在时域构造一个以为周期的连续时间信号则可将其表示为CFS:2021/5/962比较和的表达式可以看出这表明

利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或者反之。2021/5/963例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分---CFS的时域微分特性若则---DTFT的频域微分特性2021/5/964可以将对偶关系归纳为如下图表:2021/5/965时域的连续性频域的非周期性时域信号与其频域频谱的关系非周期、连续非周期、离散周期、离散周期、连续连续、非周期信号离散、非周期信号连续、周期信号时域的周期性频域的离散性离散、周期信号时域的离散性频域的周期性时域的非周期性频域的连续性2021/5/966P2822021/5/967§

5.8离散时间LTI系统的频域分析一、LTI系统的频域分析时域：称为系统的频域响应。频域：LTI2021/5/968二、系统的频域响应这说明了只有稳定系统，才能求其频率响应。*

所表征的系统一定是一个稳定系统。

刻画了LTI系统的频域表征，它是系统单位冲激响应的傅里叶变换。但所有的LTI系统并不一定都存在频域响应。这里有一个先决条件，即2021/5/969三、由线性常系数差分方程表征的系统例5.192021/5/970

由差分方程所描述的系统通过求频率响应可直接求出其单位脉冲响应。

当然，求出了单位冲激响应，理论上就能够求出任何激励的响应了。见例A.4P6682021/5/971频域分析的方法：1、将信号与系统的时域表征转换为频域表征；

2、利用卷积性质：3、将频域表征转换为时域表征；

利用频域分析方法，对输入、输出与系统的表征，若已知其中两个表征就可求出第三个，从而不仅可以分析系统而且还可以设计系统。例5.202021/5/972§5.9小结本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章完全对应,许多结论也很类似.通过对DTFT性质的讨论揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质在CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT总是以2π为周期的.2021/5/973通过卷积特性的讨论,对LTI系统建立了频域分析的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础.对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性,对深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很