投资组合与风险管理

研究生课程《投资组合与风险管理》12021/5/9课程内容第一部分投资组合理论与经典模型第一章投资组合导论第二章经典投资组合模型第三章单指数模型第四章多因素模型22021/5/9课程内容第二部分现代投资组合理论与模型扩展研究第五章投资组合研究的主要问题及模型第六章可容许有效投资组合模型第七章模糊投资组合理论及模型第八章项目投资组合理论及模型

32021/5/9课程目标：掌握基本的投资组合理论为投资理财及风险管理提供方法为多元化经营发展提供思路42021/5/9第一章投资组合导论第一节证券市场情况介绍第二节投资组合理论介绍第三节资产组合理论发展历史52021/5/96第一节证券市场情况介绍美国证券市场1美元的投资（1925-1998）：股票$2330，公司债券投资

$56，长期国债投资

$46，短期国债投资

$14，通货膨胀率

$962021/5/9中国股票市场（1990-2007）自上市公司的股票发行上市以后，今天的股价相比其上市发行价格，上涨超过10倍以上的股票有164只，约占全部上市公司总数的11%。

上涨超过20倍以上的股票有66只；

上涨超过50倍以上的股票有18只；

上涨超过100倍的股票有7只第一节证券市场情况介绍72021/5/9第一阶段：牛市(1990.12.19~1992.5.26);熊市(1992.5.26~1992.11.17)第二阶段：牛市(1992.11.17~1993.2.16);熊市(1993.2.16~1994.7.29)第三阶段：牛市(1994.7.29~1994.9.13);熊市(1994.9.13~1995.5.17)第四阶段：牛市(1995.5.18~1995.5.22);熊市(1995.5.22~1996.1.19)第五阶段：牛市(1996.1.19~1997.5.12);熊市(1997.5.12~1999.5.18)第六阶段：牛市(1999.5.19~2001.6.14);熊市(2001.6.14~2005.6.6)第七阶段：牛市(2005.6.6~2007.10.16);熊市(2007.10.16~目前

？)82021/5/9金融市场具有高度不确定性：

难以预测、高收益伴随高风险控制风险提高收益的方法：

不要将鸡蛋都放进同一篮子里，分散投资，合理搭配——资产合理配置，即投资组合选择9第一节证券市场情况介绍92021/5/9

巴菲特(WarrenBuffett,1931-)

2004-2006,Forbes评为全球亿万富豪第2位

(净资产:440亿美元).2010年度他仅次于卡洛斯·斯利姆·埃卢和比尔·盖茨为全球第3

(净资产:470亿美元).

2013年以530亿美元排名第4位。

投资技巧令人羡慕！3530252015105019571960196319661969道.琼斯工业平均指数

巴菲特102021/5/9S&P500指数新闻出版业指数华盛顿邮报公司197319831993765432101973.6,巴菲特投入1000万美元，以平均22.75美元/股购入华盛顿邮报46.7万股(千美元)政府雇员保险公司1978,巴菲特投入4700万美元，以平均6.67美元/股购入720万股。1973年开始，他在股市上买入《波士顿环球》和《华盛顿邮报》，他的介入使《华盛顿邮报》利润大增，每年平均增长35%。10年之后，巴菲特投入的1000万美元升值为两个亿。112021/5/9

索罗斯(GeorgeSoros,1931-)

2006,Forbes评为全球亿万富豪第71位(净资产:72亿美元,资产来源:对冲基金)，2013年最新排名显示，索罗斯身价为145亿美元，排名全球第46位。投资行为震撼世界金融市场！对冲基金的英文名称为HedgeFund，意为“风险对冲过的基金”，起源于20世纪50年代初的美国。其操作宗旨是利用期货、期权等金融衍生产品，以及对相关联

的不同股票进行实买空卖、风险

对冲的操作技巧，在一定程度上规

避和化解证券投资风险。122021/5/9【1992年】，9月15日，索罗斯决定大量放空英镑。英镑对马克的比价一路狂跌，英格兰银行购入30亿英镑，但仍未能挡住英镑的跌势。到傍晚收市时，英镑对马克的比价差不多已跌至欧洲汇率体系规定的下限。到了9月16日，英国政府彻底失败，退出了欧洲汇率体系。尽管英国政府甚至动用了价值269亿美元的外汇储备，但还是以失败而告终。【1997年】，索罗斯及其他套利基金经理开始大量抛售泰铢，泰国汇市场立刻波涛汹涌、动荡不宁。泰铢一路下滑，泰国政府动用了300亿美元的外汇储备和150亿美元的国际贷款企图力挽狂澜。但无济于事。索罗斯飓风很快就扫荡到了印度尼西亚、菲律宾、缅甸、马来西亚等国家。印尼盾、菲律宾比索、缅元、马来西亚林吉特纷纷大幅贬值，导致工厂倒闭，银行破产，物价上涨等一片惨不忍睹的景象。第一节证券市场情况介绍132021/5/9投资组合选择的目的：(1)降低风险；(2)实现收益最大化投资组合理论需要解决的问题：

如何估测证券未来收益与风险，发现有投资价值的证券。如何确定在不同证券或资产上的投资比例或者数量，并且及时进行调整，以使资金稳定快速增长并控制投资风险。第二节资产组合理论发展历史142021/5/9

传统的资产组合管理而言，其过程主要包括以下几个步骤：(一)确定所要建立的投资组合的目标；（二）选择证券、构建资产组合；（三）对组合进行监视和调整；

（四）对组合的业绩进行评估

第二节资产组合理论发展历史152021/5/9美国证券投资行为经历了三个阶段：1.在投机阶段。证券市场极不规范，缺少监管。职业化阶段。

1933年和1934年有关法规的颁布。一些职业投资者开始研究证券投资理论，主要集中在两个方面：证券选择和组合管理。在证券选择方面开始形成两大流派：基本面分析、技术面分析。第二节资产组合理论发展历史162021/5/9传统的资产组合管理主要以描述性研究和定性分析为主,在选择证券构建资产组合时所运用的方法主要是基本面分析和技术面分析。科学化阶段。

从职业化到科学化阶段是以哈里·马柯威茨（HarryM.Markowitz）在1952年发表的博士论文——《资产选择》（PortfolioSelection）作为标志。基本面分析主要是分析证券的内在价值，从而寻找价值被低估的证券；技术面分析则是在认为证券价格的波动具有一定规律性的前提下，通过分析证券价格的历史变化，来预测其未来的走势。第二节资产组合理论发展历史172021/5/91952年,马柯维茨（HarryMarkowitz）在JournalofFinance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。他利用均值--方差模型分析得出通过投资组合可以有效降低风险的结论。马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。马克维茨想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。第二节资产组合理论发展历史182021/5/9马克维茨运用数学规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。第二节资产组合理论发展历史192021/5/9Tobin（1958）提出了著名的“二基金分离定理”:在允许卖空的证券组合选择问题中，每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合。Hicks(1962)的“组合投资的纯理论”指出，在包含现金的资产组合中,组合期望值和标准差之间有线形关系,并且风险资产的比例仍然沿着这条线形的有效边界这部分上,这就解释了Tobin的分离定理的内容。Wiliam.F.Sharpe(1963)提出“单一指数模型”，该模型假定资产收益只与市场总体收益有关，从而大大简化了马柯维茨理论中所用到的复杂计算。第二节资产组合理论发展历史202021/5/9Sharpe（1964)，Lintner(1965)，Mossin（1966)分别提出了各自的资本资产定价模型(CAPM)。这些模型是在不确定条件下探讨资产定价的理论，对投资实践具有重要指导意义1969-1973年莫顿连续时间的ICAPM和基于消费的资本资产定价模型CCAPM，为后来的长期投资理论奠定了基础。Stephen.A.Ross（1976)提出了套利定价理论(APT)。APT不需要像CAPM那样作出很强的假定，从而突破性地发展了CAPM。Black,Scholes（1973)推导出期权定价公式，即B一S模型；Merton（1973)对该定价公式发展和深化。第二节资产组合理论发展历史212021/5/9HarryMarkowitzsharedtheNobelmemorialprizein1990withWilliamF.SharpeandMertonH.Miller.

MertonH.MillerWilliamF.SharpeHarryM.Markowitz"fortheirpioneeringworkinthetheoryoffinancialeconomics"

2000年诺贝尔经济学奖获得者222021/5/9第三节投资组合理论扩展投资组合理论已经渗透到现代经营活动中金融资产投资组合项目投资组合产品组合供应链组合营销组合多元化经营战略财富管理232021/5/9一、基金投资组合理论基金（Fund）：从广义上说，基金是指为了某种目的而设立的具有一定数量的资金。例如，信托投资基金、单位信托基金、公积金、保险基金、退休基金，各种基金会的基金。在现有的证券市场上的基金，包括封闭式基金和开放式基金，具有收益性功能和增值潜能的特点。从狭义上说，意指具有特定目的和用途的资金。因为政府和事业单位的出资者不要求投资回报和投资收回，但要求按法律规定或出资者的意愿把资金用在指定的用途上，而形成了基金。242021/5/9根据不同标准，可以将证券投资基金划分为不同的种类：根据基金单位是否可增加或赎回，可分为开放式基金和封闭式基金。开放式基金不上市交易，一般通过银行申购和赎回，基金规模不固定；封闭式基金有固定的存续期，期间基金规模固定，一般在证券交易场所上市交易，投资者通过二级市场买卖基金单位。

根据组织形态的不同，可分为公司型基金和契约型基金。基金通过发行基金股份成立投资基金公司的形式设立，通常称为公司型基金；由基金管理人、基金托管人和投资人三方通过基金契约设立，通常称为契约型基金。目前我国的证券投资基金均为契约型基金。根据投资风险与收益的不同，可分为成长型、收入型和平衡型基金。根据投资对象的不同，可分为股票基金、债劵基金、货币市场基金、期货基金等。

一、基金投资组合理论252021/5/9基金投资的作用1、基金为中小投资者拓宽了投资渠道。

2、基金通过把储蓄转化为投资，有力地促进了产业发展和经济增长。3、有利于证券市场的稳定和发展。第一,基金的发展有利于证券市场的稳定。第二，基金作为一种主要投资于证券的金融工具，增加了证券市场的投资品种，扩大了证券市场的交易规模，起到了活跃证券市场的作用。4、有利于证券市场的国际化。基金投资优势：集合投资，专家管理；组合投资，分散风险；严格监管，信息透明银行托管，保障安全；不同客户，公平对待一、基金投资组合理论262021/5/9单一基金投资资金要求较低资产配置集中，收益风险特征单一化很难避免系统性风险组合基金投资（货币基金+债券基金+股票基金）一定资金门槛做组合资产分散配置，调整后收益风险更为稳健风险二次过滤，可避免系统性风险一、基金投资组合理论272021/5/9二、项目投资组合理论

项目投资组合管理是指在可利用的资源和企业战略计划的指导下，进行多个项目或项目群投资的选择和管理。项目投资组合管理是通过项目评价选择、多项目组合优化，确保项目符合企业的战略目标，从而实现企业收益最大化。282021/5/9三、产品组合理论

产品组合策略(ProductPortfolioStrategy)产品好比人一样，都有其由成长到衰退的过程。因此，企业不能仅仅经营单一的产品，世界上很多企业经营的产品往往种类繁多，如美国光学公司生产的产品超过3万种，美国通用电气公司经营的产品多达25万种。当然，并不是经营的产品越多越好，二个企业应该生产和经营哪些产品才是有利的?这些产品之间应该有些什么配合关系?--这就是产品组合问题。产品组合是指一个企业生产或经营的全部产品线、产品项目的组合方式，它包括四个变数：产品组合的宽度、产品组合的长度、产品组合的深度和产品组合的一致性。产品组合策略的类型：1.扩大产品组合策略

2.缩减产品组合策略

3.高档产品策略

292021/5/9第二章经典资产组合模型第一节、基本假设及资产的收益和风险特征一、关于投资者的假设⒈投资者在投资决策中只关注投资收益这个随机变量的两个数字特征：投资的期望收益和方差。⒊投资者的目标是使其期望效用最大化，其中和分别为投资的期望收益和方差。⒉投资者是理性的，也是风险厌恶的。302021/5/9二、关于资本市场的假设⒈资本市场是有效的。⒉资本市场上的证券是有风险的，⒊资本市场上的每种证券都是无限可分的，这就意味着只要投资者愿意，他可以购买少于一股的股票。⒋资本市场的供给具有无限弹性，⒌市场允许卖空第一节、基本假设及资产的收益和风险特征312021/5/9三、资产的收益和风险特征⒈期望收益:利用回报率的期望值来刻画收益率用公式表示：为资产收益取值的概率为该资产的期望收益。是该资产收益的第状态的取值第一节、基本假设及资产的收益和风险特征322021/5/9⒉收益的方差:利用回报率的方差或者标准差来度量公式表示方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。第一节、基本假设及资产的收益和风险特征332021/5/9第二节、投资组合预期收益与风险特征投资组合预期收益与风险一个N种证券构成的投资组合的预期收益与标准差分别为

为组合的预期回报率为证券i的预期回报率N为组合中不同证券的数目分别表示组合中投资于证券i和证券j的比例表示证券i和证券j的协方差342021/5/9风险相关性度量—协方差与相关系数

协方差（），是两个随机变量相互关系的一种统计测度。正值表明证券的回报率倾向于向同一方向变动负值表明一种证券与另一种证券相背变动的倾向相对小值或0值表明两种证券回报率之间只有很小关系或没有关系第二节、投资组合预期收益与风险特征352021/5/9

相关系数（）是对协方差的重新标度

其中：为证券i和证券j回报率之间的相关系数。相关系数是对协方差的重新标度，以便于对随机变量之间相对值的变动特征进行比较。相关系数介于-1和+1之间-1的值表明完全负相关，+1的值表明完全正相关为零时，表明证券收益率之间不存在线性关系第二节、投资组合预期收益与风险特征362021/5/9

在不存在做空机制的风险市场中，投资组合的风险小于风险的组合表明投资者通过投资组合的确可以降低风险。越接近于1，风险降低的程度越小，越接近于-1，风险降低的程度越大第二节、投资组合预期收益与风险特征372021/5/9选择多元化投资来分散风险，不是说要求投资于许许多多不同行业的证券。可分散的风险也就是非系统风险，它只对个别的证券产生影响，而对其它证券毫无影响。一般认为，一个组合的证券种类以10-15种最为适宜，即使是一些大型基金也无须超过25-35种。过度的分散化会增加交易成本、管理组合的时间和信息成本，可能得不偿失。不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里382021/5/9系统风险与非系统风险通过有效的投资组合，可否将风险降至0呢非系统风险系统风险当时，，在风险市场中

通过扩大投资组合（即增加所包含的资产的种类）进行风险分散化，可以消除非系统风险（企业风险），但不能消除系统风险（市场风险）第二节、投资组合预期收益与风险特征392021/5/9第二节、投资组合预期收益与风险特征402021/5/9第三节、投资组合模型及有效前沿可行集可行集也称为机会集，它代表所有可能的证券组合的集合412021/5/9有效前沿投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的有效证券组合：（1）对给定的回报，风险水平最小（2）对给定的风险水平，回报最大；满足上面两个条件的证券组合集称为有效前沿。第三节、投资组合模型及有效前沿422021/5/9有效边界是有效集在风险与预期收益坐标图上的几何表述，即曲线AC第三节、投资组合模型及有效前沿432021/5/9

Markowitz证券组合选择模型优化投资组合的过程就是寻求有效投资组合，两个优化模型：在预期收益率一定的条件下，使组合的方差达到最小；在方差一定的条件下，使预期收益率达到最大

或

第三节、投资组合模型及有效前沿442021/5/9对于第一个模型，每一给定的，可以解出相应的标准差，每一对（，）都是标准差—预期收益率曲线图的一个坐标点，所有这些点就连成最小方差曲线。第三节、投资组合模型及有效前沿452021/5/9有效边界就是最小方差曲线右上方的那一段。理性的投资者都会选择有效边界上的点进行投资组合。最小方差曲线内部（即曲线右边）的每一个点代表这n种资产的一个组合。其中任两个点所代表的两个组合值组合起来得到新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用。第三节、投资组合模型及有效前沿462021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理两基金分离定理：在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合生成472021/5/9证券投资组合模型的求解第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理482021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理492021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理502021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理512021/5/9两基金分离定理的证明第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理522021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理532021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理542021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理552021/5/9有效组合边界的双曲线特征第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理562021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理572021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理582021/5/9第四节、投资组合模型的解与两基金分离定理592021/5/9第五节、最优投资组合的选择有效组合边界的存在和确定个别投资者的效用（收益—风险偏好）没有关系的。然而，由于有效边界上的所有投资组合都是最优的，有效边界上不同投资组合之间并不存在优劣关系，因此，投资者最终具体选择哪种投资组合就取决于他们的偏好，即投资组合最终方案的选择取决于投资者收益—风险的效用函数。602021/5/9投资者的效用函数市场参数投资组合的收益投资组合的风险有效的投资组合集合原则:模型:最优投资组合选择的原则与模型在给定的市场条件下，确定使投资者效用最大的有效投资组合612021/5/9有效边缘效用函数等高线最优投资组合选择的几何解释最优投资组合选择的原则与模型622021/5/9效用函数反映个人对一项投资或一次活动满意程度的函数,对于金融投资来说它也反映个人对风险厌恶和收益满意的程度.不同的投资者有不同的效用函数。632021/5/9(A):单调增一阶连续可微且有界的效用函数,具有这一类型效用函数的投资者对风险的态度是不确定的,也就是说具有这种效用函数的投资者可以是厌恶风险的,也可以是喜欢冒险的。(B):单调增凹的效用函数

拥有这一类效用函数的投资者都是风险厌恶的。642021/5/9几个效用函数的例(1)线性函数风险中性的效用函数;(2)二次函数

风险厌恶的效用函数;(3)指数函数风险厌恶的效用函数;(4)对数函数风险厌恶的效用函数;(5)冪函数风险厌恶的效用函数;652021/5/9第五节、最优投资组合的选择投资者将最终选择此切点所对应的投资组合为他的最优投资组合662021/5/9第五节、最优投资组合的选择672021/5/9第五节、最优投资组合的选择682021/5/9第五节、最优投资组合的选择692021/5/9第五节、最优投资组合的选择702021/5/9第五节、最优投资组合的选择712021/5/9算例722021/5/9算例732021/5/9算例742021/5/9算例752021/5/9算例762021/5/9算例772021/5/9算例782021/5/9算例792021/5/9

Markowitz的均值一方差方法虽然产生于二十世纪五十年代，但是被金融机构和投资者广泛采用是在八十年代初期。其主要原因是期望收益和协方差矩阵的估计和计算问题。对于个资产的投资组合问题，需要估计个参数，绝大多数金融机构一般情形下将注意力局限于150-250种证券之间，需要估计11475-31625个参数，而且还要计算150-250阶矩阵的逆，在当时无疑是一个非常麻烦的事情。为了减轻估算的工作量，使股票的收益-风险分析具有实用价值，需要有新的方法。单指数模型是一种简化的证券期望收益的估计模型。第三章单指数模型802021/5/9假设线性回归模型为：为资产i的收益率是资产i的回归系数为市场收益率为资产i的随机误差项。一、单指数模型的基本假设假设证券的收益和市场收益率之间具有近似的线性关系。第三章单指数模型812021/5/9二、随机误差项的的假设（1）随机误差项的期望为零（2）随机误差项和市场收益率无关（3）不同资产的随机误差项之间相互独立三、单个资产、资产组合的收益和风险特征（1）单个资产的收益和风险特征期望收益为方差第三章单指数模型822021/5/9（2）资产组合的收益和风险特征期望收益率资产组合的方差四、最优投资组合的确定单指数模型假设投资者的组合选择必须满足以下两个条件之一：⑴预期收益水平确定的情况下，方差最小；⑵方差确定的情况下，预期收益最大第三章单指数模型832021/5/9s.t.842021/5/9五、单因素模型的提出假设每个股票收益受到一个共同的宏观因素影响。夏普用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素：股票收益公式为Ri=αi+iRM+ei

Ri=ri-rf是股票超过无风险收益的超额收益，i是股票i对宏观因素的敏感程度，RM=rM–rf是市场收益超过无风险收益的超额部分,IRM合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素。852021/5/9αi是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。ei是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。真正影响股票期望收益的是iRM，要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度i。由于Ri是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。五、单因素模型的提出862021/5/9

股票i的收益率的方差为：σ2i=2iσ2M+σ2(ei)非系统风险独立于是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率系统风险，因此RM和ei的协方差为0。eiRi与Rj的协方差，都与市场因素RM有关，所以，Ri与Rj的协方差为Cov(Ri，Rj)=Cov(iRM，jRM)=ijσ2M

现在需要的估算量为：n个期望超额收益E(Ri)的估计，n个公司i的估计，n个公司特有方差2(ei)的估计和1个宏观经济因素的方差2M的估计。现在的估算量是3n+1，减少了估算工作量。再看上海、深圳1400种股票的例子，现只需估算4201种。五、单因素模型的提出872021/5/9六、单指数模型的几何表达单指数模型可以表达为一条截距为αi，斜率为i的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。882021/5/9七、资产组合的方差单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统风险并不变化。假定一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益为：Ri=αi+iRM+ei整个资产组合的超额收益为：RP=αP+PRM+eP

等权重资产组合的超额收益可以表示为RP=∑wiRi=1/n∑Ri=1/n∑(αi+iRM+eI)=1/n∑αi+(1/n∑i)RM+1/n∑ei

由于P=1/n∑i；αP=1/n∑αi，是一个常数；eP=1/n∑ei，因此资产组合的方差为σ2P=2Pσ2M+σ2(eP)892021/5/9八、等权重资产组合方差的分解

定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增加而变化。定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合的方差将接近于系统方差。902021/5/9八、等权重资产组合方差的分解

912021/5/9当分析一个证券投资组合时。多因素模型比单因素模型会给投资者以更好的结果。其中—个显然比较重要的因素是市场影响力，在多因素模型中它总是被当做影响因素之一。评定哪些因素适合，既是用分析的方法决定哪些因素在理论上对回报率产生重要影响的问题，又是用统计的方法评定这些决定因素的问题。除了综合市场因素以外，这种分析显示了增长股、周期股、稳定股和能源股的划分对于解释回报率来说是十分重要的。第四章多因素模型922021/5/9

除了综合市场因素外，还存在一些影响证券子集合的因素，并建立起关联关系。这些其他的因素被认为是超市场的关联关系。表6-13显示了风险的主要来源和在一种典型股票的总风险中能被这种因素解释的百分比。表6-13证券风险来源来源风险的百分比(％)综合市场30增长性、周期性、稳定性、能源性15行业关系10特有45总计100第四章多因素模型932021/5/9

表6-14显示了用多指数模型计算一个假定的投资组合(与表6-4中单指数模型用的是同一个投资组合)的预期回报率和风险所得到的结果。市场预期回报率为11.4%,增长性指数的预期回报率为1%，周期性指数是-2%，稳定性指数是-1%，能源性指数是2%。

多指数模型的应用第四章多因素模型942021/5/9表6-14投资组合风险和回报率，多指数模型权重方差证券(％)默克0.4501.200.98-0.62-0.20-0.282332贝恩里赫姆钢铁0.0501.09-0.260.98-0.29-0.24448科洛格0.1000.89-0.41-0.600.74-0.58385切夫龙0.4000.89-0.63-0.32-0.211.2481投资组合的值1.0001.040.15-0.42-0.110.306521、2、资料来源：TerryJenkins．I．T．S．Associales．Inc．．Cambridge．Mass．952021/5/9图6-13与市场相关的风险，与超市场因素相关的风险和特有风险图6-13与图6-9相似，只是图6-9更清楚地表明了这种影响。图6-9只显示了两种风险成分，而图6-13显示了三种：与超市场相关的风险，与市场相关的风险和特有风险。962021/5/9

构建一个具有最小化的非市场风险和较高的正α的投资组合，以此来提高投资组合每单位风险的α。投资组合的最优化技术实际上是提供一种决定投资组合中各个证券的组合和比重，来达到投资组合的风险－回报率特征的最优水平。第四章多因素模型972021/5/9多因素模型生成有效前沿需要的数据输入量：一个100种证券的投资组合的数据输入模型回报率方差协方差总计马科维茨10010049505150单指数10l10l100302多指数105105500710表6-15投资组合选择模型的数据输入第四章多因素模型982021/5/9第四章多因素模型992021/5/9

构造投资组合的有效前沿：

给定证券的回报率、方差和协方差的估计，就可以用二次规划法来导出有效的投资组合的集合，对于权益的选择该方法还导出了在不同回报率水平下风险最小的投资组合，以洋细说明在该回报率水平下，证券在投资组合中的成分证券及其比重。第四章多因素模型1002021/5/9表6-16投资组合组成：预期回报率14％，标准差18％股票投资组合的权重股票投资组合的权重Alcoa1.5Coca-—Cola2.6AmericanCan2.9KrattcoI．0AmericanHomeProducts2.3MinnesotaMining＆Manufacturing3.1BorgWarner2.6Merck5.6Burlington2.2NationalCashRegister0.3ChesebroughPond1.2NalcoChemical2．IColumbiaGasSystems5.0Procter&Gamble3.2CampbellSoup0.6R．J．Reynolds1.1Deere1.2Sears．Roebuck&Co7.1EastmanKodak7.2StandardoilofCalifornia2.7FederatedDepartmentStores5.2Sunbeam0.5GulfOil3.2SquareD0.1Georgia-Pacific0.8Shelloil5.9Gillette1.3Timken2.1GoodyearTire&Rubber3.7TRW1.9Honeywell1.6Texaco6.3InterllationalBusinessMachines4.5UnionoilofCalifornia1.7InternationalPaper3.4Exxon0.9InternationalTelephone＆Telegraph1.0――Kellogg0.3总和100.0表6-16显示了在单指数和多指数投资组合选择模型的比较研究过程中产生的一个投资组合，它是这种过程的具有代表性的结果。在表中列出了38种证券和它们在投资组合中的比重。1012021/5/9由二次规划方法产生的投资组合的实用性取决于在该过程中数据输入的质量――或者说是在整体中各个证券的估计回报率的正确水平，它还依赖于风险估计或者说是证券回报率的方差和协方差估计的精确性。单指数模型忽略了风险的非市场方面的来源，而忽略附加风险的这样一种重要的来源可能导：致错误估计有效投资组合的前沿。多因素模型将风险的附加来源编入，既简化了模型的输入，又很好地表达了有效前沿。第四章多因素模型1022021/5/9检验包括了100种股票，所选数据是1961~1969年的回报率基础上计算出的。产生的两种有效的投资组合，一种是基于单指数模型输入，另一种是基于多指数模型输入。图6-14事前的有效前沿：单一指数模型和多指数模型评价单指数模型和多因素模型在有效投资组合中的相对效果1032021/5/9事前检验的结论：

多指数模型在同等风险水平下比单指数模型有更高的回报率。这证明了在推导有效投资组合上多指数模型的优势。事后检验的结论：

对投资组合在1970~1974年的表现和评估也显示多指数模型投资组合还是优于单指数模型投资组合。尤其是在同等风险水平下多指数投资组合的回报率总是高于单指数投资组合。1042021/5/9自二十世纪六十年代以来，许多学者在Markowitz投资组合的均值—方差理论和方法的基础上开展投资组合理论的研究工作。主要工作主要集中在以下几个方面：

第一、探讨简化大规模投资组合模型及有效算法使用多因素手段降低协方差矩阵的秩使用智能算法求解复杂的投资组合问题传统的优化方法求解复杂的投资组合问题往往不是十分有效，而智能算法却能很好地解决该问题，例如，遗传算法（GA）、粒子群算法（PSO）、模拟退火算法（SA）、神经网络算法（NN）等。第五章投资组合研究主要问题及模型1052021/5/9第二、简化计算有效投资组合所需要的数据类型、数

据量和计算过程

利用资产价格（收益）的观察数据进行期望收益、风险的统计估计、利用单指数模型、多因素模型、特征曲线等进行回归分析和因子分析及估计。第三、寻求新的风险度量标准以及投资组合选择准则

使用收益的方差、下半方差、绝对离差、下半偏差、风险价值VaR、条件风险价值CVaR等作为风险度量。使用最大化收益、最小化风险、最大化偏度、最大化熵、安全第一准则等作为投资组合选择准则第五章投资组合研究主要问题及模型1062021/5/9绝对偏差（Konno）半绝对偏差（Speranza）极大极小半绝对偏差（Fang）第五章投资组合研究主要问题及模型1072021/5/9

Roy研究了安全第一准则下的最优投资组合选择问题，安全第一准则模型的决策规则是极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”这一事件的概率；Artzner，Pflug，Basak和Shapiro等研究了以VaR作为风险度量指标的投资组合问题；由于VaR不满足相容性风险度量中的次可加性条件（意味着在某些情况下拒绝投资组合分散化）而受到批评，基于此，人们又给出了条件风险值CVaR作为对VaR的一种修正（参见Rockafellar和Uryasev）。第五章投资组合研究主要问题及模型1082021/5/91092021/5/9第四、各种不确定环境下投资组合理论

基于模糊集理论的投资组合研究

基于模糊随机理论的投资组合研究

基于随机模糊理论的投资组合研究

基于耐特不确定下的投资组合研究第五、动态投资组合选择理论研究

连续时间投资组合研究

多阶段投资组合研究

具有背景风险的长期投资组合研究第五章投资组合研究主要问题及模型1102021/5/9随机不确定环境下，单期投资组合模型均值-方差/半方差模型:Markowitz(1952)，Mao(1970)，Yu(2003),Alexander等(2007),Fang(2007),Yang(2011).已有单期投资组合选择模型单指数模型:Sharpe(1963),Bierman(2006),Hamada(2012)均值-绝对偏差模型:Konno(1990,1991),Liu(2011),Zhang(2012)均值-方差-偏度模型:Bhattacharyya等(2011)，Li等(2010),Pindoriya(2010)等,Yu和Lee(2010),Pindoriya等(2010）

背景风险模型：Cocco(2005),Fan和Zhao(2009),Jiang等(2010）损失厌恶模型：Benartzi和Thaler(1995)，Duffy等(2007）安全-首要模型:Roy(1952),Haan等(1994),Haque等(2004)VaR/CVaR风险度量模型：William(1963),Gordon等(2004)，Alexander等(2006),Angelelli等(2008),Yu等(2009),Tong(2010)第五章投资组合研究主要问题及模型1112021/5/9Markowitz均值-方差模型的拓展模型：Merton(1973)，Zenios(1998)，Morey(1999)，Briec和Kerstens

(2009).动态多期投资组合优化模型：Mossin(1968),Li和Ng(2000)Costa和Nabholz(2005),Chen等(2010),

Fu等(2010).基于随机规划的多期投资组合模型：Gulpinar等(2002),Rapach和Wohar(2009),Calafiore(2008),Geyer等(2009).

基于鲁棒优化的多期投资组合模型：Pflug(2001),Shen和Zhang（2008),Gulpinar等(2004),Hibiki(2006),Pinar(2007),Chen和Tan(2009).多期投资组合选择问题的研究成果随机不确定环境下，多期投资组合模型第五章投资组合研究主要问题及模型1122021/5/9单期模糊投资组合问题研究基于可能性理论的模糊投资组合模型：Tanaka和Guo(1999),Tanaka等(2000),Carlsson等(2002),Zhang等(2007,2008,2009,20010)

基于可信性理论的投资组合模型：Huang(2006,2008)，Qin等(2009),Li等(2009,2010),Zhang等（2010,2011）基于区间规划的投资组合模型:Li(2000),Parra等(2001),Lai等(2002),Ida(2003,2004),Giove(2006),Li和Xu(2007),Zhang等(2008)基于模糊决策理论的投资组合模型：Watada(1997,2001),Ramaswamy(1998),León等(2000,2002),Fang和Wang(2006)基于混合不确定性的投资组合模型：Katagiri等(2005),Huang(2007),Yazenin(2007),Hasuike等(2009),Hao和Liu(2009),Li和Xu(2009)模糊不确定环境下，单期投资组合模型

模糊多期投资组合问题研究仍处在探索阶段：Zhang等(2012a,b),Huang等(2012).第五章投资组合研究主要问题及模型1132021/5/9一、有效投资组合模型expectedreturn:variance:

是不允许卖空限制，“先买后卖”，≥0or≥0

第六章可容许有效投资组合模型1142021/5/9一般形式：

Efficientfrontierofportfolio(0≤w≤1)第六章可容许有效投资组合模型1152021/5/9ThetestdatawerefromFTSE100(UK)andcorrespondtoweeklypricesfromMarch1992toSeptember1997,andthenumberofdifferentassets(N)was89.1162021/5/9流动性限制证券的流动性是指证券的变现能力。度量证券流动性的方法比较多，其中较为常用的方法有：交易股数、交易笔数、交易金额、换手率和流通速度。若干现实约束1172021/5/9交易费用限制

在投资活动中，每一次交易发生，投资人都要按交易额的一定比例向交易所和证券经纪人交纳相应的费用，如手续费、税款和佣金等。

V－型交易费用若干现实约束1182021/5/9典型交易费用非凸非凹型交易费用若干现实约束1192021/5/9最小交易单位限制（智能算法求解）在我国股票市场要求股票交易最小单位为一手，即100股，每次交易量必须是一手的整数倍。wi最小交易单位；pi价格；B总资金额；xi是投资比例，是[0,1]之间实数。投资数量限制

在证券市场中，证券的交易数量通常具有限制，投资者和管理机构在实际投资决策中基于各种考虑，常常对于资金的分配也有要求。

若干现实约束1202021/5/9Busetti,

Franco,MetaheuristicApproachestoRealisticPortfolioOptimization,2005

1212021/5/9Bothfloorandceilingconstraintswillclearlyhaveanegativeimpactonaportfolio1222021/5/91232021/5/9基数限制（Cardinalityconstrained）

Theintroductionofcardinalityconstraintsmay

resultinadiscontinuousefficient

frontier.（Chang2000)若干现实约束1242021/5/9Theimplementationofcardinalityconstraintsisessentialforfindingthebest-performingportfolio.Theabilityoftheheuristicmethodtodealwithcardinalityconstraintsisoneofitsmostpowerfulfeatures.Theoptimalportfoliosgeneratedforthecardinality-constrainedcasewillalwaysbeconservativerelativetothetrueefficientfrontier.1252021/5/91262021/5/91272021/5/9Markowitz模型的基本假定是证券市场未来的状态能够被过去的证券数据正确反映，即所有证券未来的平均收益、方差和协方差都和过去完全相似.这种假定条件在实际变化的证券市场中难以实现.在实际应用中，使用投资组合模型需要估计每个资产收益的概率分布，或者估计每一种资产的期望收益、方差和协方差.由于各种不确定因素影响着金融市场，证券的收益通常不能被准确的估计和预测.基于这样的事实，我们假定证券的期望收益和风险具有估计偏差显然是合理的.这一章我们在假定证券的期望收益和风险具有投资者可接受的估计偏差—称为可容许偏差的条件下研究有效投资组合的选择问题.第六章可容许有效投资组合模型1282021/5/9二、风险资产的可容许有效投资组合模型模型(4.11)是一个包含可容许收益偏差和可容许风险偏差的投资组合模型，模型(4.11)的最优解称为可容许有效投资组合，所有的可容许有效投资组合称为可容许有效前沿.第六章可容许有效投资组合模型1292021/5/9第六章可容许有效投资组合模型1302021/5/9三、允许借入的可容许有效投资组合模型投资者自有资金w,允许投资者能够借入资金v,借入利率为r*。具体看下面发表的论文：Ananalyticderivationofadmissibleefficientfrontierwithborrowing，EuropeanJournalofOperationalResearch184(2008)229–243第六章可容许有效投资组合模型1312021/5/9

在以往诸多投资组合选择模型中，往往以概率论方法来处理投资中的不确定性。由于金融市场受到许多非随机因素（如：政策、投资者心理期望、行为偏好等）的影响，使得金融资产的价格及收益具有模糊不确定性。另外，投资者也经常使用模糊语言表达意见，如高收益、低风险等。这样，在随机不确定性环境下的传统投资组合研究难以描述模糊不确定情形和满足现实要求。目前，已有一些学者利用模糊集理论研究了投资组合问题，以下将简单介绍几种具有代