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文档简介
章线性空间和线性变换主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；会求一个向量在给定基下的坐标；会求两组基的过渡矩阵2021/5/91例1
实数域上的线性空间的一组基例2
实数域上的线性空间中的一组基例3
实数域上的线性空间中的一组基2021/5/92习题1-52021/5/932021/5/942021/5/95和子空间2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数定理：设则：2021/5/96习题1-72021/5/972021/5/983、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩阵表示;
会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数2021/5/992021/5/9102021/5/9112021/5/9122021/5/9132021/5/9142021/5/9152021/5/9162021/5/9174、会计算线性变换的特征值与特征向量
是的特征值是的特征值
2021/5/918第二章矩阵与矩阵的Jordan标准形主要掌握以下内容：1、会求矩阵的Smith标准形：（1）初等变换法（2）行列式因子法（3）初等因子法2、会求矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P：（1）初等变换法（2）矩阵秩的方法4、掌握证明两个矩阵相似的方法：（1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子5、会用Jordan标准形求矩阵的幂2021/5/9192-2
设，证明：阶矩阵与相似。2021/5/920证明：计算A的行列式因子。显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即2021/5/921容易计算出从而同理可计算出B的行列式因子及不变因子也是所以A与B相似。2021/5/9222-3设
证明
阶矩阵与不相似。2021/5/9232021/5/924正整数使得，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为次单位根。证明：设的Jordan标准形为2-5
设为数域上的阶方阵且存在2021/5/925即有可逆矩阵使得由于，所以有从而有2021/5/926因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有，这表明为对角矩阵，所以与对角矩阵相似。2021/5/927282-6设为数域上的阶方阵且满足，证明：与对角矩阵相似。
2021/5/928即有可逆矩阵使得由于，所以有证明：设的Jordan标准形为2021/5/929从而即2021/5/930因此，只有当为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且，所以有这说明为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵此矩阵仍然与相似。2021/5/931作业2-9
试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。2021/5/932解答：这里为任意的非零数。2021/5/933第三章内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明；2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质；3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法；4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：
酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半正定矩阵5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵的关系：酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对称变换、正规变换、正定二次齐次2021/5/9343-17设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.
证明:
设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有2021/5/935这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.同样可以证明另一问.2021/5/936习题3-19设是一个半正定的H-阵且证明:证明:
设为的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于
，一定存在某个特征值大于0，于是有2021/5/937习题3-20设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:
由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有2021/5/938注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而2021/5/939
3-21
设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:
由于是一个正定H-阵,所以必存在酉矩阵使得2021/5/940由于又是酉矩阵,所以这样必有,从而2021/5/9413-22证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;
（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的;证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中2021/5/942由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。2021/5/943习题3-23设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:
由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使
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