测量误差理论

测量误差理论第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第六章测量误差理论第一节

测量误差的概述第二节

评定精度的标准

第三节

误差传播定律及应用

第四节

同精度直接观测平差第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日本章要求教学目标：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；理解误差传播定律的应用。教学重点：偶然误差的四个特性；观测值的算术平均值及与算术平均值中误差；衡量观测值的精度；常见函数的中误差计算。教学难点：常见函数的中误差计算；误差传播定律的应用。

第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在差异，比如：

1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：

三角形α+β+γ≠180°

闭合水准∑h≠0第一节测量误差概述第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为真误差，即:

测量误差(△)=观测值-真值观测值：各次观测所得的数值

真实值：客观存在的数值

iiLX-=D第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日研究测量误差的来源、性质及其产生和传播的规律，解决测量工作中遇到的实际问题而建立起来的概念和原理的体系，称为测量误差理论。任何观测都不可避免地要产生误差。为了获得观测值的正确结果，就必须对误差进行分析研究，以便采取适当的措施来消除或削弱其影响。

第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。2、观测者：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。一、测量误差的来源第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日观测者、测量仪器和观测时的外界条件是引起观测误差的主要因素，通常称为观测条件。

等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。多余观测：观测值个数大于未知数个数的观测。

粗差：因读错、记错、测错造成的错误。第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日二、测量误差的分类

在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：

误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。

1、系统误差

—误差的大小、符号相同或按一定的规律变化。第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

例：钢尺—尺长、温度、倾斜改正水准仪—

i角经纬仪—

c角、i角

注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。

消除和削弱的方法:

（1）校正仪器；

（2）观测值加改正数；

（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。

第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。偶然误差反映了观测结果的精密度。精密度：指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观测值之间相互的离散程度。2、偶然误差第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日真误差观测值与理论值之差o180-=-=DLiXLi第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（对称性）④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：

①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）

②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（单峰行）（抵偿性）偶然误差的特性第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日也称为错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施或进行多余观测。3、粗差第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日粗差——要细心注意避免读错、记错、听错系统误差——按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。偶然误差——根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。如多余观测，提高仪器等级、求最可靠值等。三、误差处理原则第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第二节评定精度的标准精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准

中误差

容许误差

相对误差第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日一、中误差

定义

在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日解：第一组观测值的中误差：

第二组观测值的中误差：

，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；

二、容许误差（极限误差）即Δ容=2m或Δ容=3m。

极限误差的作用：

区别误差和错误的界限。第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。

中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差

一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日相对误差是个无量纲数，显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：

K1,K2

解：第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第三节误差传播定律及应用

在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。例如：

h=a-b

线性函数

非线性函数误差传播定律：表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律。第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函数第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日式中：是函数F对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：误差传播定律的一般形式第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日计算步骤：第一步：写出函数式第二步：写出全微分式第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日二、误差传播定律的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

例1：函数式，测得

求

的中误差。解：第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例2:在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。求A、B两点实地距离D及其中误差mD。解：D=MS=500×163.6(mm)=81.8(m)(M为比例尺分母)∴D=81.1±0.1(m)mD=MmS=500×0.2(mm)=±0.1(m)第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日

例3：某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，试求该水准路线高差及其中误差。

∴h=16.882m±7.1mm解

h=h1+h2+h3=16.862(ｍ)

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±7.1(mm)第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日第四节同精度直接观测平差一、最或然值计算设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为，相应的真误差为则...

第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日相加除以n式中：

L为算术平均值根据偶然误差第四个特征，即当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是真值。

第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日二、评定精度1、观测值中误差由前面可知，同精度观测值中误差为：

由于未知量的真值X无法确知，真误差

也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数（其意义等同于最或是误差）来计算观测值的中误差。改正数：由改正数可以计算同精度观测值中误差第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日2、最或然值的中误差设对某量进行了n次同精度观测，其观测值为，观测值中误差为m，最或是值为L。有按中误差传播关系式故第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例4：设对某角