空间及其直线方程

节

一、空间直线的一般方程空间直线及其方程章二、空间直线的点向式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例2021/5/91定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程2021/5/92方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的点向式方程与参数方程2021/5/93直线的点向式（对称式）方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程2021/5/94例1

用点向式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标2021/5/95因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.2021/5/96定义直线直线^两直线的方向向量的夹角.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角2021/5/97两直线的位置关系：//直线直线例如，2021/5/98例2.求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为2021/5/99定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角2021/5/910直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//2021/5/911解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面2021/5/912解:设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程五、杂例2021/5/913例5求直线

与平面2x+y+z-6=0解所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,

代入平面方程中，得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.

解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为

x=1,y=2,z=2.

的交点.2021/5/914解先作一过点A且与已知直线垂直的平面

再求已知直线与该平面的交点N,令2021/5/915代入平面方程得

,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为2021/5/916有时用平面束的方程解题比较方便。设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.

我们建立三元一次方程：

其中

为任意常数.2021/5/917因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例，

所以对于任何一个

值，方程(13)的系数：

不全为零，若一点在直线L上，则点的坐标必满足方程(a),因而从而方程(13)表示一个平面，也满足方程(b)，故方程(b)表示通过直线L的平面，值，方程(b)表示通过直线L并且对于不同的的不同的平面.2021/5/918反之，通过直线L的任何平面(除(a)中第二个平面外)都包含在方程(b)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(b)就作为通过直线L的平面束的方程。2021/5/919例

7

求直线

在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.

其中

为待定常数.解过直线

的平面束的方程为

即

2021/5/920由此得

代入得与所给平面垂直的平面(称为投影平面)的方程为所以投影直线的方程为

即这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是

即2021/5/9211.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

2021/5/922直线2.线与线的关系直线夹角公式:2021/5/923平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:2021/5/924作业P3354，5，7，9,152021/5/925解：相交,求此直线方程

.的方向向量为过A点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线备用题2021/5/926设所求直