北京市中考数学试卷及答案2(完整版)

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北京市中考数学试卷及答案2（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．（4分）（2021•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021﹣2021）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为（）A．39.6×102B．3.96×103C．3.96×104D．0.396×1042．（4分）（2021•北京）﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣3．（4分）（2021•北京）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）（2021•北京）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A．40°B．50°C．70°D．80°5．（4分）（2021•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60mB．40mC．30mD．20m6．（4分）（2021•北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）（2021•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时8．（4分）（2021•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2021•北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a=_________．10．（4分）（2021•北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=_________．11．（4分）（2021•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_________．12．（4分）（2021•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=_________，a2021=_________；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2021•北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．14．（5分）（2021•北京）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．15．（5分）（2021•北京）解不等式组：．16．（5分）（2021•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．17．（5分）（2021•北京）列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．18．（5分）（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2021•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．20．（5分）（2021•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．21．（5分）（2021•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为_________平方千米；（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2021年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：日接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000第九届8（预计）20（预计）约10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约_________22．（5分）（2021•北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为_________；（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．24．（7分）（2021•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．25．（8分）（2021•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是_________．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．A解答：解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A．故选A．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．10．y=x2+1（答案不唯一）．11．20．解答：解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为20．12．.（解答：解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=﹣，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=﹣，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2021=a3=﹣；点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y=﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；综上可得a1不可取0、﹣1．故答案为：﹣、﹣；0、﹣1．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解答：证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．14．5.15．﹣1＜x＜16．1217．解答：解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得，解得：x=2.5．经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．18．解答：解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解答：（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中点，∴DF=．又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2．在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．20．解答：（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△OED∽△DEP，∴，在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE=．21．解答：解：（1）∵月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%，则牡丹园的面积为：15%×=0.03（平方千米）；（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米），则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米），第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米），则水面面积为1.5平方千米，如图：；（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3.7×103．．故答案为：0.03；3.7×103．22．解答：解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等∴这个新正方形的边长为a．故填空答案为：a．（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，∴S△RSF=a•a=a2．过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面积为a2，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=（不合题意，舍去）∴x=，即AD的长为．故填空答案为：．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，﹣2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4，所以，抛物线过点（﹣1，4），当x=﹣1时，m+2m﹣2=4，解得m=2，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣4x﹣2．24．解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．25．解答：解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，∴E点是⊙O的关联点，∵D（，），E（0，﹣2），F（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO，∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；故答案为：D，E；②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则PC==2BC=2r，∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF===，∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°=；sin∠OPH==，∴∠OPH=60°，可得点P1与点G重合，过点P2作P2M可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos30°=，从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，∴0≤m≤；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=1，故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2021•衡阳）﹣3的绝对值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣2．（2021•衡阳）2021年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略，将594亿元用于科学记数法（保留两个有效数字）表示为（）A．5.94×1010B．5.9×1010C．5.9×1011D．6.0×10103．（2021•衡阳）下列运算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3C．（x+1）2=x2+1D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）4．（2021•衡阳）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣25．（2021•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（）A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm26．（2021•衡阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正方形D．等腰梯形7．（2021•衡阳）为备战2021年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）甲：910981098乙：8910710810下列说法正确的是（）A．甲的中位数为8B．乙的平均数为9C．甲的众数为9D．乙的极差为28．（2021•衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°9．（2021•衡阳）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（）A．B．C．D．10．（2021•衡阳）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0B．1C．2D．无法确定11．（2021•衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（）A．B．C．D．12．（2021•衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）13．（2021•衡阳）计算﹣×=_________．14．（2021•衡阳）分式方程的解为x=_________．15．（2021•衡阳）如图，反比例函数y=的图象经过点P，则k=_________．16．（2021•衡阳）某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分学生进行了一次题为“你喜欢的体育活动”的问卷调查（每人限选一项）根据收集到的数据，绘制成如图的统计图（不完整）：根据图中提供的信息得出“跳绳”部分学生共有_________人．17．（2021•衡阳）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为_________cm．18．（2021•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb=_________．19．（2021•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为_________cm2．20．（2021•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=_________．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（2021•衡阳）计算：（﹣1）2021﹣（﹣3）++．22．（2021•衡阳）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．23．（2021•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．24．（2021•衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）25．（2021•衡阳）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．26．（2021•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．27．（2021•衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．28．（2021•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，①求证：PF=PR；②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2021•衡阳）﹣3的绝对值是（）A．B．﹣3C．3D．﹣考点：绝对值。分析：根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝对值就是表示﹣3的点与原点的距离．解答：解：|﹣3|=3，故选：C．点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（2021•衡阳）2021年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略，将594亿元用于科学记数法（保留两个有效数字）表示为（）A．5.94×1010B．5.9×1010C．5.9×1011D．6.0×1010考点：科学记数法与有效数字。分析：学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：根据题意先将594亿元写成594×108=5.94×1010元．再用四舍五入法保留两个有效数字即得5.9×1010元．故选B．点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．同时考查近似数及有效数字的概念．【规律】（1）当|M|≥1时，n的值为M的整数位数减1；（2）当|M|＜1时，n的相反数是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．3．（2021•衡阳）下列运算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．（2a）3=6a3C．（x+1）2=x2+1D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式。专题：计算题。分析：根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案．解答：解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；D、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本选项正确；故选D．点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．4．（2021•衡阳）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣2考点：函数自变量的取值范围。专题：常规题型。分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x+2＞0，解得x＞﹣2．故选A．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．5．（2021•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（）A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm2考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。分析：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，则此圆锥的底面积为：π（）2=25πcm2．故选B．点评：本题考查了圆锥的三视图，正确理解三视图得到：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm是关键．6．（2021•衡阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正方形D．等腰梯形考点：中心对称图形；轴对称图形。分析：根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是掌握掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．（2021•衡阳）为备战2021年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）甲：910981098乙：8910710810下列说法正确的是（）A．甲的中位数为8B．乙的平均数为9C．甲的众数为9D．乙的极差为2考点：极差；算术平均数；中位数；众数。分析：分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．解答：解：甲：9，10，9，8，10，9，8A．∵排序后为：8，8，9，9，9，10，10∴中位数为：9；故此选项错误；C.9出现了3次，最多，∴众数为9，故此选项正确；乙：8，9，10，7，10，8，10，B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7=≠9，故此选项错误；D．极差是10﹣7=3，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及极差后找到正确的选项即可．8．（2021•衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角；直角三角形的性质。分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．解答：解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选：A．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．9．（2021•衡阳）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法。分析：首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为11的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：列表得：123456123456723456783456789456789105678910116789101112∴所得点数之和为11的概率为：=．故选A．点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．10．（2021•衡阳）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）A．0B．1C．2D．无法确定考点：直线与圆的位置关系。分析：首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．解答：解：根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的交点个数为2．故选：C．点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，这里要特别注意12是圆的直径；掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键．11．（2021•衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。专题：应用题。分析：分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．解答：解：由题意得，．故选B．点评：此题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，属于基础题，关键是仔细审题得出两个等量关系，建立方程组．12．（2021•衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系。分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．解答：解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）13．（2021•衡阳）计算﹣×=．考点：二次根式的混合运算。分析：首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解．解答：解：原式=2﹣=，故答案是：点评：本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的特点是关键．14．（2021•衡阳）分式方程的解为x=2．考点：解分式方程。分析：观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：去分母得：2（x+1）=3x，去括号得：2x+2=3x，移项得：2x﹣3x=﹣2，合并同类项得：﹣x=﹣2，把x的系数化为1得：x=2，检验：把x=2代入最简公分母x（x+1）=6≠0，故原分式方程的解为：x=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．15．（2021•衡阳）如图，反比例函数y=的图象经过点P，则k=﹣6．考点：待定系数法求反比例函数解析式。分析：首先根据图象写出P点坐标，再利用待定系数法把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．解答：解：根据图象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函数y=中得：k=xy=﹣6，故答案为：﹣6．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式．16．（2021•衡阳）某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分学生进行了一次题为“你喜欢的体育活动”的问卷调查（每人限选一项）根据收集到的数据，绘制成如图的统计图（不完整）：根据图中提供的信息得出“跳绳”部分学生共有50人．考点：条形统计图；扇形统计图。分析：先求得总人数，然后用总人数减去其他各个小组的频数即可．解答：解：∵从条形统计图知喜欢球类的有80人，占40%∴总人数为80÷40%=200人∴喜欢跳绳的有200﹣80﹣30﹣40=50人，故答案为50．点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．17．（2021•衡阳）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为2πcm．考点：弧长的计算；等边三角形的判定与性质；切线的性质。专题：数形结合。分析：根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案．解答：解：∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°，∵弦BC∥AO，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，即可得∠BOC=60°，∴劣弧的长==2πcm．故答案为：2π．点评：此题考查了弧长的计算公式、切线的性质，根据切线的性质及圆的性质得出△OBC是等边三角形是解答本题的关键，另外要熟练记忆弧长的计算公式．18．（2021•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb=﹣8．考点：两条直线相交或平行问题。分析：根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b值，再代入代数式进行计算即可．解答：解：∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，∴k=2，∵y=kx+b的图象经过点A（1，﹣2），∴2+b=﹣2，解得b=﹣4，∴kb=2×（﹣4）=﹣8．故答案为：﹣8．点评：本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的k值相等求出k=2是解题的关键．19．（2021•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为24cm2．考点：菱形的性质；解直角三角形。专题：数形结合。分析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．解答：解：连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为20cm，∴4×5x=20cm，解得：x=1，故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，故可得AC×BD=24cm2．故答案为：24．点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．20．（2021•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=1．考点：互余两角三角函数的关系。专题：规律型。分析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．解答：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（2021•衡阳）计算：（﹣1）2021﹣（﹣3）++．考点：实数的运算；负整数指数幂。专题：计算题。分析：分别计算负整数指数幂、二次根式的化简，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=1+3﹣2+3=5．点评：此题考查了实数的运算，关键是掌握各部分的运算法则，属于基础题，注意细心运算．22．（2021•衡阳）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。专题：探究型。分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：∵由①得，x＞﹣1；由②得，x≤4，∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，在数轴上表示为：点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．23．（2021•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．考点：全等三角形的判定。专题：开放型。分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．解答：解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．24．（2021•衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．解答：解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4m，在直角△ABF中，AF===3m，在直角△CED中，根据i=，则ED===4m．则AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=（7.5+4）m．答：坝底宽AD为（7.5+4）m．点评：本题考查了坡度坡角的问题，把梯形的计算通过作高线转化成直角三角形的计算是解决本题的基本思路．25．（2021•衡阳）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法。分析：（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案；（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．解答：解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：=；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：=；（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（3，4），（4，3）共4种情况，∴P（甲胜）==，P（乙胜）=，∴P（甲胜）≠P（乙胜），∴这种游戏方案设计对甲、乙双方不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．26．（2021•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∵DE⊥AB∴AD2=AE•AB；∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，在△OBC和△ODA中，∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．点评：本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．27．（2021•衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．考点：平行线分线段成比例；二次函数的最值；勾股定理；三角形中位线定理。专题：代数几何综合题；动点型。分析：（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，∴P（4，3）．又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．28．（2021•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式．（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，①求证：PF=PR；②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状．解答：解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A、D关于抛物线的对称轴对称；∵E是AB的中点，∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=﹣1，a=﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣x2．（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），则：则：PF===a2+1，PR==a2+1．∴PF=PR．②由①得：RF=；若△PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：=a2+1，即：a4﹣a2﹣3=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12；∴a=±2，﹣a2=﹣3；∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，3）．③同①可证得：QF=QS；在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在解答题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论．2021年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答2010年5月一、填空题小题号12345答案202151.函数是定义在R上的周期为3的函数,右图中表示的是该函数在区间上的图像.则的值等于.答:.理由:则2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等价于………=1\*GB3①与……=2\*GB3②由=1\*GB3①得：，由=2\*GB3②得：，所以所以.所以.3.如右图,AB与⊙O切于点A.连接B与⊙O内一点D的线段交圆于点C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，则⊙O的半径等于.答：解:延长BD交圆于E，延长OD交圆于F，G（如左图）.FG是⊙O的直径.设⊙O的半径为r，由切割线定理，有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得.4．满足方程的函数.答：解：取x=1和x=0代入方程，得，进而得于是经检验，所求的函数满足方程.5．若一个自然数比它的数字和恰好大2007,这样的自然数叫做“好数”,则所有“好数”的和等于.答:20215.解：设其中是自然数n的数字和.则函数是非严格的增函数.所以满足条件的所有自然数只有10个：2021，2021，2021，2021，202