波动含电磁波

波动含电磁波第一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日脉冲波持续波简谐波非简谐波等。波动是波源的振动状态或能量在介质中的传播，介质中质点并不随波前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。二、机械波的类型横波纵波线性波非线性波任一波(如水波、地表波)都能分解为横波与纵波进行研究。固体中的波源可以产生横波和纵波。液体和气体中的波源只能产生纵波。水面波既不是纵波，也不是横波。1.横波:

振动方向⊥传播方向的波。2.纵波:

振动方向∥传播方向的波。

第二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2.波前

—

波源最初振动状态传播到各点所连成的面。

根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波、柱面波等。三、波的几何描述1.波面

—

振动相位相同的各点连成的面(同相面)。3.波线

—

沿波的传播方向的射线。在各向同性的均匀介质中：波线⊥波面。平

面

波波线波面球

面

波波线波面第三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日1.弹性绳或弦线上的横波波速2.固体中的横波波速

T

－绳或弦中的张力；三、机械波的传播速度μ

－

绳或弦的质量线密度。(7-50)G

－切变模量；F切

－固体的质量体密度。第四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日4.液体和气体中的纵波波速B－容变模量；

3.固体中的纵波波速Y－杨氏模量；

－固体的质量体密度。

(7-51)－液体或气体的质量体密度。(7-52)∵

G

<Y，固体中

u横

<u纵。第五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日电磁波的传播不需要介质,由电磁学可以导出电磁波在真空中的传播速度(光速)是真空介电常数真空磁导率第六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日四、惠更斯原理—

介质中波动到达的各点都可以看作发射子波的波源，

1.惠更斯原理在其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前。第七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2.原理的核心

★介质中波动到达的各点可视作新波源

★

提出了子波概念

3.原理的依据★

波动在介质中是逐点传播的

★各质点作与波源完全相同的振动已知某时刻的波面和波速，可确定下时刻的波面和传播方向。★

适用于各种波，如机械波、电磁波等5.原理的局限性★

没有说明子波的强度分布4.原理的应用障碍物右边的波的波源好像在孔径处★

适用于非均匀的、各向异性的介质★

没有说明子波不向后传播的问题第八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日五、惠更斯原理的应用解释波的传播、衍射(绕射)、散射、反射、折射等现象。1.波的传播平

面

波球

面

波传播方向t

波面t+

t波面utt

+

tt传播方向第九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2.波的衍射

(

绕射

)—

波传播过程中遇到障碍物能绕过其边缘传播的现象。如果你的家住在大山之后，广播台、电视台都在山前，·a？听广播和看电视哪个更容易?第十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日3.波的反射和折射★

波的折射用作图法求出折射波的传播方向：折射定律的证明：★

波的反射(略)Δ

tDi2n1n2CAi1Δ

tB第十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日一、描述简谐波的物理量(151)—

波线上两个相邻的相位差为

2

的质点间的距离。横波波长：

相邻的波峰(或波谷)间距离；§7－5

平面简谐波和波动方程

★

简谐波

—

波源作简谐振动，介质不吸收波动的能量，各质点也重复波源的简谐振动形成的波。★

平面简谐波

—波面是平面的简谐波(一维简谐波)。1.波长λ波线上每隔λ的距离出现相位差

2、振动状态相同的质点，λ反映了波的空间周期性。

纵波波长：

相邻的密部(或疏部)中心间距离。第十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日—

单位时间内波动所传播的距离。—

波前进一个λ的距离所需的时间。—周期的倒数。2.周期

T

波线上各质点每隔

T时间完成一次全振动，T反映了波的时间周期性。3.频率ν

即单位时间内波传播的距离中包含的波长的数目(波数)。4.波速

u

即同相面或波前前进的速度，亦称

相速。

在各向同性的均匀弹性介质中，简谐波的u是常数，仅由介质本身的性质决定。第十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日5.

λ、T、ν、u

的关系

★

波速

u

决定于介质；频率ν决定于波源。★

同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率ν不变，波速不同，因而波长

不同。(7-55)★

该式将波的空间周期性和时间周期性联系在一起。

第十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日二、平面简谐波的波动方程一维波动方程的一般表示：

若波速

u

为恒量，则从整体上看，整个波以速度

u

向前推进，所以又称这种波为行波（travelingwaves）。★

波动方程—

描述介质中各点振动位移随时间和平衡位置变化的函数关系。x：质点平衡位置的坐标；

y：质点

t

时刻的振动位移。下面以横波为例说明平面简谐波的波动方程：(波函数)第十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(1)建立坐标原点

O

处质点的振动方程：

O点的振动传到

P

点需用时间

t时刻

P

点比

O

点相位落后:

(3)写出P点的振动方程：P点在

t

时刻的位移

=

O

处质点在

时刻的位移。

1.沿

x

轴正向传播的波动方程

(2)确定任意质点

P

的振动相位：该式代表任意位置处质点的振动规律，即为波动方程。第十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日利用关系式：

得下述等价形式的波动方程：(7-56)(7-57)波动方程：等。第十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2.波动方程的物理意义波动方程波表示

x1

处质点的振动方程，(1)

x

一定：

x=x1

(常量)

常

量

对应

y~t曲线为该质点振动曲线。

该质点的相位落后于O点，tyO振动曲线第十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日波动方程表示

t1

时刻各质点位移分布，

(2)

t

一定：

t=t1

(常量)

常量y~x

曲线为该时刻波形曲线。称

t1

时刻的波形方程。

波形曲线xuyOt1Px★

波形曲线反映了横波、纵波的

各质点位移情况。(3)

x，t皆为变量

Q第十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日x=u

txxuyOtt+

t同样的位移发生在

处，波向前传播了的距离。，在经过

这表示在

时刻

处的位移

时间后，

波动方程表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况。第二十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日★

波动方程的物理意义

—波动方程既描述了波线上各质点振动状态及相位差异，又描述了随着时间的推移，波形以波速

u

沿传播方向传播的情况，具有完整的波动意义。★

简谐波具有空间和时间周期性：空间上每隔λ的距离出现振动状态相同的点；

时间上每隔T

的时间波形重复一次。

★

平面简谐波的波动方程既适用于横波，也适用于纵波。xuyOtt+

t第二十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日3.波线上各质点的振动速度和加速度★

注意振动速度

v

与波速

u

的区别：u

—

波在各向同性的均匀介质中传播速度，是常数。v—

介质中各质点振动速度，是时间的周期函数；

根据波动方程

得：

★

速度：

★

加速度：

第二十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日4.波线上两质点之间的相位差★

相位差：★

波程差：

★

结论：

波线上，沿波的传播方向各质点的相位逐点落后，每隔λ的距离，相位落后

2π

。

xuOP1P2

第二十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日5.沿

x

轴负向传播的波动方程

t时刻

P

点比

O

点相位超前：

故

P点的振动方程为：★沿

－x

方向传播的波动方程：

第二十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日*三、平面波动方程的微分形式由波动方程：得出平面波动方程的微分形式：(7-65)得：第二十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例1：一平面简谐波沿x

轴正向传播，已知

A=1.0

m，T

=

2.0

s，

=

4.0

m。t

=

0

时坐标原点处质点位于平衡位置沿

y

轴正向运动。求：(1)波动方程；(2)

t

=

1.0

s

时波形方程并画出波形图；(3)

x

=1.0m

处质点的振动方程并画出振动图。解:(1)按所给条件,取波动方程的一般形式为式中

为坐标原点的振动初相，由已知得：代入所给数据，得①四、波动方程应用举例波动方程：第二十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(2)将

t

=1.0

s

代入

①式得出此时刻波形方程:②由②式可画出

t

=

1.0

s

的波形图：

4.0y/mx/m1.0Ou-1.0(3)

将

x

=1.0m代入

①式，

由此作出其振动曲线如图：y/mt/s1.0O-1.02.0得该处质点的振动方程：第二十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例2：

物理练习十二计算题1解：已知

得：

取：由初始条件得：O

点的振动方程：

(1)

(2)

沿＋x

方向传播的波动方程为：

(3)

一质点作谐振动,其周期为２s，振幅为0.06m,开始计时（t=0），质点恰好在处，且向负方向运动，求（１）该质点的振动方程；（２）此振动以速度沿轴正方向传播时，形成的平面简谐波的波动方程．（３）该波的波长．

第二十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例3：

物理练习十二计算题2解：(1)沿

－x

方向传播的波动方程：

将代入上式：

xyADu得

D点的振动方程：平面简谐波在介质中以速度自左向右传播，已知在波线上的某点的振动方程为，另一点D在A点右方１８米处，（１）若取X轴方向向左并以A为坐标原点，写出波动方程，并求出D点的振动方程。(2)若取X轴方向向右以A点左方10米处的点处的O点为X坐标原点，重新写出波动方程及D点的振动方程。第二十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(2)求沿

x

正向传播的波动方程，

将

代入得

D点的振动方程：

xyADuO

应先写出O点的振动方程：

O比A点相位超前

O点振动方程：

故沿

+

x

方向传播的波动方程：★

波动方程与坐标的选择有关而振动方程与坐标的选择无关。

第三十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例

4：物理练习十二计算题4100my(m)x(m)Ou

－At

=

0解：(1)由图知t

=

0

时，O处质点向下运动：

得：O

点振动方程：

如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，若波沿轴负方向传播，求（1）该波的波动方程；（2）画出时刻的波形图；（3）距原点O为100米处质点的振动方程与振动速度表达式。第三十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日波动方程：(2)的波形

100my(m)x(m)Out

=

0将

t

=

0

的波形向－x

方向平移：

(3)

x

=

100

m

处质点

振动方程：振动速度：第三十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日一、机械波的能量和能量密度

波动是振动状态的传播，也伴随着振动能量的传播。在

x

处取一质元：

质量：

Oxxd

x§7－6

波的能量和强度以一维简谐纵波沿长细杆传播为例：长

d

x

，截面积

d

S，体积：

质元的速度：

第三十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日Oxxd

xy(1)质元的动能：(2)质元的势能：质元左端位移y，右端位移

y

+

d

y，形变为

d

y，

(7-66)第三十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日由得：(弹性力)(胡克定律)且有:得质元的弹性势能：(7-67)代入第三十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(3)质元的总能量(7-69)(1)参与波动的介质中各质元的

动能和势能是时间

t

的周期

函数且大小相等，相位相同，

同时达最大，同时等于零。2.说明：xy速度最大形变最大速度→0形变→0

第三十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(2)参与波动的各质元的机械能不守恒：★

x一定，波线上该处质元的

d

E

随

t

周期变化；

★

t一定，此时波线上各质元的

d

E

随

x

周期变化。

(3)各质元

d

E

随x、t变化，说明能量不断流过质元。★

结论：

介质中参与波动的各质元的动能与势能同相且相等，机械能不守恒。每一质元不断地从前一质元吸收能量而向后一质元释放能量。能量以波动形式传播，波动是能量传播的一种方式。波的能量特征—★

注意：与振动能量的区别

孤立系统质元作谐振动时动能与势能反相，动能最大时势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量。第三十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日能量极小极小波形y极大谐振动能量第三十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日4.波的能量密度(1)能量密度

w

(7-70)(7-71)得：—

介质中单位体积内的波的能量。—

波在一个周期内能量密度的平均值。(2)平均能量密度

w第三十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的平均能量密度保持不变。即介质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播。由此可知：第四十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日二、平均能流和平均能流密度—

通过垂直波速方向的单位面积的平均能流。★

平均能流密度是矢量，其方向与波速方向相同：1.平均能流P—

单位时间内通过垂直波速方向的某截面积的波的平均能量。u(7-72)2.平均能流密度

I

(波的强度)(7-73)SPuw第四十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日1.波的独立传播

一、波的叠加原理几列波在同一介质中传播，则有★

该叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。§7－7

波的干涉

2.波的叠加—无论是否相遇，各列波仍保持原有的特性(频率、波长和振动方向等)不变。—在相遇区域内，任一点的振动为各个波单独存在时在该点引起的振动的矢量和。★

叠加原理说明可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。第四十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日1.波的干涉现象二、波的干涉这种稳定的叠加图样称为干涉现象。2.波的相干条件(2)

相位差恒定；

(3)

振动方向相同。(1)

频率相同；

3.

相干波、相干波源某些质点振动始终加强，某些质点振动始终减弱，—

满足相干条件的波、波源。

第四十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日两相干波源的振动：分别引起

P

点的振动：S2S1Pr1r24、干涉的计算在

P

点的振动为同方向同频率谐振动的合成：

第四十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日1）.两相干波在相遇点的相位差★

相位差

=

初相差

+

由于传播距离不同引起的相位差。

由于波的强度正比于振幅的平方:3）.合成波的强度2）.合振动的振幅(7-75)所以合成波的强度为：第四十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日5.相位差干涉条件1)干涉加强2)干涉减弱干涉始终加强，称

干涉相长。

干涉始终减弱，称

干涉相消。

若

A1=

A2

，则

A

=

0

，静止不动。则

由得：则

(7-77)(7-78)第四十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日6.波程差干涉条件(适用于

φ1

=φ2

)两相干波到相遇点的波程差：当

φ1=φ2

时，相位差为：

干涉相长（7-79）

干涉相消(7-80)由相位差干涉条件得波程差干涉条件：★

注意:上述条件适用于两相干波在同一均匀介质中传播的情况。第四十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例1：A、B

两点有两个相干波源振幅相等，频率为100Hz，

相差为

π

，其

A、B

相距

30

m，波速为400

m

/s，求:

AB

连线上因相干涉而静止的各点的位置。

三、波的干涉举例解：

取

A

点为坐标原点，

A、B

连线为

x

轴，

如图所示，P(1)

B

点外侧任意点

P

：

r

Br

A∴

B

点外侧没有因干涉而静止的点。

第四十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(2)A

点外侧任意点

P

：

r

Ar

B∴A

点外侧没有因干涉而静止的点。

(3)

AB

连线之间任意点

P

：PP第四十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日由干涉静止的条件：得

AB

连线上因干涉而静止的各点的位置：

第五十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例

2:

A,B

两点为同一介质中两振福相等的相干波源，频率为

100

Hz，波速为10

m.s-1，已知点

A

为波峰时

B

为波谷，求：

A,B

发出的两列波传到

P

点时干涉的结果。

解:由图可知，BP=20

m，AB=15

m，已知

v=100

Hz，u=10

m.s-1，得设

A

的相位较

B

超前，则：

20mPAB15m第五十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日

这样的

值符合合振幅的最小的条件，若介质不吸收波的能量，则两波振幅相同，因而合振幅根据相位差和波程差的关系有：故P

点因两波干涉减弱而不发生振动。

20mPAB15m25

m第五十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例：弦线上的驻波1、驻波的产生驻波

—

★

波节—

振幅为0，始终静止的点

★

波腹—

振幅最大，振动最强的点

四驻波(p164)

振幅相等、传播方向相反的两列相干波的合成波。弦长等于半波长的整数倍时才能形成驻波。第五十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2、驻波表达式写为：—驻波方程与

t

无关第五十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(3)各点作频率相同、振幅不同的谐振动。

(1)

A驻

是

x

的周期函数，决定

x

处质点的振幅。

(2)

决定

x

处质点的振动状态。

(5)驻波方程的实质：振动方程。(4)方程中不含项，非行波，没有波形的传播。驻波方程★

说明：

第五十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日3、驻波的特征1）.波节和波腹★

相邻两波节(或波腹)间的距离：★

波节

—

振幅=

0★

波腹

—

振幅

=

2

AxO波节波腹波节位置波腹位置第五十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日2）.驻波中各点的相位关系3）.驻波的能量特征★波节之间各质点作振幅不同的同相振动；★

波节两边质点作反相振动。当各质点达最大位移时全部为势能，波节点附近集中的势能最多(此处形变最大)(2)当各质点达平衡位置时全部为动能，波腹点附近集中的动能最多(此处速度最大)(3)驻波的动、势能在两相邻的波节波腹之间相互转化，既无波形传播又无振动状态和能量传播。第五十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日五、半波损失

(相位跃变）反射处形成波腹。反射处形成波节；1.波阻：ρ

u

其中，ρ—介质密度；u—波速。

两介质相比较，ρ

u

大者称波密介质，小者称波疏介质。

—

当波由波疏介质向波密介质垂直入射在两介质界面反射时相位突变π

，称为“半波损失”。

★

时，有半波损失，

★

时，无半波损失，

波疏介质波密介质有无2.半波损失第五十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例：一沿

x

轴正向传播的入射波方程为在

L=5λ处的

P

点被固定端的界面反射，

六、驻波问题举例求：(1)反射波的波动方程；(2)合成的驻波方程；OxP波密介质L

=

5λ入射波反射波解：(1)波由

O

传至

P

再返回

O

，引起

O

点振动相位比

y入O

落后了：

由半波损失引起的相位差(3)合成驻波的波节、波腹点的坐标。第五十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(2)驻波方程得反射波方程为：所以反射波在O点的振动方程为：

第六十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(3)波节点：波腹点：波节点坐标：波腹点坐标：第六十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日*§7－8

多普勒效应

如果波源与观察者之间有相对运动，则观察者接受到的波的频率不同于波源频率的现象(多普勒频移)。★

多普勒效应—

下面仅讨论波源、观察者沿同一直线运动的情况。

设介质中：u

—波速。

v

SS

—波源运动速度；

v

O

—观察者运动速度；

ν

—波源频率；

—观察者接受到的波的频率；SP第六十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日一、波源静止，观察者运动P

接收到的频率

=SP波长保持不变：单位时间内接受到完整波的数目(波数)：(7-85)★

观察者向着波源运动：

v

O

取“＋”，★

观察者离开波源运动：

v

O

取“－”，第六十三页，共八十四页，编辑于2023年，星期日P

接收到的频率：此时波长变为：二、观察者静止，波源运动SP(7-88)★

波源向着观察者运动：

v

S

取“＋”，★

波源离开观察者运动：

v

S

取“－”，第六十四页，共八十四页，编辑于2023年，星期日三、波源和观察者都相对介质运动(7-91)式中

v

O

和

v

S

符号取法同上。★

结论：

波源和观察者相互接近时，频率变大；波源和观察者相互远离时，频率变小。第六十五页，共八十四页，编辑于2023年，星期日四、观察者和波源的运动不在二者连线上有纵向多普勒效应；无横向多普勒效应。五、若波源速度超过波速

(

v

S>u)

Sv

Su形成“马赫锥”v

SPSv

OOS第六十六页，共八十四页，编辑于2023年，星期日飞行速度与声速的比值

v

S/u

决定

角，比值v

S/u

称“马赫数”。冲击波带第六十七页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例1:一警报器发射频率

1000Hz

的声波,离观察者向一固定的目的物运动，其速度为

10

m

/

s。试问:(1)观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少?

(2)观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少?(3)听到的拍频是多少?(空气的声速为

330m

/

s

)解:(1)观察者直接听到从警报器传来声音的频率：已知：

第六十八页，共八十四页，编辑于2023年，星期日(3)

两波合成的拍频为目的物反射的频率等于入射声音的频率

2

。(2)目的物接到的声音频率为静止观察者听到反射声音的频率:第六十九页，共八十四页，编辑于2023年，星期日例

2：利用多普勒效应监测汽车行驶的速度。一固定波源发出频率为

100

kHz

的超声波，当汽车迎着波源驶来时，与波源安装在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110

Hz。已知空气中声速为

330

m.s-1，

求：汽车行驶的速率。解:分两步分析：第一步：波向着汽车传播并被汽车接收，此时波源是静止的，汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车行驶速度为

，则接收到的频率为：第七十页，共八十四页，编辑于2023年，星期日由此解得汽车行驶的速度为：第二步：波从汽车表面反射回来，此时汽车作为波源向着接受器运动，汽车发出的波的频率即是它接收到的频率

，而接受器此时是观察者，它接收到的频率为：第七十一页，共八十四页，编辑于2023年，星期日四、多普勒效应的应用★

光谱测量和光谱学★

天文学

★

宇宙学

第七十二页，共八十四页，编辑于2023年，星期日一、电磁波的产生1.产生：振荡电路(

LC电路)2.电磁波方程由麦氏方程得：平面电磁波：*