第13章保险精算

保险经营与管理第4讲保险精算6/1/20231本章内容第一节保险精算概述附：精算师考试第二节非寿险精算简介第三节寿险精算简介6/1/20232第一节保险精算概述一、保险精算的产生与发展二、保险精算的基本任务三、保险精算的基本原理6/1/20233第一节保险精算概述一、保险精算的产生与发展保险精算是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的基本知识和原理，去解决商业保险和社会保险业务中需要精确计算的项目6/1/20234第一节保险精算概述如研究保险事故的发生规律；保险事故损失额的分布规律；保险人承担损失的平均风险及其分布规律；保险费及责任准备金等保险具体问题的计算6/1/20235第一节保险精算概述人寿保险是从寿险经营的窘困中产生出来的：寿险业发展之初，实行的是保费赋课制，未将年龄大小、死亡率高低与保费高低联系起来，相关计算单一、比较粗糙，考虑的因素较少，因而寿险经营缺乏严密的科学基本6/1/20236第一节保险精算概述寿险业发展史上对精算做出突出贡献的人：荷兰人维德，他倡导运用现值法对计算终身寿险的现值；另一位是英国的天文学家哈雷，他根据对居民的死亡规律进行研究，发明了生命表，从而使年金价值的计算更为科学6/1/20237第一节保险精算概述从历史发展的角度看，保险精算产生于寿险业经营的内在要求；保险精算的发展反过来又推动了寿险经营的发展，并最终形成了一整套的寿险精算体系6/1/20238第一节保险精算概述与寿险精算相比，非寿险经营相对落后。但非寿险业经营却能够维持下去并有利可图和，一个重要的原因是非寿险业期限较短，人们可以容忍相对较高的费率6/1/20239第一节保险精算概述进入20世纪以来，保险业的经营环境出现了前所未有的重大变化：首先，随着科技发展、财富集中，出现前所未有的重大风险其次，保险市场日益完善，保险业的竞争日趋激烈再次，政府对保险业的管制加深6/1/202310第一节保险精算概述以上各种因素交织在一起使得保险人提高费率的难度加大尽管保险精算向非寿险领域的开拓并没有理论上的重大创新，但是要在非寿险领域形成像寿险精算一样的体系即非易事，这主要是非寿险本身的环境决定的6/1/202311第一节保险精算概述二、保险精算的基本任务保险精算最基本的任务是损失率的估测。保险人收取的保险费由纯保费和附加保费构成。从理论上说纯保费是完全反映风险损失的高低，不能包含有利润的成份。而附加保费包括保险人的营业费用和政府认可的合理的利润6/1/202312第一节保险精算概述从理论上说，保险人按照大数定理的要求出售保单，保险人在每张保单上收取的保险费等于该保单所要承担的预期损失，即：纯保费＝预期损失。由此可见，保险定价中关键是确定损失率6/1/202313第一节保险精算概述而损失率的测算其实质即是对各种风险进行评估。如那此损失是可保风险，那此损失可以测算，那些损失可以控制等，均属于保险精算的基本问题6/1/202314第一节保险精算概述寿险精算中，利率与死亡率的测算是厘定寿险成本的二个基本问题。利率大多数情况下由政府控制，因此在相当一段时间并不是寿险精算的主要问题；而死亡率的测算即生命表的建立则成为寿险精算的核心工作。6/1/202315第一节保险精算概述寿险精算之初主要讨论单一生命单一因素相关的风险问题；随着寿险业的发展，单一生命多因素和多生命多因素模型的日益普遍非寿险的精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模及其对损失的控制作为它的研究重点6/1/202316第一节保险精算概述目前，非寿险精算有二个重要的分支：一是损失分布理论；二是风险理论损失分布理论研究在过去有限的统计资料条件下未来损失的分布情况以及损失与赔款的关系等6/1/202317第一节保险精算概述风险理论通过对损失频率和损失规模的分布分析，研究出险次数和每次损失金额大小的复合随机过程，以确定保险公司应该收取多少保险基金方才可以不“破产”，以及破产概率的高低等6/1/202318第一节保险精算概述三、保险精算的基本原理保险精算的最基本原理可以归结为二个基本原则：收支相抵原则和大数法则1、收支相抵原则收支相抵原则是指保险期内的收取保费的现金价值与保险赔款或给付的现金价值相等6/1/202319第一节保险精算概述对于寿险精算，由于期限较长，利息因素必须加以考虑。但其收支的现金价值必须相等保险期间末期的保费本利和与保险赔付的本利和应该相等合同成立时收取的保费现值与支付的保险金的现值应该相等6/1/202320第一节保险精算概述在未来某一时点的保费本利和或现值与支付保险金的本利和或现值相等。2、大数定理大数定理是用来说明大量的随机现象由于其偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理统称。6/1/202321第一节保险精算概述（1）切比雪夫大数定理设经X1X2····Xn两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限的方差：则6/1/202322第一节保险精算概述切比雪夫大数法则说明：在承保标的数量足够时，保险人承保收取保费的平均值与其赔付的期望值一定能够相等6/1/202323第一节保险精算概述（2）贝努利大数定理设某一事件发生的概率为ｐ，用Mｎ表示此事件在ｎ次重复试验中出现的次数，即表示事件发生的频率，则：6/1/202324第一节保险精算概述(3)普阿松大数法则设某事件在第一次试验中出现的概率为p1，在第二次试验中出现的概率为p2，在第ｎ次试验中出现的概率为pn。用Mｎ表示此事件在ｎ次重复试验中出现的次数：6/1/202325附：精算师考试

精算师是运用精算方法和技术解决经济问题的专业人士，是评估经济活动未来财务风险的专家。6/1/202326精算师考试

精算师传统的工作领域为商业保险业，在这个行业，精算师主要从事产品开发、责任准备金核算、动态偿付能力测试等重要工作，确保保险监管机关的监管决策、保险公司的经营决策建立在科学的基础上。

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精算师考试

随着精算科学的发展和应用，精算师的工作领域逐步扩展到社会保险、投资、社会保障、人口分析、经济预测、金融监管等领域。随着世界各国保险业、社会福利业及咨询业的迅速发展，精算师在世界各国已经成为一种热门而诱人的职业

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精算师考试

中国精算师考试从1999年开始实施。2000年12月，中国保险监督管理委员会首次面向社会举办了中国精算师资格考试准精算师考试中的六门课程考试，共有474人次报名参加。中国保险监督管理委员会计划从2000年-2005年，先举行准精算师部分的考试，待条件成熟后，将举办精算师部分的考试

6/1/202329精算师考试

目前，中国精算师考试在北京、天津、上海、武汉、广州设有考点。凡具有大学本科以上学历或同等学历的个人，包括大学本科在校生均可报名参加中国精算师资格考试。

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精算师考试

但属于下述情形之一者，不得参加中国精算师资格考试：①曾受过刑事处罚；②曾因违反金融法规而受过行政处罚；③无国籍；④中国保监会认定为不符合参加中国精算师资格考试条件的其他情形。

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精算师考试

遵循国际惯例，中国精算师资格考试分为两个层次：第一个层次为准精算师考试，考试内容为精算人员必须掌握的精算理论和技能，以及基础的精算实务知识

6/1/202332精算师考试准精算师部分考试共9门必考课程，包括数学基础Ⅰ、数学基础Ⅱ、复利数学、寿险精算数学、风险理论、生命表基础、寿险精算实务、非寿险精算实务、综合经济基础。考生通过全部9门课程考试后，将获得准精算师资格。

6/1/202333精算师考试第二个层次为精算师资格考试，内容以精算实务为主，涉及财务会计制度、社会保障制度、保险法规等.其中必修课为保险财务、保险法规、资产负债管理等3门；选修课为社会保障、个人寿险及年金精算实务、高级非寿险精算实务、团体保险、意外伤害和健康保险、投资学、养老计划等7门

6/1/202334精算师考试获得准精算师资格的考生，通过5门精算师课程的考试并满足有关精算专业培训要求，答辩合格后，才能取得《中国精算师资格证书》。6/1/202335精算师考试凡具有大学本科以上学历或同等学历的个人，包括大学本科在校生均可报名参加中国精算师资格考试。上网考生可通过中国精算师网下载报名登记表，再向各考试中心报名。

6/1/202336精算师考试报名者须提供下列个人有效身份证件之一：中华人民共和国居民身份证或护照、中国人民解放军和武装警察部队的现役军官证、士兵证、文职干部证、当年的转业军官证、复员军人证、或者香港、澳门地区居民身份证、台湾同胞赴大陆通行证、外藉人护照。6/1/202337精算师考试同时提供个人的学历证明原件和复印件，是大学在校生的提供学生证及其复印件。网上报名或邮寄报名的考生只要求提供相关复印文件，但在考试时须出示原始文件。

6/1/202338第二节非寿险精算概述非寿险精算主要包括：保险费率的厘定、“大数”的测定、财务稳定性分析、责任准备金提取的计算、利润分析、自留额与分保额的决策等内容。本节择其中几条介绍：6/1/202339第二节非寿险精算概述一、保险费率的厘定厘定保费费率关键是确定纯保险费率纯费率的确定有二种最基本的方法利用统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率利用损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值除保险金额而得到6/1/202340第二节非寿险精算概述举例：假定根据5年的统计资料，每年的保额损失率为0.21（%）；0.19；0.23；0.18；0.24。则可以求出其平均数为0.21（%）。上述损失率可以看作预期损失率，可以加上一个或两个标准差作为保费费率，上列的标准差为0.023，则纯费率可定为0.233或0.2566/1/202341第二节非寿险精算概述如果纯费率为r,附加费率在保险费率中的比例为k。则保险费率可由在保险实务中，在确定实务费率时，主要的方式有观察法、分类法和增减法6/1/202342第二节非寿险精算概述（一）观察法在保险标的数量较少，无法获得足够统计资料的条件下，可对个别保险标的的风险因素进行分析，估计其损失概率，直接决定其费率观察的主要优点是针对性强，具有灵活、精确的特点6/1/202343第二节非寿险精算概述（二）分类法分类法是将性质相同的风险，分别归类，而对同一分类的各风险单位，根据他们共同的损失概率，订出相同的保险费率,这是最常用也是最重要的费率厘定方法，其它方法都直接或间接地利用这种方法6/1/202344第二节非寿险精算概述分类费率确定以后，经过一定时期如与实际经验有所出入，则应该进行调整，其调整公式：M调整因素，即费率应调整的百分；A实际损失率；E预期损失率；C信赖因素6/1/202345第二节非寿险精算概述（三）增减法增减是指在同一类别中，对被保险人给予变动的费率。其变动或基于保险期间的实际损失经验；或基于其预想的损失经验；或基于二者。增减法对分类费率可能有所增加，也可能有所减少。6/1/202346第二节非寿险精算概述增减法在实施过程中又有表定法、经验法、追溯法和折扣法。二、大数测定由前所述，大数定理是保险运行的数理基础大数定理应用于保险的结论是：当承保的保险标的数量足够大时，实际的损失额与期望的损失额会趋于一致，二者的误差将足够的小。6/1/202347第二节非寿险精算概述也就是说，大数定理把保险中的不确定的数量关系转化为确定的数量关系；而确定性的大小，决定了上述误差的大小；确定性越大，误差越小。确定性越小，误差越大。下面说明如何确定“大数”的内涵。6/1/202348第二节非寿险精算概述“大数”概念与确定性概念密切相关，因此先讨论确定性的概念，举例：假定100个风险单位，每个风险单位出险的概率为ｐ＝0.3，假定损失服从二项分布，则出险的数学期望为30次，由数理统计知识可知其方差为6/1/202349第二节非寿险精算概述则可推断：损失次数在（21，39）范围内的概率为95%。尽管95%的概率是令人满意的，但损失的范围（21，39）较大，与预期损失30次有10%的误差。由此可见：单纯知道某事件发生概率并不能达到不确定性向确定性的转变，还必须要考虑实际损失的变动与标的总数的比率，这个比率越小，确定性就越好。6/1/202350第二节非寿险精算概述如在上例中，实际损失的变动与标的总数的比率2%，而这一变动范围的可能性为95%。也就是说实际损失在（28，32）之间的概率为95%，这是一个比较理想的确定性关系6/1/202351第二节非寿险精算概述在一定的要求之下，“大数”由下面公式确定N，一定条件下应具有的风险单位数；E，实际损失变动次数与总数的比率；实际损失与预期损失相差的标准差的次数；ｐ某一特定事件发生的概率6/1/202352第二节非寿险精算概述三、财务稳定性分析假定某公司承保的某项业务有ｎ个保险单位，每单位的保险金额为ａ元，纯费率为ｑ则纯保费总额（保险赔偿基金）P＝anq。如果损失的标准差为σ，则aσ为赔偿金额标准差，即Q＝aσ。我们把赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比率，称为财务稳定系数6/1/202353第二节非寿险精算概述财务稳定系数K越小，财务稳定性越好6/1/202354第二节非寿险精算概述上述财务稳定性分析是在各个保险单位的保险金额相同的情况下。如果各个单位保险的保险金额不同，赔偿金额的标准差会产生变化，财务稳定系数也会产生变化假定保险公司承保了二类业务：第一类业务n1个单位，每个保额为a1

，纯保费为q1.第一类业务n2个单位，每个保额为a2

，纯保费为q26/1/202355第二节非寿险精算概述6/1/202356第二节非寿险精算概述四、自留额与分保额的决策保险公司常常面临这样的决策：目前财务状况良好，但为了开展，必须要承保的业务，那么，新业务的保险金额最高为多少时，才不至于原来的K变大？6/1/202357第二节非寿险精算概述设原来原有业务的赔偿基金为P1，赔偿金额的标准差为Q1，则K1＝P1/Q1。现准备接收ｎ个保险单位，保额为ｘ元，纯费率为ｑ，则：P2＝ｎｘｑ6/1/202358第二节非寿险精算概述6/1/202359第二节非寿险精算概述6/1/202360第二节非寿险精算概述6/1/202361第三节寿险精算寿险精算主要研究以生存和死亡为保险事故而引发的一系列计算问题。与生存相关的问题一般由年金来处理，与死亡相关的问题与寿险相关。当保险事故影响单生命时所涉及的主要问题是：单生命下纯保费的计算；准备金的提取6/1/202362第三节寿险精算本节中，为了讨论问题的方便，做以下假设被保险人的生存与死亡规律完全遵循生命表所示的规律同一类型的保险合同，全部于该年龄初同时订立保险金于每年度未支付6/1/202363第三节寿险精算保险费按预定利率复利生息，并假定年复利率为ｉ假定保险金额均为一元，所求的纯保费即为纯保险费率假定生命表中的某一年龄的人都向保险公司投保6/1/202364第三节寿险精算一、生命表1、生命表概况生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率组成的汇总表。生命表是过去经验的记录，并以此预测未来事件影响死亡率的因素很多，但生命表主要考虑年龄与性别6/1/202365第三节寿险精算生命表可分为国民生命表和经验生命表。国民生命表是根据全体国民或特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，其数据来源于人口普查资料。国民生命表不适合商业保险使用，因为国民生命表是以全体国民为背景的，没有经过风险选择，故死亡率一般高于经验生命表6/1/202366第三节寿险精算经验生命表主要是根据人寿保险公司以往积累的死亡率资料编制的生命表。由于保险公司承保的生命标的均是通过风险选择的，故其死亡率与国民生命表是不同的6/1/202367第三节寿险精算2、生命表的结构6/1/202368第三节寿险精算6/1/202369第三节寿险精算6/1/202370第三节寿险精算6/1/202371第三节寿险精算6/1/202372第三节寿险精算除了上述符号外，生命表中还有二个变量：6/1/202373第三节寿险精算二、趸缴纯保费如果投保人在保险开始时向保险公司一次性缴清其全部应缴保费，则这种缴费方式称为趸缴方式6/1/202374第三节寿险精算（一）定期人寿保险的纯保险费假定保险期限为ｎ年，根据定期寿险的承保条件约定：如果被保险人在保险期限内遭遇死亡，则由保险公司按保险金额给保险金（精算中，假定保险金额为1元）；如果被保险人生存至期满，则保险人无须支付6/1/202375第三节寿险精算假定被保险人的（投保）年龄为ｘ岁，年初每个被保险人应缴纳的纯保险费为则保险公司收取的纯保费为。依据生命表规律：第1年有dx死亡，每人给付一元，共给付dx元，其现值为vdx元。第2年共有dx+1人死亡，共给付dx+1元,其现值为v2dx+1元，依次类推，根据收付相等原则：6/1/202376第三节寿险精算6/1/202377第三节寿险精算（二）终身寿险的纯保险费终身寿险的保险期限自保险合同生效始，至被保险死亡止，保险期限覆盖于人的一生中。由于生命表一般都设置一个最高年龄限制（例如，中国的生命表最高上限为105岁）。因此，终身寿险也可看作是一个长期的定期寿险。6/1/202378第三节寿险精算6/1/202379第三节寿险精算（三）纯粹生存保险的纯保险费生存保险是以被保险人保险期限内生存为给付保险金条件的保险。如果被保险人在保险期限内死亡，则保险合同终止，保险人并不需要给付保险金。因此，生存保险金给付的多少，由到期时尚生存的被保险人的数量决定6/1/202380第三节寿险精算习题：某女，现年30岁，拟以标准体投保十年期定期寿险，保单的预定利率为6%，保险金额为10万元，保险费投保时趸交，试计算应缴纳的纯保费是多少？（按CL－1990-1993生命表计算）在上例中，如果投保终身寿险，趸缴的纯保费是多少？6/1/202381第三节寿险精算假定ｘ岁的人投保期限为ｎ年的定期生存保险，所缴的纯保费为（相对于保险金额1元的纯保险费）。投保时共有人。则缴纳的纯保费为元。依据收支相等原则：6/1/202382第三节寿险精算四、两全保险（混合保险）的纯保费两全保险是指被保险人在保险期限否认生存或死亡与否，只要保险到达一定的期限后，保险人均给付保险金。故本保险可以看作是上述定期寿险与纯粹生存保险的结合。指导保险期限为n年的混合保险的纯保费记为Ax:n，则：6/1/202383第三节寿险精算6/1/202384第三节寿险精算某女，现年35岁，拟以标准体投保十年期纯粹生存寿险，保单的预定利率为6%，保险金额为10万元，保险费投保时趸交，试计算应缴纳的纯保费是多少？（按CL－1990-1993（寿险，女）生命表计算）如果投保人投保两全保险，应缴的纯保费应是多少？6/1/202385第三节寿险精算三、年金保险的纯保险费年金一般指相同时间间隔的等额货币收付。保险公司的年金保险责任是被保险人终身或者在一定期限内，被保险人生存时，每隔一定时间由保险人按期支付年金直被保险人死亡或保险期限届满6/1/202386第三节寿险精算年金保险可分为二个时期：第一个时期称谓“现金价值积累期”，是从自投保人缴纳第一期保费至年金给付开始这段时间。第二阶段称为“年金给付期”，是从年金给付周期开始至期满停付或死亡停付止。6/1/202387第三节寿险精算按照年金支付的时间可把年金分为即期年金和延期限年金。即期年金是在保险合同成立生效后，立即支付年金（当然，保险费在年金给付前一次性缴清）。延期年金是保险合同成立生效后，需要等待一段时间或要等到某个年龄开始才能支付年金6/1/202388第三节寿险精算不论是即期年金或是延期年金，又都可以分为期初年金与期未年金二种。前面假定保险费均在期未支付的假定在些不适用6/1/202389第三节寿险精算（一）即期年金假定x岁的人投保期限为n年的年金保险。保险公司每年初支付的保险金分别为lx、lx+1、lx+n-1元。设投保人每缴的趸缴保险费为：依据收支相等原则：6/1/202390第三节寿险精算6/1/202391第三节寿险精算6/1/202392第三节寿险精算6/1/202393第三节寿险精算(二)延期年金延期年金与即期年金不同的是:在保险合同成立之后,保险人要在一定时期或被保险人达到一定的年龄后,才开始给付年金。因此,相应的延期年金的纯保费的计算只要将即期年金稍做修改即可6/1/202394第三节寿险精算假定：x岁的人投票险期限为n年的年金保险，合同生效后的m年开始给付，即延期m年，一般用表示定期期首付年金的（趸缴）纯保费，由收支相等原则有：6/1/202395第三节寿险精算6/1/202396第三节寿险精算6/1/202397练习：1、对一位55岁的女性签发期限为10年，每年给付5000元的期初给付的即期年金保险单，预定利率为6%，应一次缴清的净保费是多少？在上例中，如果签发的是终身年金保单，则一次缴清的净保费是多少？签发的是延期10年的期初付终身年金保险单，则趸缴的净保费是多少？6/1/202398第三节寿险精算四、年度纯保险费前面我们讨论的是趸缴保费。趸缴保费投保人的一次性缴费负担较重，因此，在实务中，保险费常常是分期缴付的，如在一定的缴费期内每年缴费一次最为普遍6/1/202399第三节寿险精算假定n年定期死亡保险的保险费分m年付清，用来表示期首缴付年度纯保费，则保险公司各年收取的纯分别是容易理解：年度缴纳的纯保费的现值与高水平与一次缴清的纯保费现值相等。即6/1/2023100第三节寿险精算6/1/2023101练习1、对一名20岁的女性签发保险金额为10万，期限为10年的人寿保险单，预定利率为6%，保费在合同生效后的5年内缴清，试求每应缴的均