【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师自己整理)：不等式

PAGEPAGE3不等式一、选择填空题1.（江苏2004年4分）二次函数y=ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是▲.【答案】。【考点】一元二次不等式与二次函数。【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c>0的解集：由表可设y=a（x＋2）（x－3），又∵x=0，y=－6，代入知a=1。∴y=（x＋2）（x－3）∴由ax2＋bx＋c=（x＋2）（x－3）＞0得x＞3或x＜－2。∴不等式ax2＋bx＋c>0的解集为：。2.（江苏2005年4分）函数的定义域为▲【答案】【考点】函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法。【分析】由题意得：，则由对数函数性质得：，即，解得或。∴函数的定义域为：。3.（江苏2006年5分）设、、是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立的是【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考点】不等式恒成立的条件。【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.二、解答题1.（江苏2004年12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目。由题意知目标函数z=+0.5。上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大。这里M点是直线和的交点。解方程组，得=4，=6。此时（万元）。，∴当=4，=6时，z取得最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。【考点】基本不等式在最值问题中的应用。【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资和万元，列出和的不等关系及目标函数z=+0.5，利用线性规划或不等式的性质求最值即可。2.（江苏2004年14分）已知函数满足下列条件：对任意的实数1，2都有和，其中是大于0的常数.设实数，，满足和(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；(Ⅱ)证明；(Ⅲ)证明.【答案】证明：（I）任取①和②可知，从而。假设有①式知，∴不存在。（II）由③可知④由①式，得⑤由和②式知，⑥将⑤、⑥代入④式，得。（III）由③式可知（用②式）（用①式）【考点】不等式的证明。【分析】（Ⅰ）要证明，并且不存在，使得，由已知条件和合并，可以直接得出。再假设有，使得，根据已知判断出矛盾即得到不存在，使得。（Ⅱ）要证明；把不等式两边和分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可。（III）由已知和（Ⅱ）中的不等式逐步推导即可。3.（江苏2009年16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为学科.网(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【答案】解：（1）由题意，得，，（）。∵当时，。，∴=。（2）当时，，由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。（3）由（2）知：=，由得：，令则，∴。同理，由得：。另一方面，，，，∴，当且仅当，即=时，取等号。所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。【考点】函数的概念，基本不等式，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。【分析】（1）由已知直接求出和关于、的表达式。把分别代入和，比较即可。（2）由（1）的结论，求出分母