数学物理方法1

数学物理方法

学时：48，学分：3.0教材：自编<数学物理方法>教师：李丽Email：lilic@Tel:62471434;135940030262021/5/91数学物理方法复变函数论数学物理方程特殊函数计算机辅助（自学）2021/5/92复变函数论部分2021/5/93《复变函数论》主要内容第一章、复数与复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数的积分第四章、复数级数第五章、留数第六章、Fourier、Laplace变换2021/5/94教学参考书2021/5/95习题参考书2021/5/96网络资源图书馆电子资源

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数学物理方法是理工科类专业的一门重要基础课，既是数学课程，又是物理课程，其教学目的是进一步系统的提高和培养学生建立数理模型，解决物理问题的能力。是用数学知识解决物理问题的方法，首先先从数学知识开始讲起。引言2021/5/99第一章、复数与复变函数学时：4重点和要求复数及其运算复变函数，区域，连续，极限作业习题一、11、14、19、22（6，10）

26（1、4）、302021/5/910§1-1复数基本运算一、复数的表示法注意：复数的虚部是一个实数一个复数的共扼通常记做（物理学中常用z*表示）2021/5/9112.复数的几何表示

实数组(x,y)与平面直角坐标系上的点一一对应.因此,复数z也与平面直角坐标系上的点一一对应,这样的平面叫做复平面。两个坐标轴分别叫做实轴和虚轴。（具体图示参看课本）2021/5/912主值argz的范围(z=x+iy)：＝argz=其中补充内容幅角应注意的问题2021/5/9133.复数的三角函数与指数函数表示2021/5/914二、复数运算规则1.复数的基本运算如果复数z的实部和虚部都等于零,则复数等于零，记作z=0。图示具体见教案2021/5/9152.复数的运算法则2021/5/916共扼复数的性质：复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结可见复数的乘除法用指数形式方便2021/5/9173.复数的乘幂与方根(重点)具体见下页用指数形式求解2021/5/918

如果在复平面上画出这n个不同方根,它们就是以原点为中心,以r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.Note!!!k=0,1,2….n-12021/5/919Forexample!解：1、先把代数式化为指数式因为-1的辐角为，而模为8。2、根据公式可得2021/5/9204、方根的图示2021/5/921三、例题1、2、3、4见课本2021/5/922四、复数的无穷远点在实变函数微积分学中的＋只是一个符号而已。而复球面上的无穷远点

却是一个完全确定的点，并且只有一个无穷远点。补充一些内容具体见课本2021/5/9232021/5/924无穷远点：复平面上模为无穷大的点涉及无穷大的复数运算：确定值（条件是？）不确定值复数的无穷远点2021/5/925本节总结与注意1、掌握书上的例题，并且会举一反三。例题1要根据复数的模的基本性质证明。例题2要记住结论。例题3此类题目用z=x+iy代入方程化简即可。3、2、复数的幂和根式的求法（见例题4）重点内容

首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式，找出模与幅角的主值。2021/5/926定义：

对于复平面的点集E，它的每个点z都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。则称ψ为z的复变函数，记作：ψ=f(z),z∈E

E叫做定义域。复变函数可以看做两个实二元函数有序组合ψ=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),复变函数有单值函数和多值函数之分复变函数研究的重点是解析函数一、复变函数的定义1.2复变函数画图说明2021/5/927邻域：|z-z0|<δ，记做δ(z0)去心邻域0<|z-z0|<δ设G为复平面上的点集，z0为G内任意点内点：存在一个δ(z0)属于G。开集：G上的点都是内点区域：1）开集，2）连通（举例子在教案）区域的边界点：非内点区域的边界：所有边界点的集合（线条，点）闭区域：区域∪边界区域有界：任意|z|<M，否则称为无界

以某点z0为圆心,以任意小的正实数为半径的圆的内部，称为z0

的邻域。

二、复平面上的区域

点z的集合不包含点z0,叫做点z0的去心邻域.

具体见课本与教案要画图说明2021/5/928简单(闭)曲线：与自身不相交的(闭合)曲线单连通区域：任意简单闭曲线内的点都属于该区域复连通区域：非单连通的连通区域区别：单连通区域内的任意一条简单闭曲线经过连续变形可以缩为一点。直观上讲复连通区域就是区域内有孔的连通区域三、单与复连通区域“有洞”“无洞”画图说明单连通区域可以经过变形而缩成一点，而多连通区域就不具有这个特征。2021/5/929复连通区域单连通化：作一些适当的割线能将复通区域的不相连接的边界线连接起来从而降为单连通区域.（注意：连接边界的分开方式不唯一）边界线的正方向：为了以后学习环路积分方便，我们按照通常的规定：（当人）沿边界线环行时，所包围的区域始终在人的左手边，则前进方向为边界线的正方向.对于有界的单连通区域，如图下图(a)

的逆时针方向所示即为正方向.而多连通区域单连通化后，外围逆时针为正方向，内部顺时针为正方向，如图(b),(c)所示.abc复连通区域单连通化（补充）2021/5/930说明：当判断区域是什么样的区域时，通常按照下列顺序判断：（1）有、无界，(2)单、复连通，（3）开、闭区域.判断|z-1|+|z+2|≤5代表什么样的区域

【解】

此不等式所代表的区域是焦点在z=1和z=-2，长轴为5的椭圆内部，为有界单连通闭区域.区域的判断方法及实例分析(补充)2021/5/931(1)、定义：

设复变函数ψ=f(z),在z0的某个去心邻域内有定义，若存在一个确定的数A，对于任意ε>0，必存在δ>0使得在0<|z-z0|<δ时，总有|f(z)-A|<ε，那么称A是f(z)的极限。记作：四、复变函数的极限注意：1）f(z)在z0可以没有定义。

2）z趋近于z0的路径是任意的,极限都是A.3）z沿不同路径趋近于z0得到的极限不同,表示f(z0)没有极限2021/5/932

解释一下作业题2021/5/933(2)、复变函数极限的基本定理复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含两个二元实变函数u(x,y)和v(x.y).因此有下面的定理:求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限,因此具有相同的几何意义.因此可以证明,在存在极限limz-z0f(z)=A,limz-z0g(z)=B的条件下,下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立: