生产函数与规模报酬

生产函数与规模报酬第一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日§1.若干基本概念§2.短期生产函数与生产决策§3.长期生产函数与要素组合比例§4.生产扩张与规模报酬§5.齐次生产函数与范围经济本章要点第二页，共五十三页，编辑于2023年，星期日生产技术是指生产的投入与产出量之间的关系。生产的投入要素又称生产要素。通常，我们将生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。生产技术约束可以集中地以生产集来描述。生产集是企业面临的关于投入品与产出品的各种组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。§1.若干基本概念一、生产技术与生产函数1.生产技术第三页，共五十三页，编辑于2023年，星期日2.生产集生产集是关于投入品与产出品的各种组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。

生产集第四页，共五十三页，编辑于2023年，星期日生产集的性质1.非空的第五页，共五十三页，编辑于2023年，星期日3.生产函数

生产函数：一定技术条件下特定的投入组合有效利用时最大的可行性产出。从而剔除了投入品的使用使产出下降的可能，生产函数曲线不包括产出量下降的线段。第六页，共五十三页，编辑于2023年，星期日常见的生产函数（1）固定比例生产函数

短边规则第七页，共五十三页，编辑于2023年，星期日（2）线性生产函数第八页，共五十三页，编辑于2023年，星期日（3）柯布—道格拉斯生产函数第九页，共五十三页，编辑于2023年，星期日4.生产技术的性质（1）单调性。如果在至少一种要素上增加投入，则产出量应不会减少。“自由处置”（2）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。第十页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

等产量线第十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日二、短期和长期

短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以变更的。注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业、不同的企业的具体情况而定。第十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期日§2.短期生产函数与生产决策一、短期生产函数二、总产量、平均产量与边际产量的关系1.定义

总产量

平均产量

边际产量第十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期日2.产出曲线ⅠⅡⅢ第十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期日3.边际产量与平均量的关系（1）C点以前，MP>AP。AP递增，MP把AP向上拉。（2）C点以后，MP<AP。AP递减，MP把AP向下拉。（3）C点，MP=AP。AP最大。平均产量最大化的必要条件第十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期日三、边际报酬递减规律

当一种或一种以上的要素固定不变时，增加另一种要素投入量达到一定程度后，会出现边际产量递减。（1）边际报酬递减以技术不变为前提；（2）以其他要素不变为前提；（3）是在某种要素增加达到一定程度之后才出现。原因：第十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期日四、生产阶段的划分

第Ⅰ阶段：MP递增、最大、递减，但MP>AP，AP递增，因而TP递增。厂商的可变投入不会停在这一阶段。

第Ⅲ阶段：MP<0，且继续下降,TP和AP也不断下降。即随着劳动投入量增加，TP反而下降，因此，厂商不会选择在这一阶段进行生产。

合理的劳动投入量应在第Ⅱ阶段。第十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期日五、最优劳动投入量

最优劳动投入量：使厂商获得最大利润的劳动投入量。

故短期最优劳动投入量的必要条件是：劳动的边际产量价值=劳动价格。第十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

例：

已知某企业的生产函数为：

（1）求企业的平均产量和边际产量函数。（2）若企业现在使用3单位的劳动力，是否合理？合理的劳动使用量的区间是什么？（3）若企业产品的市场价格是3元，劳动力的市场价格为63元，求企业最优的劳动投入量。第十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第二十页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

因此，使用L的合理区域为：

（3）根据最优劳动投入的条件：第二十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日§3.长期生产函数与最优要素组合比例一、长期生产函数二、要素的边际技术替代率（MRTS）第二十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期日三、最优要素比例的决定

企业的成本方程可写为：

若企业的总成本给定为一常数，成本方程为：

此时最优要素比例由过等产量线与等成本线共切点的切线的斜率决定。第二十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第二十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

上述最优要素比例可写成下列数学规划问题：

构造拉氏函数：第二十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

这便是企业决定最优要素比例的必要条件。

该条件也可由另一数学规划问题表示。第二十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第二十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

含义：μ是单位要素价格在最优时获得的边际产量。最优要素组合比例说明，最后一单位的货币投入，不管是投在资本还是劳动上，其对产理的贡献是相等的。第二十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

例题：

如果某企业的生产函数为q=6KL，工资w=5，利率r=10试求劳动与资本的最优比例。第二十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

例题：

已知某企业的生产函数为：

求资本和劳动的最优比例。

解：若3L>K，则q=K。非成本最小化。若3L<K，则q=3L。非成本最小化。

因此，成本最小的投入应是：第三十页，共五十三页，编辑于2023年，星期日§4.生产扩张与规模报酬一、生产经济区—脊线脊线经济区域第三十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日二、产出弹性、生产力弹性与替代弹性1.产出弹性

定义：当技术与投入品价格不变，其他投入不变，仅一种投入变动时，产出的相对变动与投入的相对变动之比。第三十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期日2.生产力弹性

定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都按同一比例变动时，产出的相对变动与投入的相对变动之比。

定理：若产量Q是资本K和劳动L的函数，则有：第三十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

证明：Q=f(K,L)，要素向量X=(L,K)，对Q进行全微分有：

K和L按同一比例增加，即第三十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第三十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期日3.替代弹性

定义：K/L对MPL/MPK变化的反应灵敏度。第三十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

例题：

已知柯布—道格拉斯生产函数：

证明：(1)替代弹性恒等于1第三十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第三十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期日第三十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期日三、规模报酬

定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都按同一比例变动时，产出变动的状况。1.生产函数表示法规模报酬递增规模报酬递减规模报酬不变第四十页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

练习：

在下列生产函数中，哪些属于规模报酬递增、不变和递减？第四十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日2.生产力弹性表示法第四十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期日3.等产量图表示法

LR

154321300490550580600275450520550570240380450490520180300400430450100200250300340K

L

12345第四十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期日四、要素价格变动：替代效应与产量效应KLOK1L1L2ABCQ=100Q=200E2E1K0L0替代效应：B—A产量效应：C—B第四十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期日五、技术进步的测定第四十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

结论：技术进步率=产出增加率-劳动增长率×劳动的产出弹性-资本增长率×资本的产出弹性。第四十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期日§5.齐次生产函数与范围经济一、齐次生产函数与欧拉定理

若生产函数满足下列性质，被称为k次齐次生产函数。（其中，t为正实数，k为常数）第四十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

上式等式对t求导，得：

令t=1，得到：

要素投入量与其边际产量相乘，正好等于k乘产出量。欧拉定理第四十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期日欧拉定理的应用1.齐次幂与产出弹性之间的关系

对欧拉定理两边除以。并且

若生产函数是含两要素的齐次函数，则要素的产出弹性之和等于齐次生产函数的幂。第四十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期日2.产品分配净尽定理

若生产函数是一次齐次函数，则欧拉公式为：

含义：若规模报酬不变，若按要素的边际产量对要素L和K付酬，刚好分光总产量。此即产品分配净尽定理。第五十页，共五十三页，编辑于2023年，星期日产品分配净尽定理的两个含义

（1）若规模报酬不变，但要素的报酬超过了其边际生产量，会导致总需求超过总供给，出现通货膨胀。（工资增长率不要超过劳动生产率增长率）

（2）相对收入分配比例与该定理有关。第五十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期日

总产出量在劳动与资本间分配的相对比例为α和（1-α）之比。说明柯布—道格拉斯函数若是一次齐次的