2023届备考复习统计（二）

第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。2.所求直线方程叫做回归直线方程；其中回归直线方程必过中心点3．相关系数的性质(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4.残差平方和越小,即模型拟合效果越好5.两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量(3)根据随机变量K2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率典型例题：例1．（2009宁夏海南卷）对变量x,y有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断（）。（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关变式1.(2007韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（）甲乙丙丁例2.一系列样本点的回归直线方程为若则变式1.某地2008年第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是()月份456月平均气温202530月用水量152028AB.C.D.例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）例4．(2008惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据计算k2=_______________比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名：学号：1．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为2.下表是某厂～月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份用水量由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则3.一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A． B． C． D．4．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（）A．6 B． C．66 D．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(2008广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．7.(2008韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）/月收入段应抽出人.8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.9.为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:性别与喜欢数学课程列联表

喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得,高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系?为什么?10.在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：价格x1.41.61.822.2需求量y1210753（1）画出散点图；（2）求出Y对X的回归直线方程；（3）如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？开始输入否是开始输入否是输出结束第11题图甲乙1234甲：乙：（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问输出的大小为多少？并说明的统计学意义。12.为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.0.031000.0250.0150.0059080706050组0.031000.0250.0150.0059080706050组距频率率率分数（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；(2)估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3)从物理成绩不及格的学生中任选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。2.所求直线方程叫做回归直线方程；其中回归直线方程必过中心点3．相关系数的性质(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4.残差平方和越小,即模型拟合效果越好5.两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量(3)根据随机变量K2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率典型例题：例1．（2009宁夏海南卷）对变量x,y有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关（D）变量x与y负相关，u与v负相关解析：由这两个散点图可以判断,变量x与y负相关，u与v正相关,选C变式1.(2007韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（D）甲乙丙丁例2.一系列样本点的回归直线方程为若则31变式1.某地2008年第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是(D)月份456月平均气温202530月用水量152028AB.C.D.例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）解:(1)散点图略(2)；所求的回归方程为(3)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)例4．(2008惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据计算k2=_______________比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别____________．1．78不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名：学号：1．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为4502.下表是某厂～月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份用水量由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则3.一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（D）A． B． C． D．4．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为AA．6 B． C．66 D．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（D）A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(2008广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是760人．7.(2008韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）/月收入段应抽出25人.8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是.,9.为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:性别与喜欢数学课程列联表

喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得,高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系?为什么?10.在一段时间内，某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：价格x1.41.61.822.2需求量y1210753（1）画出散点图；（2）求出Y对X的回归直线方程；（3）如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？第11题图甲第11题图甲乙1234甲：乙：（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问输出的大小为多少？并说明的统计学意义。解:（Ⅰ）茎叶图如右.统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;甲乙12340甲乙123406044760679071332519④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散.（Ⅱ）表示株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.值越小，表示长得越整齐，值越大，表示长得越参差不齐.12.为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.解:（Ⅰ）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.320.321000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，3x+8x+19x+0.321+0.081=1，∴x=0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则∴n=50∴调查中随机抽取了5