直线、平面垂直的判定与性质

/直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：<1>定义中"平面内的任意一条直线"就是指"平面内的所有直线".这与"无数条直线"不同.注意区别。

<2>直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

<3>若.则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。符号语言：特征：线线垂直线面垂直

要点诠释：<1>判定定理的条件中："平面内的两条相交直线"是关键性词语.不可忽视。

<2>要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：<1>直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。

<2>直线与平面垂直射影是点。

<3>斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

<4>一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内<棱以外的半平面部分>分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点.以该点为垂足.在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.则这两条构成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角来度量.二面角的平面角是多少度.就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角。

知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交.如果它们所成的二面角是直二面角.就说这两个平面垂直。表示方法：平面与垂直.记作。画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。如图：

2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线.则这两个平面垂直。符号语言：图形语言：

特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们.可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为"线面垂直.则面面垂直".因此.处理面面垂直问题处理线面垂直问题.进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直.只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可。知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面.那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。符号语言：图形语言：

2.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行。符号语言：图形语言：

知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言：图形语言：

经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是<>

①如果直线与平面内的无数条直线垂直.则；

②如果直线与平面内的一条直线垂直.则；

③如果直线不垂直于.则内没有与垂直的直线；

④如果直线不垂直于.则内也可以有无数条直线与垂直.

A.0B.1C.2D.3

举一反三：

[变式1]下列说法中错误的是<>

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直.该直线与这个平面必相交；

②如果一条直线和平面的一条平行线垂直.该直线必在这个平面内；

③如果一条直线和平面的一条垂线垂直.该直线必定在这个平面内；

④如果一条直线和一个平面垂直.该直线垂直于平面内的任何直线.

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③类型二、直线和平面垂直的判定2．如图所示.已知Rt△ABC所在平面外一点S.且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点。<1>求证：SD⊥平面ABC；

<2>若AB=BC.求证：BD⊥平面SAC。举一反三：

[变式1]如图所示.三棱锥的四个面中.最多有________个直角三角形。

[变式2]如图所示.直三棱柱中.∠ACB=90°.AC=1..侧棱.侧面的两条对角线交点为D.的中点为M。

求证：CD⊥平面BDM。类型三、直线和平面所成的角3．如图所示.已知∠BOC在平面内.OA是平面的斜线.且∠AOB=∠AOC=60°.OA=OB=OC=.BC=.求OA和平面所成的角。总结升华：<1>确定点在平面内的射影的位置.是解题的关键.因为只有确定了射影的位置.才能找到直线与平面所成的角.才能将空间的问题转化为平面的问题来解。

<2>求斜线与平面所成的角的程序：

①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得出射影.确定出所求解；

③把该角放入三角形计算。

<3>直线和平面所成的角.也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况.也就是直线和平面成90°角和0°角的情况.所以求线面所成角时.应想到以上两种情况。

举一反三：

[变式1]如图所示.在正三棱柱中.侧棱长为.底面三角形的边长为1.则与侧面所成的角是________。类型四、二面角4．如图所示.在四面体ABCD中.△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等.且..求以BC为棱.以面BCD和面BCA为面的二面角大小。总结升华：确定二面角的平面角.常常用定义来确定。举一反三：

[变式1]已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点.且.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小.

类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中..AB=AD=CB=CD=AC=.如图所示。

求证：平面ABD⊥平面BCD.

举一反三：

[变式1]如图所示.在空间四边形ABCD中.AB=BC.CD=DA.E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点.求证：平面BEF⊥平面BGD。总结升华：证面面垂直的方法：

<1>证明两平面构成的二面角的平面角为90°；

<2>证明一个平面经过另一个平面的一条垂线.将证明"面面垂直"的问题转化为证明线面垂直的问题。[变式2]如图所示.在Rt△AOB中..斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到.且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点。求证：平面COD⊥平面AOB

[变式3]过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC.有∠APB=∠APC=60°.∠BPC=90°.求证：平面ABC⊥平面BPC。类型六、综合应用6．如图所示.△ABC为正三角形.CE⊥平面ABC.BD∥CE.且CE=AC=2BD.M是AE的中点。求证：<1>DE=DA；<2>平面BDM⊥平面ECA；<3>平面DEA⊥平面ECA。7．如图所示.已知PA⊥矩形ABCD所在平面.M、N分别是AB、PC的中点。求证：<1>MN∥平面PAD；<2>MN⊥CD；<3>若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD。学习成果测评基础达标1、平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直.那么<>

A.B.C.与相交D.与的位置关系不确定

2、已知直线a、b和平面.下列推论错误的是<>

A.B.

C.D.

3、若直线a⊥直线b.且a⊥平面.则有<>

A.B.C.D.或

4、若P是平面外一点.则下列命题正确的是<>

A.过P只能作一条直线与平面相交

B.过P可作无数条直线与平面垂直

C.过P只能作一条直线与平面平行

D.过P可作无数条直线与平面平行

5、设是直二面角.直线.直线.且a不垂直于.b不垂直于.那么<>

A.a与b可能垂直.但不能平行

B.a与b可能垂直.也可能平行

C.a与b不可能垂直.但可能平行

D.a与b不可能平行.也不能垂直

6、设、为两个不同的平面.、m为两条不同的直线.且.有如下两个命题：①若.则；②若.则.那么<>

A.①是真命题.②是假命题

B.①是假命题.②是真命题

C.①②都是真命题

D.①②都是假命题7、关于直线m、n与平面与.有下列四个命题：

①若且.则m∥n；②若且.则；

③若且.则；④若且.则m∥n.

其中真命题的序号是<>.

A.①②B.③④C.①④D.②③8、已知直线m⊥平面.直线.给出下列四个命题.其中正确的命题是<>①若.则；②若.则m∥n；③若m∥n.则；④若.则

A.③④B.①③C.②④D.①②

9、下面四个命题：

①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；

②经过平面外一点.有且仅有一个平面垂直这个平面；

③平面内不共线的三点到平面的距离相等.则；

④两个平面垂直.过其中一个平面内一点作它们交线的垂线.则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是<>

A.0个B.1个C.2个D.3个

10、设有不同的直线a、b和不同的平面、、.给出下列三个命题：

①若..则；②若..则；③若.则。其中正确的个数是<>

A.0B.1C.2D.3

11、已知直线⊥平面.直线平面.有四个命题：①；②；③；④.

其中正确的命题是__________.<把所有正确命题的序号都填上>

12、长方体中.MN在平面内.MN⊥BC于M.则MN与AB的位置关系是_______。

13、如图所示.直角△ABC所在平面外一点S.且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.

<1>求证：SD⊥平面ABC；

<2>若AB=BC.求证：BD⊥面SAC。能力提升1、下面四个命题：

①若直线a∥平面.则内任何直线都与a平行；

②若直线a⊥平面.则内任何直线都与a垂直；

③若平面∥平面.则内任何直线都与平行；

④若平面⊥平面.则内任何直线都与垂直.

其中正确的两个命题是<>

A.①与②B.②与③C.③与④D.②与④

2、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面.那么这两个二面角<>

A.相等B.互补C.关系无法确定D.相等或互补3、、是两个不同的平面.m、n是平面、外的两条不同直线.给出四个结论：

①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥。

以其中三个论断作为条件.余下一个论断作为结论.写出你认为正确的一个命题________________。

4、已知直线PA与平面内过点A的三条直线AB、AC、AD成等角。求证：PA⊥平面5、已知ABCD为矩形.SA⊥平面ABCD.过点A作AE⊥SB于点E.过点E作EF⊥SC于点F.如图所示.

<1>求证