2019-2020年高二数学概率选修课(四课时)

2019-2020年高二数学概率选修课(四课时)教学目标:1使学生了解实际生活中的随机现象;并能用概率的知识初步解释这些随机现象;2使学生理解频率,概率的含义;3使学生理解频率和概率的区别和联系.教学重点和难点:1随机现象的定义;2如何用频率来理解概率及频率和概率的关系.教学过程一课程引入概率学的发展:概率论是机遇的数学模型.最初他只是对于带机遇性游戏的分析,而现在已经是一门庞大的数学理论,他在社会学,生物学,物理学和化学上都有应用.概率一词是和探求真实性联系在一起的.在我们所生活的世界里,充满了不确定性.因此我们就试图通过猜测事件的真相和未来来掌握这种不确定性.概率这门学科就应运而生了.概率趣话概率与布丰曾经做过一个投针试验.他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线,他将小针随意地投在纸上,他一共投了2212次,结果与平行直线相交的共有704根.总数2212与相交数704的比值为3.142.布丰得到地更一般的结果是:如果纸上两平行线间的距离为,小针的长为,投针次数为,所投的针中与平行线相交的次数为,那么当相当大时有:.后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了的值为3.1415929.这与的精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的值,这真实天工造物!抽签的顺序抽签的先后顺序与是否抽到有记号的签无关.概率学的应用:工业方面问:如果长虹生产的彩电的合格率为99.99%,而康家生产的彩电的合格率为99%,你更愿意买那一家的彩电?你可能买到长虹不合格的彩电,也有可能买到康佳合格的彩电,但你为什么更愿意卖长虹的彩电呢?在这里我们将给你答复.农业方面种子有优有劣,每一粒种子在你中下时,你并不知道他将来是否发芽.但为了将来的发芽率高,你会怎么办?你只有在种的时候就选优良的种子,这又是为什么呢?日常生活方面今天天气预报说:明天的降雨概率为80%,那你明天一定带伞出门吗?如果说:今天的降雨概率是20%,你就一定不带伞出门吗?如果说中奖的概率是0.1%,你买一千张彩票就一定能中奖吗?二新课(一)基本概念1随机现象大千世界,所遇到的现象不外乎两类.一类是确定性现象,如在标准大气压下,水加热到100摄氏度时沸腾,是确定会发生的现象;又如,从地球上看,太阳每天从东方升起.另一类是随机而发生的不确定的现象,如适当的条件下,种子的发芽,掷一枚硬币出现正面或反面等等.这种不确定的现象叫做随机现象.随机现象:在相同的条件下,重复同样的试验或观测(今后把”观测”也看作试验而不加区分),其试验结果却不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现的现象.对随机现象的理解在一种前提下的随机事件,在另一种前提下可能成为必然事件.北宋年间的荻青与侬智高的较量.大将荻青奉旨征讨侬智高.但敌我的悬殊很大,胜败没有把握.他便设坛拜神,拿出一百枚铜钱,说:”如果这一百枚铜钱的钱面全部朝上,则这次将会大获全胜.”士兵们很是惶恐,力权荻青不可如此,凭大家的经验可知,这是不可能发生的.但是荻青不停劝阻,毅然投下一百枚铜钱,让大家惊奇的是,一百枚铜钱的前面全部朝上,这大大鼓舞了将士们的士气,在兵力相差很大的条件下,击退了侬智高的部队.在一种前提下的必然事件,在另一种前提下可能不出现.从死亡线上生还的人频率的稳定性,概率投掷硬币试验人们知道:掷一枚硬币,事先无法哪一面向上.但是出现正面和反面的机会是相等的.在大量的投掷时,正面和反面出现的次数”差不多”,从历史上看,这经历了很长一个时期.试验人投掷次数出现正面频率(出现正面次数/投掷次数)荻摩更204810610.5181布丰404020480.5069皮尔逊240001xx0.5005罗曼若夫斯基80640396990.4923相差得多与不多是相对于试验的次数而言的.上表告诉我们:当试验的次数增加时,正面出向的频率,即正面出现的次数与总的试验次数之比都在的左右.这表明:频率是随机的,事先无法确定.频率又”稳定”在一个数常数的附近.频率偏离这个常数很大的可能性虽然存在,但是试验的次数越大,频率偏离这个常数的可能性越小.也就是说:随机事件的每一次观察结果都是偶然的,但是多次观察某个随机现象可以知道,在大量的偶然事件中存在这必然的规律.男女出生率频率的稳定性,可以从人类的生育中得到生动的例子.一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1:1,可事实并非如此.公元1814年法国数学家拉普拉斯(Laplace1794---1827)在他的新作＜＜概率的哲学探讨＞＞一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人”重男轻女”,又抛弃男婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.中数字出现的稳定性(法格逊猜想)在的数值式中,各个数码出现的概率应当均为1/10.随着计算机的发展,人们对的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合.概率某一随机事件的频率在一个常数附近,这个常数我们称之为这一随机事件的概率.例如1/2就是投掷一枚硬币”出现正面”这一随机事件的概率.而且大数定理说:当试验的次数很大时,随机事件出现的频率,稳定地在某个数值附近摆动.这个稳定值,叫做随机事件的概率,并记为.大数定理是贝努利对数学的一个非常重要的贡献.很明显,是0和1之间的一个数,即问:=0是什么意思?这时我们称事件为不可能事件,如太阳从东边升起.=1是什么意思?这是我们称事件为必然事件,如地球绕着太阳转.在这里,我们需要区分”频率”和”概率”这两个概念:频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的随机事件出现的可能性.概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性.随机现象的两个特征结果的随机性即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生.频率的稳定性即大量重复试验时,任意结果(事件)出现的频率尽管是随机的,却”稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.概率选修课教案(第三,四课时)教学目标:理解几个随机事件的交,并,对立事件和互斥事件;掌握公式;掌握几个互斥事件概率的加法公式;教学重点:各种概率的计算公式教学难点：对公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)的理解；两两互斥事件概率的加法公式.新课一、简单的概率计算逆事件或对立事件定义设事件是事先给定的事件,我们用记号表示”不发生”.我们称为事件的逆事件或对立事件.这样我们有例如:厂家进行有奖销售,表示”买产品中奖”,其概率为0.7,即.则表示”买产品不中奖”,而且P(A)=1-P(A)=1-0.7=0.3.关于事件,的概率定义给定两个事件.我们来构造两个新的事件,.发生是指:都发生.发生是指当中至少有一个发生例如:A=”产品长度合格”,8=”产品的质量合格”，则人8=”产品的长度和质量都合格”,二”产品的长度，质量指标至少有一项合格”.例1. 100个产品中有93个产品长度合格,90个产品重量合格,其中长度,重量都合格的有85个.现从中任取一产品，记人=”产品长度合格”,B=”产品重量合格”，我们有93 90P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=100 10085100而=”产品的长度,重量至少有一个合格”的概率:这是因为,显然不会等于.而是P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)=93 90 85 + - 100100100=0.98例2. 甲乙二人射击时,若A="甲命中目标”的概率为0.5口="乙命中目标”的概率为0.6八8二”甲乙都命中目标”的概率为0.3,则=”甲乙二人至少有艺人命中目标”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6—0.3=0.8从上面的两个例子我们不难看出:只有当两个事件不可能同时发生时(即时)才有公式互斥事件的加法公式定义不可能同时发生的两个事件我们称为互斥事件或互不相容事件.由上面的讨论我们可以得出如下的结论设事件互斥,则.下面我们考虑个事件,我们用表示都发生,用表示中至少有一个发生.如果中任意两个都互斥(称这种情形为两两互斥),则P(AUAU…UA)=P(A)+P(A)+…P(A)12 n 1 2 n如果不满足俩俩互斥,的计算公式比较复杂,我们再此不予考虑.例3. 设某种产品分为一等品,二等品,三等品和不合格品四个等级.=”产品为一等品”的概率为0.5,=”产品为二等品”的概率为0.45,=”产品为三等品”的概率为0.03自然为两两互斥的事件,则P(AUAUA)=0.5+0.45+0.03=0.98123这就是说,该产品的合格率为0.98.二、古典概率随机事件发生的频率的稳定性人们经历了相当一段时间才认识到.例1,投一枚硬币,当试验的次数很大时,出现的频率在的附近.投之一枚硬币时,由于硬币的对称性,正反两面出现的机会是相等的,而再没有别的情况发生.因此,每个结果发生的概率相等,均等于.例2,掷一枚筛子,他只有六种可能的结果,我们记().同样由于对称性,这6种可能的结果出现1的机会相同，股枚各每个结果发生的概率应是.即P(A)=，。=123,4,5,6).i6问题:投一枚均匀的筛子,出现偶数点奇数点的概率各是多少?设,则事件包含有三种结果,而且他们两两互斥.他们之中有一个发生则发生,反之发生,他们中一定有一个发生.即,因此我们有3P(B)=P(A)+P(A)+P(A)=—2 4 66问题：投掷一枚均匀硬币，事件C="投掷点数不超过4点”的概率是多少？4P(C)=P(A)+P(A)+P(A)+P(A)=—1 2 3 46由于这些都是历史上最早研究的概率模型,对上述的数学模型我们称为古典概率.为了便于研究,我们首先假设:1试验只有有限个结果发生.设为个,我们记为.每次试验的结果只发生且发生一个（这实质上是指:两两互斥）.每次有一个发生表明:是必然事件.以后称为个基本事件.2每个基本事件出现的机会相同,即对任意一个基本事件有:对任意事件,若它包含个基本事件,则发生的概率为:DS、B包含的基本事件的个数kP（B）==（） 总的基本事件个数 n例1从红，白,黑三个球中任取两个，求A=”取到红球”的概率.解答：例2任意投掷3枚硬币,恰有一枚正面朝上的概率是多少?解答:可能的结果有:（上上上）,（上上下）,（上下上）,（下上上）,（下上下）,（下下下）8种可能,其中（上下下）,（下上下）,（下下上）意味着恰有一枚硬币正面朝上,所以概率为例4任选一个两位数,他恰好是10的倍数的概率是多少? 解答:补充：排列与组合基础加法原理：做一件事，完成他有类方法,第一类方法有种,第二类方法有种,……,第类方法有种,那么完成这一件事共有种不同的方法.乘法原理:做一件事,完成他需要个步骤,做第一步的方法有种,做第二步的方法有种,…..,做第步的方法有种,那么完成这件事共有种不同的方法.排列的定义:从个不同的元素中,任意取个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.阶乘：自然数1到的连乘积,叫做的阶乘，即n!=n（n-1）（n—2）…3义2*1.规定:.排列数公式:n!Pm= =n(n—1)•…(n—m+1)n(n-m)!组合的定义:从个不同的元素中,任意取个元素,并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.Pm组合数公式:Cm=寸

n Pmmn! n(n—1)•…(n—m+1)m!(n—m)! m!例1乘积（a+a+a+a）（b+b+b）（c+c+c+c+c）展开后共有多少项?1 2 3 41 2 31 2 3 4 5例2已知一个集合有5个元素,求他的所有非空子集的个数.例3把6个苹果平均分给3个小孩,不同的分配方案有多少种?6乂54乂3解答： C2c4C22=------1=90种例4用0,1,3,5,7,9这6个数字,可以组成多少个:没有重复数字的六位数?解答:没有重复数字的六位奇数?解答:例5把个黑球，个白球从袋子中依次取出，求人=”第次取