流体力学基本方程

流体力学基本方程第一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一节研究流体运动的方法流场

——

充满运动流体的空间称为流场

流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；

流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动和物性的参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是连续的。并且随时间和空间而变化。

连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。第三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？盯人战术

联防战术

用五名己方球员分别对对方球员进行一对一的跟踪防守。

用己方五名球员对防守半场进行分区监管，一人负责一片区域的防守。布哨跟踪？？？请问如何获取某对方球员的行踪？第四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪

根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。第五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日拉格朗日法着眼于流体质点跟踪个别流体质点

研究其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中所有流体质点的运动流场分布又称随体法第六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日跟踪个别流体质点(a,b,c)质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）t0时刻:t时刻:流场中全部质点都包含在（a,b,c）的变数中(a,b,c)

是拉格朗日变数，即

t=t0

时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。第七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日同样，流体质点的密度、压强和温度也是拉格朗日变数（a,b,c,t）的函数第八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日欧拉法着眼于研究空间固定点的情况选定某一空间固定点

记录其位移、速度、加速度等随时间的变化情况综合流场中许多空间点随时间的变化情况通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。

流场分布第九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量第十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。采用欧拉法，加速度是一阶导数；而拉格朗日法，加速度是二阶导数。所得的运动微分方程，分别是一阶偏微分方程、和二阶偏微分方程。在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。

拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。第十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

拉格朗日法欧拉法同时描述所有质点的瞬时参数分别描述有限质点的轨迹表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性

拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法两种方法的比较第十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日随体导数及随体加速度第十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日或称为随流导数、物质导数（substantialderivative）、质点导数（particlederivative），也称全导数。第十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日??矢量标量第十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例子◆流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即◆若流体既均质，同时不可压，则流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即第二十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日质点全导数：

——定常流动；——均匀流动迁移导数当地导数全导数若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为定常（恒定）流。否则，为非定常（非恒定）流。若某一时刻流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场（流），否则为非均匀场（流）。第二十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日【例】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a，

y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。

【解】

将上式积分，得上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2第二十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2

（1）将t=3代入上式得

X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8

（2）a=2，b=2时

x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)第二十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日【例】在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？

【解】

第二十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1.系统(1)定义(2)特点系统运动时，其位置、形状都可能发生变化，但系统质量守恒2.控制体(1)定义(2)特点与系统不同，控制体只是一个框架，控制体表面可以有质量交换无数个确定的流体质点的集合。流体通过的流场中的某一确定的空间区域，这个区域的边界面为控制面。系统和控制体系统与控制体第二十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第二节流体运动的基本概念一、一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动参数是一个坐标的函数；二维流动：流动参数是两个坐标的函数；三维流动：流动参数是三个坐标的函数。对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动，可以使得求解过程尽可能简化。

二维流动→一维流动三维流动→二维流动第二十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日迹线

——

流体质点的运动轨迹线。属拉格朗日法的研究内容。

给定速度场，流体质点经过时间移动了距离，该质点的迹线微分方程为起始时刻时质点的坐标，积分得该质点的迹线方程。二、迹线和流线第二十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流线

——

速度场的矢量线。任一时刻t，曲线上每一点处的切向量都与该点的速度向量相切。流线微分方程：第二十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流线的几个性质：在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。迹线和流线的差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应；流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。第二十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线组成的管状表面。流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。流束——充满流管的一束流体。微元流束——截面积无穷小的流束。

微元流束的极限是流线。微元流束和流线的差别：流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。

总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。三、流管和流束第三十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日四、缓变流和急变流缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流。流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。

五、有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者总流中，与所有流线都垂直的截面。体积流量（）：质量流量（）：流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。质量流量（）：体积流量（）：质量流量（）：质量流量（）：质量流量（）：体积流量（）：质量流量（）：第三十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般地不加下标a，直接用

v表示。六、湿周水力半径当量直径

湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。圆形截面管道的几何直径非圆形截面管道的当量直径矩形管道环形截面管道管束第三十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1.系统（system）——由确定的流体质点组成的流体团或流体体积V(t)。系统边界面S(t)在流体的运动过程中不断发生变化。

2.控制体(controlvolume)——相对于坐标系固定不变的空间体积V

。是为了研究问题方便而取定的。边界面S

称为控制面。

SystemControlVolumeControlSurface第三节连续性方程第三十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日3.输运公式

系统和控制体系统：边界用虚线表示；控制体：边界用实线表示。左边(a)图对应着t时刻；右边(b)图对应t＋δt时刻。N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;η表示单位质量流体所具有的该种物理量。t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为V：系统在t时刻的体积；V’：系统在t＋δt时刻的体积。第三十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日即时，有。如果用CV表示控制体的体积，则有CS2为控制体表面上的出流面积；CS1为流入控制体表面的入流面积。整个控制体的面积第三十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日输运公式

或者输运公式的具体含义：任一瞬时系统内物理量N

（如质量、动量和能量等）随时间的变化率等于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。

对于定常流动：当地导数项迁移导数项流场的非稳定性引起流场的非均匀性引起或者第三十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日输运公式为

由质量守恒定律：积分形式的连续性方程：方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制体表面的质量的净通量。

定常流动的积分形式的连续性方程：4.积分形式的连续性方程

第三十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日应用于定常管流时：A1，A2为管道上的任意两个截面截面A1上的质量流量截面A2上的质量流量和分别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：

对于不可压缩流体：一维定常流动积分形式的连续性方程

方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。

方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流量等于常数。在同一总流上：流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流速大。第三十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达式。

取如图所示微小六面体为控制体，分析在dt时间内流进、流出控制体的质量差：5.微分形式的连续性方程

第三十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日x方向:Y方向：Z方向：第四十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日据质量守恒定律：

单位时间内流进、流出控制体的流体质量差等于控制体内流体面密度发生变化所引起的质量增量。即：将代入上式，化简得：或上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式。第四十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

对于恒定不可压缩流体，连续性方程可进行简化：

定常流

或不可压缩流体或积分式：直观、物理意义明确，无需了解流场内部的流动细节，只需要控制面上的流场参数微分式：给出了密度与速度场的分布规律思考：以下表达式是否为一不可压二维流动的速度？第四十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日一、流体微团的运动类型刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）第四节流体微团的运动分析第四十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日二、相邻点运动的几何图形描述1、平移速度：ux，uy，uz2、线变形速度（指的是单位时间微团相对线变形量）

x方向线变形x向线变形速度

同理

产生原因：各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因第四十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日3、旋转角速度（角平分线的旋转角速度）逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理

第四十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日4、角变形速度（直角边与角平分线夹角的变化速度）存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因同理

第四十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日三、相邻点的运动合成第四十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日亥姆霍兹定理说明：流体微团的运动是由平移、旋转和变形三种运动构成，其中变形运动包括线变形和纯剪切变形。第四十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日有旋流动和无旋流动依据场论的表示法：旋度？

无旋流动有势流动这个分类是很重要的！第四十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流体微团运动无旋流动有旋流动第五十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第五节理想流体运动微分方程

理想流体运动微分方程，是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。

方程描述对象：理想（不考虑黏性）、不可压缩（密度为常数）的流体速度（加速度）与受力的关系。故只考虑法向受力，不考虑切向力。第五十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日一、欧拉运动微分方程

受力分析：2、表面力：切向应力＝0（理想流体）法向应力＝压强1、质量力：fxρdxdydzx轴正方向x轴正方向x轴负方向第五十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日根据牛顿第二定律，得x轴方向的运动微分方程，即：理想流体的运动微分方程---欧拉运动微分方程第五十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日矢量式为：单位质量流体所受的质量力单位质量流体所受的总压力单位质量流体所受的惯性力第五十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日二、欧拉运动微分方程的葛罗米柯-兰姆形式欧拉运动微分方程是描述理想流体运动的基本方程，但方程中只有表示移动的线速度，而没有表示旋转运动的角速度，因而无法从方程来判断流动是否有旋，为此，对欧拉运动方程式进行变换：该方程称为葛罗米柯-兰姆拉运动微分方程，该方程可以显示流体流动是有旋还是无旋的。若流动有旋，右边第三项不等于零，反之，为零。第五十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流体静压强及其特征“静”——绝对静止、相对静止1.静压强定义平衡状态2.静压强特征a.静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法第六节流体静力学第五十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日质量力表面力证明：取微小四面体O-ABCb.任一点静压强的大小与作用面的方位无关第五十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日与方位无关与位置有关p的全微分第五十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流体平衡微分方程1.流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：第五十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理——欧拉平衡微分方程（1755）（1）（2）（3）第六十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2.力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得——力作功与路径无关的充分必要条件必存在势函数U，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加第六十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日（4）式可写为：——力与势函数的关系——将上式积分，可得流体静压强分布规律第六十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日3.等压面：dp=0（4）式可写为：等压面性质：等压面就是等势面等压面与质量力垂直——广义平衡下的等压面方程第六十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日积分写成水头形式：1.压强分布规律单位m——单位重量能量重力作用下的液体压强分布规律或写成单位Pa第六十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日物理意义：能量守恒p/ρg——压强水头z——位置水头第六十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日压强分布规律的最常用公式：——帕斯卡原理（压强的传递性）适用范围：1.重力场、不可压缩的流体2.同种、连续、静止第六十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2.压强的表示方法a.绝对压强pab以绝对真空为零点压强pa——当地大气压强paAh第六十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日b.相对压强（计算压强、表压）pmc.真空度pv以当地大气压强为零点压强注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！pv第六十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日3.压强单位工程大气压（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa

1bar=105Pa第六十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日4.测压计例求pA（A处是水，密度为ρ，测压计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面例求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的水）解：气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连第七十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日5.压差计例求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面Δh12ρρ’两端分别与测点相连第七十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例求Δp

（管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’的水）解：Δh12ρ’第七十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日6.微压计（放大倍数）第七十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1.等加速直线运动流体的平衡在自由面：相对压强：边界条件：等压面是倾斜平面ogaxz流体的相对平衡a重力（－g）惯性力（－a）由（惯性力）第七十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐标的正负号aoBzx第七十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律解：注意：坐标的方向及原点的位置第七十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2.匀速圆周运动流体的平衡zrogω2r边界条件：在自由面：旋转抛物面注意：坐标原点在旋转后自由面的最底点由（惯性力）第七十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日应用（1）：离心铸造机中心开孔ω第七十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？解：当砂型旋转压强增大约100倍第七十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日应用（2）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r=R，p=pa=0在r=0处，压力最低真空抽吸作用ω第八十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日应用（3）：清除杂质（容器敞开）杂质m1，流体m杂质受力：ωmg（浮力）m1g（自重）m1ω2r（惯性离心力）mω2r（向心力）m1=m不可清除m1<m斜上m1>m斜下第八十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例1

一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力解：盖板任一点承受的压强为任一微小圆环受力第八十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）注意：就是压力体的体积V第八十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例2

在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水恰好上升到H时的转数解：O点的位置由上题可知Hhωoz’z第八十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间Hhωoz’z解得：第八十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例3

一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm转动，求筒内溢出的水量解：利用例2结论溢出的水量体积rad/smz第八十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1.解析法a.总压力流体作用在平面上的总压力

解析法图解法第八十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）注意：h与y的区别第八十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日b.压力中心力矩合成第八十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理第九十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形第九十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日梯形圆半圆第九十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为60°p01m2mo4my第九十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日60°o4myyCyDCD第九十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2.图解法依据作用点：V的形心处——2h/3p0

p0

或第九十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日作压强分布图第九十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第九十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日用分割法求作用点：对AA’求矩第九十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日例：T为何值，才可将闸门打开？（1）用分割法求P大小，作用点为D；（2）对A点求矩θGlATPD或（从形心C处算起）C第九十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日流体作用在曲面上的总压力

二维曲面第一百页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力大小、作用点与作用在平面上的压力相同PxAxAz第一百零一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日（2）垂直方向的作用力作用点通过压力体体积的形心V——压力体体积ρgV——压力体重量AxAzPz第一百零二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日（3）合作用力大小（4）合作用力方向与水平面夹角θPPxPz第一百零三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日实压力体与虚压力体实压力体虚压力体第一百零四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2.压力体的作法压力体由以下各面围成：（a）曲面本身；（b）通过曲面周界的铅垂面；（c）自由液面或者延续面第一百零五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百零六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日与深度无关——浮力第一百零七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日p压力体水平压力第一百零八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百零九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百一十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第七节伯努利方程欧拉运动微分方程是描述理想流体运动的基本方程，用来解决实际问题时，必须对其进行积分。以下讨论欧拉运动微分方程的伯努利积分和欧拉积分。葛罗米柯-兰姆形式：给三个限定条件以推出另一种形式，便于对欧拉运动微分方程进行积分：1)流动定常2)存在力势函数3)流体为正压流体(不可压均质流体)第一百一十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日在以上三个条件下，葛罗米柯-兰姆运动微分方程可简化为：一、伯努利积分上式沿流线积分，左右各乘流线上任一微元线段dl的三个轴向分量dx,dy,dz,第一百一十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日因流动定常，故流线与迹线重合，即：三式相加可得：注意：Cl为积分常数，仅适用于同一条流线，称之为流线常数。上式即为伯努利积分，为正压理想流体在有势质量力作用下定常有旋流动时沿同一流线的积分。第一百一十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日二、欧拉积分在定常、有势力、正压的限定条件基础之上，再加之无旋条件，即：将方程组中三式依次分别乘以流场中任意微元线段dl的三个轴向分量dx、dy、dz，相加后积分，可得：上式即为欧拉积分，为正压理想流体在有势质量力作用下定常无旋流动时的积分。第一百一十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日三、重力作用下的伯努利方程如质量力仅有重力，取z轴向上为正，则W=gz对于不可压缩均质流体，密度为常数，则第一百一十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日四、伯努利方程的意义（速度水头）（压强水头）（位置水头）（总水头）方程的几何意义：理想不可压缩的重力流体作一维定常流动时，沿任意流线或者微元流束，单位重量流体的速度水头、位置水头、压强水头之和为常数，即总水头线为平行于基准面的水平线。方程的能量意义：伯努利方程式表示单位重力流体所具有的位能、压力能动能之和即总机械能为一常数。同一条流线上各点的单位重力流体的总机械能相同，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应用，又称为能量方程。第一百一十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日五、重力作用下粘性流体微元流束伯努利方程式1、实际流体微小流面的Bernoulli方程为克服阻力，1断面到2断面的能量损失同乘重度

第一百一十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日六、粘性流体定常总流伯努利能量方程第一百一十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日（1）势能积分（2）动能积分——动能修正系数层流α=2紊流α=1.05~1.1≈1第一百一十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日（3）水头损失积分实际流体的总流上的伯努利方程第一百二十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日12伯努利方程式的应用条件：

1、恒定流动；

2、质量力仅有重力；

3、流体为不可压缩流体，

4、所取过流断面截面处为缓变流

第一百二十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日伯努利方程具体应用的步骤

分析流动现象，能否用伯努利方程选取截面：选取两个缓变流截面选取基准面和基准点，基准面是计算位置水头，基准点是压强水头和位置水头的取值点，基准点一般选择在截面形心处。列出方程，并与连续性方程和静力学方程联合求解第一百二十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1、沿程有能量输入或输出的伯努利方程式总流两断面间如果装有泵、风机、水轮机等装置，流体流经这些装置就会有能量交换，则总流的伯努利方程式为HP：获得能量为正，失去能量为负。七、伯努利能量方程的其他形式第一百二十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2、沿程有分流的伯努利方程式第一百二十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日通过过流断面1的流体，不是流向断面2，就是流向断面3，对断面1-2，1-3分别列出伯努利方程式：将上面方程1乘以，方程2乘以，相加得分流的伯努利方程式第一百二十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日3、沿程有汇流的伯努利方程式同理可得汇流的伯努利方程式第一百二十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日1、皮托管（测量点速的仪器）取轴线0-0为位置水头零位，在轴线1、2点处列Bernouli方程Z1、Z2=0，皮托管液体静止，故静压平衡条件

ψ—流速修正系数，一般由实验确定，ψ=0.97七、伯努利能量方程的其他形式第一百二十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日毕托管使用方法：

1.要正确选择测量点断面，确保测点在气流流动平稳的直管段。

2.测量时应当将迎流孔对准气流方向，测量点插入孔应避免漏风，可防止该断面上气流干扰。

3.用皮托管只能测得管道断面上某一点的流速，由于断面流量分布不均匀，因此该断面上应多测几点，以求取平均值。

4.使用前测试一下畅通性。小静压孔经常检查，勿使杂质堵塞小孔使用后及时清洁内外管，以保证长期良好状态。

5.标准皮托管检定周期为五年。迎流孔顺流孔接差压计尾柄头部第一百二十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2、文丘里流量计（测量流量）

第一百二十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日取轴线0-0为位置水头零位，对测压处1-1和2-2列Bernouli方程连续方程静压方程第一百三十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

除文丘里流量计外，工程上常用的还有孔板流量计和喷嘴流量计，它们都属于节流式流量计。

孔板流量计第一百三十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日喷嘴流量计工程上常用的流量计还有转子流量计、靶式流量计、电磁流量计、超声流量计等。

涡轮流量变送器第一百三十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2—1已知虹吸管的直径d=150mm,布置形式如图所示，喷嘴出口直径，不计水头损失，求虹吸管的输水流量及管中A、B、C、D

各点压强值。解：（1）取喷嘴出口为基准，列1—1和2—2断面的能量方程：

习题2—1附图伯努利方程例题第一百三十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百三十四页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2—2风管直径D=100mm,空气重度，在直径d＝50mm的喉部装一细管与水池相连，高差H=150mm,当汞测压计中读数时，开始从水池中将水吸入管中，问此时空气流量为多大？

题2—2附图第一百三十五页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百三十六页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日2—3泄水管路如图所示，已知直径汞比压计读数，不计阻力，求流量和压力表读数。解：（1）取两个测压管接口处为1—1，2—2断面，并设两断面高差为h题2—3附图第一百三十七页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日第一百三十八页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

动量方程是理论力学中的动量定理在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系，其优点在于不必知道流动范围内部的过程，而只需要知道边界面上的流动情况即可。

在流场中针对具体问题，有目的地选择一个控制体，如图中虚线所示。使它的一部分控制面与要计算作用力的固定边界重合，其余控制面则视取值方便而定。控制体一经选定，其形状、体积和位置相对于坐标系是不变的。动量方程一、用欧拉法描述的流体动量方程第八节动量方程和动量矩方程第一百三十九页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

设

t

时刻流体系统与控制体V重合，且控制体内任意空间点上的流体质点速度为，密度为，则流体系统在t时刻的初动量为，经过时刻以后，原流体系统运动到实线所示位置，这个流体系统在时刻的末动量为第一百四十页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日式中（即图中部分1）—非原流体系统经控制面流入的动量；（即图部分2）—原流体系统经控制面流出的动量；—控制体的全部控制面。于是即这就是欧拉法表示的动量方程,表示作用在控制体内流体上的合外力等于单位时间内净流入控制体的动量与控制体内流体动量的时间变化率。第一百四十一页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日式中—作用在控制体内流体上所有外力的合力；—控制体内流体动量对时间的变化率。当定常流动时，该项为零。它反映了流体运动的非定常性；—单位时间内通过全部控制面的动量代数和。因为从控制体流出的动量为正，流出控制体的动量为负，所以该项也可以说是单位时间内控制体流出动量与流入动量之差（净流出的流体动量）。第一百四十二页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日

在时间内，作用在控制体内流体上的合外力等于同时间间隔内从控制体净流出的流体动量与控制体内流体动量对时间的变化率之和。

定常不可压缩总流流束如右图所。把流线方向取为自然坐标s

的正向，取如图中虚线所示的总流流束为控制体，则总控制体表面上有动量交换。令这两个过流断面上的平均速度为总流的动量方程控制体的动量定理：二、一维流动（定常不可压缩总流）的动量方程第一百四十三页，共一百五十四页，编辑于2023年，星期日应用动量方