第-章位移法讲解优秀文档

第6章位移法学习要求：1、掌握位移法的基本概念及原理，正确判断位移法基本未知量，熟悉杆端力、杆端位移的正负号规定。3、掌握具有一个及两个结点位移的结构的计算方法。4、掌握根据结构及荷载的对称性简化计算的方法。2、理解和掌握位移法典型方程及系数、自由项的物理意义及计算。6.1等截面直杆的形常数和载常数一、单跨超静定梁的形式BAφABABA在垂直于杆轴的荷载作用下BA二、正负号规定杆端弯矩和杆端剪力均以顺时针方向为正。三、等截面直杆的形常数即只受荷载作用时的杆端弯矩和杆端剪力当杆端位移取单位值时，所得的杆端力称为等截面直杆的刚度系数。因刚度系数只与杆件材料性质、尺寸及截面几何形状有关，所以也称为形常数。常用单跨超静定梁的形常数见教材表6-1（要求熟记）四、等截面直杆的载常数常用单跨超静定梁的载常数见教材表6-2APBABPAB教材表6-2补充：BA注意:中间柱的总内力为中间两根分柱内力的叠加。注意:中间柱的总内力为中间两根分柱内力的叠加。k11Δ1＋k12Δ2＋F1P=0再由叠加法求出结构的内力。令i=EI/4并作弯矩图静定梁在支座移动时不产生内力！建立位移法方程时，除了考虑结点平衡外，还要考虑与结点线位移对应的截面平衡条件。4、将系数和自由项代入方程，令i=EI/4并作弯矩图因为结点D处没有水平位移、竖向偎依和转角；用附加刚臂约束刚结点，用支杆约束结点线位移。6用位移法计算对称结构一个是减少约束,得到静定结构;一个是增加约束,得到超静定次数更高的结构。在垂直于杆轴的荷载作用下k21Δ1＋k22Δ2＋F2P=0（各杆的EI为常数）。然后消除附加约束，使结点发生位移还原为原结构，由附加约束反力为零的条件列出基本方程，解出基本未知量；ABBAPBABPAB注意：BA教材表6-1补充：

1、编号1、3、5：当A、B两端左右对换时，各杆端弯矩、杆端剪力大小、符号都不变。如：BAθ=1

2、编号2、4：当A、B两端左右对换时，各杆端弯矩、杆端剪力大小不变、但符号发生变化。BAΔ=1BAΔ=1BAΔ=16.2位移法的基本概念ABCL/2L/2hEIEIPφAφA忽略轴向变形和剪切变形的影响，在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形前后保持不变，故结点A只有转角位移。这就是位移法的基本未知量。ABφACPAφAABCP附加刚臂附加刚臂的作用：只限制结点的转动不限制结点的线位移。F1PABCF11Δ1=φAF11＋F1P=0改写为：k11

Δ1＋F1P=0所以，位移法是以结点位移为基本未知量的求解方法。首先在结点处增加约束阻止结点位移，将结点变成超静定单杆的组合体系；然后消除附加约束，使结点发生位移还原为原结构，由附加约束反力为零的条件列出基本方程，解出基本未知量；再由叠加法求出结构的内力。6.3位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结点角位移和结点线位移两类。1、结点角位移ABCDP由于A、D为铰支座，已知弯矩为零，不取为基本未知量；B、C为刚结点，所以图示连续梁有两个结点角位移。位移法的基本结构是将基本未知量完全锁住后得到的超静定杆的综合体。一、位移法的基本未知量例：PABCD由于A、B、C为固定端支座，所以其位移均已知为零，不需作为未知量；而同一刚结点处各杆的杆端转角相等，所以每个刚结点处只有一个独立的结点转角未知量。故上图刚架只有一个结点转角未知量。所以，结点角位移的数目等于该结构的刚结点数！例：2、独立结点线位移在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形前后保持不变，即杆长保持不变。ABCDC'D'ABCDEFD'E'F'由于杆AC、BD两端的距离假设不变故C、D结点都没有竖向位移；C、D结点虽然有水平位移，但由于CD杆的长度不变，因此结点C和D的水平位移相等。所以只有一个独立结点线位移。同理可知：图示排架也只有一个独立结点线位移。该排架的基本未知量为一个线位移。所以该刚架有三个基本未知量。二、位移法的基本结构位移法的基本结构是通过增加约束将基本未知量完全锁住后，得到的超静定杆的综合体。附加刚臂基本结构基本结构基本结构用附加刚臂约束刚结点，用支杆约束结点线位移。6.4位移法的典型方程和计算步骤1、一个基本未知量（见前面）k11

Δ1＋F1P=0一、位移法方程式中：k11

为基本结构在单位位移Δ1=1单独作用时其附加约束中的约束力矩；

F1P

为基本结构在荷载单独作用时其附加约束中的约束力矩；2、二个基本未知量基本未知量：结点C的转角Δ1和结点D的水平位移Δ2ABCDPF1PF2PF11F21ABCD＋发生位移Δ1F12F22ABCD＋发生位移Δ2k11

Δ

1＋k12

Δ

2＋F1P=0F11＋F12＋F1P=0PABCDABCD基本体系12k21

Δ

1＋k22

Δ

2＋F2P=0F21＋F22＋F2P=0系数和自由项的物理意义见教材189页（必须理解！）3、多个基本未知量kij称为刚度影响系数，它的物理意义见教材189页kij=kji二、位移法计算超静定结构的步骤(P191)k11

Δ

1＋k12

Δ

2＋···＋k1n

Δ

n＋F1P=0k21

Δ

1＋k22

Δ

2＋···＋k2n

Δ

n＋F2P=0kn1

Δ

1＋kn2

Δ

2＋···＋knn

Δ

n＋FnP=0·························在垂直于杆轴的荷载作用下由四个基本未知量变为一个基本未知量！若把E支座改为自由端，如何计算？同理可知：图示排架也只有一个独立结点线位移。因为结点D处没有水平位移、竖向偎依和转角；例：用位移法作图示刚架弯矩图一、位移法计算连续梁和无侧移刚架因为结点D处没有水平位移、竖向偎依和转角；在垂直于杆轴的荷载作用下四、等截面直杆的载常数例：位移法解图示结构时，取结点1的转角为基本未知量，则主系数k11的值为（）在垂直轴线荷载作用下，B端相当于自由端，即可看作静定梁。一个是减少约束,得到静定结构;一个是增加约束,得到超静定次数更高的结构。令i=EI/4并作弯矩图例：位移法解图示结构时，取结点1的转角为基本未知量，则主系数k11的值为（）（各杆的EI为常数）。一、位移法计算连续梁和无侧移刚架举例分析：6.5位移法应用举例例1：用位移法作图示梁的内力图。EI为常数8kN4kN/mABCEI2m2m4m解：1、取基本体系ABCΔ1基本体系和基本未知量2、建立方程k11Δ

1＋F1P=0Δ1=14i2i3iABCM1图ABCMP图4483、计算系数、自由项4i3iBk1148BF1Pk11=7i在M1图取B结点为对象，由∑MB=0得在MP图取B结点为对象，由∑MB=0得F1P=－44、将系数和自由项代入方程，

解得：Δ

1=4/7iΔ1=14i2i3iABCM1图ABCMP图4482.866.2888ABCM图8kN2.866.28QABQBA6.28QBCQCB4kN/mABCQ图3.154.859.576.435、由叠加法作M图6、作Q图取AB、BC为对象，由平衡方程求得杆端剪力＋＋－－解得：Δ1=4/7i最后作弯矩图时必须画出横梁的弯矩。k11Δ1＋k12Δ2＋F1P=0k21Δ1＋k22Δ2＋F2P=0所以用位移法计算时，结构只有水平线位移而无结点角位移，故结构只有一个基本未知量。例：求图示刚架用位移法计算内力时的系数和自由项。3位移法的基本未知量和基本结构k11Δ1＋F1P=0因为结点D处没有水平位移、竖向偎依和转角；力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构;位移法是在原结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移,从而得到基本结构.例：计算图示刚架中的MAC。同理可知：图示排架也只有一个独立结点线位移。力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构;位移法是在原结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移,从而得到基本结构.例2：用位移法计算图示刚架Δ1Δ2ABCDE基本结构基本未知量k12k22k11k21F1Pk11

Δ1＋k12

Δ2＋F1P=0k21

Δ1＋k22

Δ2＋F2P=0ABCDEM1图EI0.5EIABCDE40kNEIEI2EI20kN/m10kNm4m2m2m4m2EIEI2EIABCDEM2图ABCDEMP图2EIEIEI0.5EI1.5EI列方程：F2P26.6726.673010kNmBk12Bk11BF1PEI2EIEI10kNm26.67Ck222EI30EI1.5EICF2P26.673EIΔ1＋EIΔ2

－36.67=0解方程：EIΔ1＋4.5EIΔ2=0得：Δ1=12.93EI－2.23EI

Δ2=ABCDEM1图EI0.5EIEI2EIABCDEM2图2EIEIEI0.5EI1.5EIABCDEMP图26.6726.67306.4712.932.9335.3440ABDEM图（kNm）C401.12.14二、位移法计算有侧移刚架对于有侧移刚架，位移法基本未知量除了结点角位移外，还有结点线位移。建立位移法方程时，除了考虑结点平衡外，还要考虑与结点线位移对应的截面平衡条件。举例分析：例：用位移法作图示刚架弯矩图ABCD6m4mEIEI3EI10kN/mΔ1Δ

2ABCD基本结构基本未知量k11k21ABCDM1图4i2i6ik12k221.5i1.5i0.75iABCDM2图F1PF2PABCDMP图20令i=EI/4并作弯矩图列方程：k11

Δ1＋k12

Δ2＋F1P=0k21

Δ1＋k22

Δ2＋F2P=0Ck11Ck124i6i1.5iCF1Pk22CDQCA2QDB2F2PCDQCAPQDBPABCD6m4mEIEI3EI10kN/mF1PF2PABCDMP图20k12k221.5i1.5i0.75iABCDM2图1.5i1.5iQCA2QAC2CAQCA2CADB0.75iQBD2QDB2QDB2=0.75i/4QCAPQACPQCAP=0DB20QBDPQDBP10kN/mQDBP=－15k22CDQCA2QDB2F2PCDQCAPQDBPk22=3.75i/4F2P=－15解方程：10iΔ1－1.5iΔ2=0－1.5iΔ1＋3.75i/4Δ2－15=0解得：Δ1=3.158/iΔ2=21.05/iABCDMP图201.5i1.5i0.75iABCDM2图ABCDM1图4i2i6i叠加法作弯矩图：ABCDM图（kNm）25.2618.9435.792018.94三、横梁刚度无穷大的刚架结构例：图示刚架因横梁刚度无穷大而不发生弯曲变形，只发生刚性平移，柱子则发生弯曲变形。所以用位移法计算时，结构只有水平线位移而无结点角位移，故结构只有一个基本未知量。EI∞PEI∞基本结构

特别注意：横梁不发生弯曲变形，但照样产生弯矩，否则刚结点内力不平衡。最后作弯矩图时必须画出横梁的弯矩。6.6用位移法计算对称结构一、对称荷载作用1、奇数跨对称结构定向支座：XM采用半刚架法后，由三个基本未知量变为一个基本未知量，大大简化了计算！对称轴PPCAPCA2、偶数跨对称结构PPCBADEF忽略轴向变形PCAE由四个基本未知量变为一个基本未知量！二、反对称荷载作用1、奇数跨对称结构对称轴PPCAPCA3个基本未知量2个基本未知量2、偶数跨对称结构忽略轴向变形PPCBADEFIPCAEI/2B注意:中间柱的总内力为中间两根分柱内力的叠加。例:15kN/m40kN40kN40kN15kN/m1个基本未知量qq2个基本未知量P/2P/2例:P/2如用位移法计算半刚架有二个基本未知量；若用力法计算则只有一个未知量,所以此题利用对称性后用力法计算更简便!小组讨论:用力法和位移法计算超静定结构时在选取基本结构的思路上有什么根本的不同?对于同一结构,用位移法可能有几种不同的基本体系吗?如何选取合适的方法来计算超静定结构?力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构;位移法是在原结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移,从而得到基本结构.一个是减少约束,得到静定结构;一个是增加约束,得到超静定次数更高的结构。这是两者的根本区别。对于同一结构,力法可