第21章一元二次方程（培优卷）（解析版）

第21章一元二次方程（培优卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是(

)A．－1 B．1 C．3 D．3或－1【答案】B【解析】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0，解得m=-1或m=3．m=3不符合题意，舍去，所以它的一次项系数-m=1．故选B．2.若关于x的方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(

)A．k≤5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5【答案】A【解析】当K-1=0时，即k=1时，方程4x＋1＝0有实数.当k-1≠0时，即k≠1时，方程有实数根，∴解得：k≤5且k≠1．综上k≤5故选：A．3.已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，所以，且∆=2-4>0又，所以，=；解得m1=3,m2=2,当m=2时，∆=0，不合题意故m=3故选B4.如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是A．5.5 B．5 C．4.5 D．4【答案】A【解析】解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，∴根据三角形三边关系，第三边c的范围是：2＜c＜8．∴三角形的周长l的范围是：10＜l＜16．∴根据三角形中位线定理，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．∴满足条件的只有A．故选A．5.已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（）A．x1＝3，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝11，x2＝15【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，∴方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，解得：x＝﹣1或x＝0，即x1＝﹣1，x2＝0，故选：B．6.若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．7.某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（）kg，依题意得：依题意得：故选:C8.如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：①若，方程有一根为1，又，则，正确；②由两根关系可知，，整理得：，正确；③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确；④由，，所以④正确．故选．二．填空题（每小题2分，共16分）9.已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．【答案】【解析】解：设方程的另一个根为c，∵，∴．故答案为．10.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程_______．【答案】x2－5x+6=0（答案不唯一）【解析】当直角边长分别为2、3时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－5x+6=0；当直角边长分别为1、6时，根据一元二次方程根与系数的关系得一元二次方程x2－7x+6=0；…（答案不唯一）．11.电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为．【答案】【解析】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元，依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．12.若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是________.【答案】3＜m≤4【解析】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，∴①x-2=0，解得x1=2；②x2-4x+m=0，∴△=16-4m≥0，即m≤4，∴x2=2+，x3=2-又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为3＜m≤413.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为．【答案】x（x﹣1）=21【解析】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，故答案为x（x﹣1）=21．14.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．【答案】四．【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：且．∴，，∴点在第四象限．故答案为四．15.已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是_____．【答案】﹣2或2﹣2或﹣2﹣2【解析】解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，①当a＝b＝1+或1﹣时，原式＝＝2﹣2或﹣2﹣2；②当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根．由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1．则原式＝﹣2．故答案为：﹣2或2﹣2或﹣2﹣2．16.如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有个【答案】3【解析】解：由题意，得225﹣28m≥0，解得：m≤．∵m为最大的整数，∴m＝8．∴x2﹣15x+56＝0，∴x1＝7，x2＝8．当BC＝7时，CD＝8，∴点D在BA的延长线上，如图1．当BC＝8时，CD＝7，∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．∴综上所述，不同D点的位置有3个．故答案为：3三．解答题（共60分）17.（6分）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）方程没有实数根【解析】解：（1），，，，；（2），，，原方程没有实数根．18.（8分）已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4．19.（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），.答：该店应按原售价的九折出售.20.（8分）已知关于的方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：∵原方程有实数根，∴，∴，∴.(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：，，又∵，∴，∴，∴，解之，得：，．经检验，都符合原分式方程的根，∵，∴．21.（10分）我们知道：x2﹣6x＝(x2﹣6x+9)﹣9＝(x﹣3)2﹣9；﹣x2+10x＝﹣(x2﹣10x+25)+25＝﹣(x﹣5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：(1)按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝＝．﹣a2+12a＝＝．(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．【答案】（1），；（2）当时，代数式存在最小值为；（3）时，最大值为【解析】解：（1）根据题意得：a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4；-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36；故答案为a2-4a+4-4；（a-2）2-4；-（a2-12a+36）+36；-（a-6）2+36；（2）∵a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4≥-4，-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36≤36，∴当a=2时，代数式a2-4a存在最小值为-4；（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9≤9，则x=3时，S最大值为9．22.（10分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.【解析】解：（1），，所以或或，，；故答案为，1；（2），方程的两边平方，得，即，或，，，当时，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；（3）因为四边形是矩形，所以，设，则因为，，两边平方，得整理，得两边平方并整理，得即所以．经检验，是方程的解．答：的长为．23.（10分）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．【解析】解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4（cm）．∴S＝（cm2）．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B