中考二次函数压轴题共23道题目

/中考二次函数压轴题〔共23道题目一．选择题〔共10小题1．如图.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的图象经过点〔1.2且与x轴交点的横坐标分别为x1.x2.其中﹣1＜x1＜0.1＜x2＜2.下列结论：4a+2b+c＜0.2a+b＜0.b2+8a＞4ac.a＜﹣1.其中结论正确的有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图是某二次函数的图象.将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0.则下列结论中正确的有〔〔1a＞0；〔2c＜0；〔32a﹣b=0；〔4a+b+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的图象如图.在下列代数式中〔1a+b+c＞0；〔2﹣4a＜b＜﹣2a〔3abc＞0；〔45a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知点〔x1.y1、〔x2.y2、〔x3.y3都在抛物线y=x2+bx上.x1、x2、x3为△ABC的三边.且x1＜x2＜x3.若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3.则b的取值范围是〔A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣55．如图.点A〔m.n是一次函数y=2x的图象上的任意一点.AB垂直于x轴.垂足为B.那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为〔A． B．C D．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限.那么下列结论成立的是〔A．a＞0.b＞0.c=0 B．a＞0.b＜0.c=0 C．a＜0.b＞0.c=0 D．a＜0.b＜0.c=07．已知抛物线y=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1与x轴交于两点.如果有一个交点的横坐标大于2.另一个交点的横坐标小于2.并且抛物线与y轴的交点在点〔0.的下方.那么m的取值范围是〔A． B． C． D．全体实数8．函数y=与y=﹣kx2+k〔k≠0在同一直角坐标系中的图象可能是〔A． B． C． D．9．已知抛物线y=x2+bx+c〔c＜0经过点〔c.0.以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S.则S可表示为〔A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c C．〔b+12 D．10．下列关于函数y=〔m2﹣1x2﹣〔3m﹣1x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时.有三个公共点；②m=3时.只有两个公共点；③若只有两个公共点.则m=3；④若有三个公共点.则m≠3．其中描述正确的有〔个．A．一个 B．两个 C．三个 D．四个二．填空题〔共10小题11．已知：如图.过原点的抛物线的顶点为M〔﹣2.4.与x轴负半轴交于点A.对称轴与x轴交于点B.点P是抛物线上一个动点.过点P作PQ⊥MA于点Q．〔1抛物线解析式为．〔2若△MPQ与△MAB相似.则满足条件的点P的坐标为．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位.所得抛物线的函数表达式为．13．如图所示.将矩形OABC沿AE折叠.使点O恰好落在BC上F处.以CF为边作正方形CFGH.延长BC至M.使CM=|CE﹣EO|.再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=.则m=；又若CO=1.CE=.Q为AE上一点且QF=.抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点.则抛物线与边AB的交点坐标是．15．在平面直角坐标系中.点A、B、C的坐标分别为〔0.1、〔4.2、〔2.6．如果P〔x.y是△ABC围成的区域〔含边界上的点.那么当w=xy取得最大值时.点P的坐标是．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象.在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1.x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时.y随着x的增大而增大．正确的结论有〔请写出所有正确结论的序号．17．已知当x1=a.x2=b.x3=c时.二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1.y2.y3.若正整数a.b.c恰好是一个三角形的三边长.且当a＜b＜c时.都有y1＜y2＜y3.则实数m的取值范围是．18．如图.已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1.点P的坐标为〔m.n.当⊙P与x轴相交时.点P的横坐标m的取值范围是．19．如图.四边形ABCD是矩形.A、B两点在x轴的正半轴上.C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m〔0＜m＜3.矩形ABCD的周长为l.则l与m的函数解析式为．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限.且经过点〔0.1.〔﹣1.0.则y=a+b+c的取值范围是．三．解答题〔共4小题21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A〔﹣1.0、B两点.与y轴交于点C.对称轴为x=1.顶点为E.直线y=﹣x+1交y轴于点D．〔1求抛物线的解析式；〔2求证：△BCE∽△BOD；〔3点P是抛物线上的一个动点.当点P运动到什么位置时.△BDP的面积等于△BOE的面积？22．如图.直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0相交于A〔.和B〔4.m.点P是线段AB上异于A、B的动点.过点P作PC⊥x轴于点D.交抛物线于点C．〔1求抛物线的解析式；〔2是否存在这样的P点.使线段PC的长有最大值？若存在.求出这个最大值；若不存在.请说明理由；〔3求△PAC为直角三角形时点P的坐标．23．已知：如图.抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A〔3.0、B〔6.0.与y轴的交点是C．〔1求抛物线的函数表达式；〔2设P〔x.y〔0＜x＜6是抛物线上的动点.过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时.线段PQ的长度取得最大值.其最大值是多少？②是否存在这样的点P.使△OAQ为直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．24．如图.直角梯形ABCO的两边OA.OC在坐标轴的正半轴上.BC∥x轴.OA=OC=4.以直线x=1为对称轴的抛物线过A.B.C三点．〔1求该抛物线的函数解析式；〔2已知直线l的解析式为y=x+m.它与x轴交于点G.在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时.如图1.点P是抛物线对称轴与BC的交点.过点P作PH⊥直线l于点H.连结OP.试求△OPH的面积；②当m=﹣3时.过点P分别作x轴、直线l的垂线.垂足为点E.F．是否存在这样的点P.使以P.E.F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．二次函数压轴题〔共24道题目参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题1．如图.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的图象经过点〔1.2且与x轴交点的横坐标分别为x1.x2.其中﹣1＜x1＜0.1＜x2＜2.下列结论：4a+2b+c＜0.2a+b＜0.b2+8a＞4ac.a＜﹣1.其中结论正确的有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]由抛物线的开口方向判断a的符号.由抛物线与y轴的交点判断c的符号.然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理.进而对所得结论进行判断．[解答]解：由抛物线的开口向下知a＜0.与y轴的交点为在y轴的正半轴上.得c＞0.对称轴为x=＜1.∵a＜0.∴2a+b＜0.而抛物线与x轴有两个交点.∴b2﹣4ac＞0.当x=2时.y=4a+2b+c＜0.当x=1时.a+b+c=2．∵＞2.∴4ac﹣b2＜8a.∴b2+8a＞4ac.∵①a+b+c=2.则2a+2b+2c=4.②4a+2b+c＜0.③a﹣b+c＜0．由①.③得到2a+2c＜2.由①.②得到2a﹣c＜﹣4.4a﹣2c＜﹣8.上面两个相加得到6a＜﹣6.∴a＜﹣1．故选：D．2．如图是某二次函数的图象.将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0.则下列结论中正确的有〔〔1a＞0；〔2c＜0；〔32a﹣b=0；〔4a+b+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]如图是y=ax2+bx+c的图象.根据开口方向向上知道a＞0.又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0.由对称轴x==﹣1.可以得到2a﹣b=0.又当x=1时.可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．[解答]解：〔1∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〔如虚线部分.∴y=ax2+bx+c的对称轴为：直线x=﹣1；∵开口方向向上.∴a＞0.故①正确；〔2∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0.故②正确；〔3∵对称轴x==﹣1.∴2a﹣b=0.故③正确；〔4当x=1时.y=a+b+c＞0.故④正确．故选：D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的图象如图.在下列代数式中〔1a+b+c＞0；〔2﹣4a＜b＜﹣2a〔3abc＞0；〔45a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]由抛物线开口向上得到a大于0.再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号.即b小于0.由抛物线与y轴交于正半轴.得到c大于0.可得出abc的符合.对于〔3作出判断；由x=1时对应的函数值小于0.将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0.〔1错误；根据对称轴在1和2之间.利用对称轴公式列出不等式.由a大于0.得到﹣2a小于0.在不等式两边同时乘以﹣2a.不等号方向改变.可得出不等式.对〔2作出判断；由x=﹣1时对应的函数值大于0.将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0.又4a大于0.c大于0.可得出a﹣b+c+4a+c大于0.合并后得到〔4正确.综上.即可得到正确的个数．[解答]解：由图形可知：抛物线开口向上.与y轴交点在正半轴.∴a＞0.b＜0.c＞0.即abc＜0.故〔3错误；又x=1时.对应的函数值小于0.故将x=1代入得：a+b+c＜0.故〔1错误；∵对称轴在1和2之间.∴1＜﹣＜2.又a＞0.∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得：﹣2a＞b＞﹣4a.故〔2正确；又x=﹣1时.对应的函数值大于0.故将x=﹣1代入得：a﹣b+c＞0.又a＞0.即4a＞0.c＞0.∴5a﹣b+2c=〔a﹣b+c+4a+c＞0.故〔4错误.综上.正确的有1个.为选项〔2．故选：A．4．已知点〔x1.y1、〔x2.y2、〔x3.y3都在抛物线y=x2+bx上.x1、x2、x3为△ABC的三边.且x1＜x2＜x3.若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3.则b的取值范围是〔A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5[分析]根据三角形的三边关系"任意两边之和大于第三边.任意两边之差小于第三边".结合已知条件.可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；根据抛物线.知它与x轴的交点是〔0.0和〔﹣b.0.对称轴是x=﹣．因此要满足已知条件.则其对称轴应小于2.5．[解答]解：∵x1、x2、x3为△ABC的三边.且x1＜x2＜x3.∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是〔0.0和〔﹣b.0.对称轴是x=﹣.∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3.则﹣＜2.5解.得b＞﹣5．故选：D．5．如图.点A〔m.n是一次函数y=2x的图象上的任意一点.AB垂直于x轴.垂足为B.那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为〔A． B． C． D．[分析]因为A〔m.n是一次函数y=2x的图象上的任意一点.所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系.根据关系式即可解答．[解答]解：由题意可列该函数关系式：S=|m|•2|m|=m2.因为点A〔m.n是一次函数y=2x的图象上的任意一点.所以点A〔m.n在第一或三象限.又因为S＞0.所以取第一、二象限内的部分．故选：D．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限.那么下列结论成立的是〔A．a＞0.b＞0.c=0 B．a＞0.b＜0.c=0 C．a＜0.b＞0.c=0 D．a＜0.b＜0.c=0[分析]先根据图象经过象限的情况判断出a的符号.由抛物线与y轴的交点判断c的符号.然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．[解答]解：∵抛物线经过原点.∴c=0.∵抛物线经过第一.二.三象限.可推测出抛物线开口向上.对称轴在y轴左侧∴a＞0.∵对称轴在y轴左侧.∴对称轴为x=＜0.又因为a＞0.∴b＞0．故选：A．7．已知抛物线y=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1与x轴交于两点.如果有一个交点的横坐标大于2.另一个交点的横坐标小于2.并且抛物线与y轴的交点在点〔0.的下方.那么m的取值范围是〔A． B． C． D．全体实数[分析]因为抛物线y=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2.另一个交点的横坐标小于2.且抛物线开口向上.所以令f〔x=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1.则f〔2＜0.解不等式可得m＞.又因为抛物线与y轴的交点在点〔0.的下方.所以f〔0＜﹣.解得m＜.即可得解．[解答]解：根据题意.令f〔x=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1.∵抛物线y=x2﹣〔4m+1x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2.另一个交点的横坐标小于2.且抛物线开口向上.∴f〔2＜0.即4﹣2〔4m+1+2m﹣1＜0.解得：m＞.又∵抛物线与y轴的交点在点〔0.的下方.∴f〔0＜﹣.解得：m＜.综上可得：＜m＜.故选：A．8．函数y=与y=﹣kx2+k〔k≠0在同一直角坐标系中的图象可能是〔A． B． C． D．[分析]本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负.再与二次函数的图象相比较看是否一致．[解答]解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限.可得k＜0.则﹣k＞0.抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾.故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限.可得k＞0.则﹣k＜0.抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上.本图象符合题意.故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限.可得k＞0.则﹣k＜0.抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上.本图象与k的取值相矛盾.故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限.可得k＞0.则﹣k＜0.抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上.本图象与k的取值相矛盾.故D错误．故选：B．9．已知抛物线y=x2+bx+c〔c＜0经过点〔c.0.以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S.则S可表示为〔A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c C．〔b+12 D．[分析]把点〔c.0代入抛物线中.可得b、c的关系式.再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2.则x1、x2满足x2+bx+c=0.根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|.那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．[解答]解：∵抛物线y=x2+bx+c〔c＜0经过点〔c.0.∴c2+bc+c=0；∴c〔c+b+1=0；∵c＜0.∴c=﹣b﹣1；设x1.x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根.∴x1+x2=﹣b.x1•x2=c=﹣b﹣1.∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|.∴S可表示为|2+b||b+1|．故选：A．10．下列关于函数y=〔m2﹣1x2﹣〔3m﹣1x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时.有三个公共点；②m=3时.只有两个公共点；③若只有两个公共点.则m=3；④若有三个公共点.则m≠3．其中描述正确的有〔个．A．一个 B．两个 C．三个 D．四个[分析]令y=0.可得出〔m2﹣1x2﹣〔3m﹣1x+2=0.得出判别式的表达式.然后根据m的取值进行判断.另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数.不要忘了考虑一次函数的情况．[解答]解：令y=0.可得出〔m2﹣1x2﹣〔3m﹣1x+2=0.△=〔3m﹣12﹣8〔m2﹣1=〔m﹣32.①当m≠3.m=±1时.函数是一次函数.与坐标轴有两个交点.故错误；②当m=3时.△=0.与x轴有一个公共点.与y轴有一个公共点.总共两个.故正确；③若只有两个公共点.m=3或m=±1.故错误；④若有三个公共点.则m≠3且m≠±1.故错误；综上可得只有②正确.共个．故选：A．二．填空题〔共10小题11．已知：如图.过原点的抛物线的顶点为M〔﹣2.4.与x轴负半轴交于点A.对称轴与x轴交于点B.点P是抛物线上一个动点.过点P作PQ⊥MA于点Q．〔1抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x．〔2若△MPQ与△MAB相似.则满足条件的点P的坐标为〔﹣.、〔﹣.．[分析]〔1设抛物线的解析式为：y=a〔x+22+4.因为抛物线过原点.把〔0.0代入.求出a即可．〔2由于PQ⊥MA.即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．①∠PMQ=∠AMB时.先找出点B关于直线MA的对称点〔设为点C.显然有AC=AB=2、MC=MB=4.可根据该条件得到点C的坐标.进而求出直线MC〔即直线MP的解析式.联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；②∠PMQ=∠MAB时.若设直线MP与x轴的交点为D.那么△MAD必为等腰三角形.即MD=AD.根据此条件先求出点D的坐标.进而得出直线MP的解析式.联立抛物线的解析式即可得解．[解答]解：〔1∵过原点的抛物线的顶点为M〔﹣2.4.∴设抛物线的解析式为：y=a〔x+22+4.将x=0.y=0代入可得：4a+4=0.解得：a=﹣1.∴抛物线解析式为：y=﹣〔x+22+4.即y=﹣x2﹣4x；〔2∵PQ⊥MA∴∠MQP=∠MBA=90°；若△MPQ、△MAB相似.那么需满足下面的其中一种情况：①∠PMQ=∠AMB.此时MA为∠PMB的角平分线.如图①；取点B关于直线MA的对称点C.则AC=AB=2.MC=MB=4.设点C〔x.y.有：.解得〔舍.∴点C的坐标为〔﹣.；设直线MP的解析式：y=kx+b.代入M〔﹣2.4、〔﹣.得：.解得∴直线MP：y=x+联立抛物线的解析式.有：.解得.∴点P的坐标〔﹣.；②∠PMQ=∠MAB.如右图②.此时△MAD为等腰三角形.且MD=AD.若设点D〔x.0.则有：〔x+42=〔x+22+〔0﹣42.解得：x=1∴点D〔1.0；设直线MP的解析式：y=kx+b.代入M〔﹣2.4、D〔1.0后.有：.解得：∴直线MP：y=﹣x+联立抛物线的解析式有：.解得：.∴点P的坐标〔﹣.综上.符合条件的P点有两个.且坐标为〔﹣.、〔﹣.．故答案：〔1y=﹣x2﹣4x；〔2〔﹣.、〔﹣.．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位.所得抛物线的函数表达式为y=x2+6x+7．[分析]根据二次函数图象的平移规律：左右平移.x改变：左加右减.y不变；上下平移.x不变.y改变.上加下减进行计算即可．[解答]解：根据平移规律：将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到：y=〔x+32﹣2.y=x2+6x+7．故答案为：y=x2+6x+7．13．如图所示.将矩形OABC沿AE折叠.使点O恰好落在BC上F处.以CF为边作正方形CFGH.延长BC至M.使CM=|CE﹣EO|.再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=.则m=1；又若CO=1.CE=.Q为AE上一点且QF=.抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点.则抛物线与边AB的交点坐标是〔.．[分析]求出CM=OE﹣CE.求出四边形CFGH的面积是CO×〔OE﹣CE.求出四边形CMNO的面积是〔OE﹣CE×CO.即可求出m值；求出EF值.得出EF=QF.得出等边三角形EFQ.求出EQ.求出∠CEF、∠OEA.过Q作QD⊥OE于D.求出Q坐标.代入抛物线求出抛物线的解析式.把x=代入抛物线即可求出y.即得出答案．[解答]解：∵沿AE折叠.O和F重合.∴OE=EF.∵在Rt△CEF中.EF＞CE.即OE＞CE.∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE.∵S四边形CFGH=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=〔EO+EC〔EO﹣EC=CO×〔EO﹣EC.S四边形CMNO=CM×CO=〔OE﹣CE×OC.∴m==1；∵CO=1.CE=.QF=.∴EF=EO==QF.C〔0.1.∴sin∠EFC==.∴∠EFC=30°.∠CEF=60°.∴∠FEA=×〔180°﹣60°=60°.∵EF=QF.∴△EFQ是等边三角形.∴EQ=.过Q作QD⊥OE于D.ED=EQ=．∵由勾股定理得：DQ=.∴OD=﹣=.即Q的坐标是〔..∵抛物线过C、Q.m=1代入得：.解得：b=﹣.c=1.∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x+1.AO=EO=.∵把x=代入抛物线得：y=.∴抛物线与AB的交点坐标是〔..故答案为：1.．14．该试题已被管理员删除15．在平面直角坐标系中.点A、B、C的坐标分别为〔0.1、〔4.2、〔2.6．如果P〔x.y是△ABC围成的区域〔含边界上的点.那么当w=xy取得最大值时.点P的坐标是〔.5．[分析]分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式.分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值.再进一步比较．[解答]解：线段AB的解析式是y=x+1〔0≤x≤4.此时w=x〔x+1=+x.则x=4时.w最大=8；线段AC的解析式是y=x+1〔0≤x≤2.此时w=x〔x+1=+x.此时x=2时.w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10〔2≤x≤4.此时w=x〔﹣2x+10=﹣2x2+10x.此时x=时.w最大=12.5．综上所述.当w=xy取得最大值时.点P的坐标是〔.5．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象.在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1.x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时.y随着x的增大而增大．正确的结论有②④〔请写出所有正确结论的序号．[分析]根据抛物线的开口向下判断出a＜0.再根据与y轴的交点判断出c＞0.然后判断出①错误；根据与x轴的交点坐标判断出②正确；取x=1的函数值判断出③错误；先求出抛物线对称轴为直线x=2.然后根据二次函数的增减性判断出④正确．[解答]解：∵抛物线开口向下.∴a＜0.∵与y轴的正半轴相交.∴c＞0.∴ac＜0.故①错误；∵抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1.0.〔5.0.∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1.x2=5.故②正确；由图可知.当x=1时.函数值y＞0.即a+b+c＞0.故③错误；抛物线对称轴为直线x==2；当x＜2时.y随着x的增大而增大.故④正确；综上所述.正确的结论是②④．故答案为：②④．17．已知当x1=a.x2=b.x3=c时.二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1.y2.y3.若正整数a.b.c恰好是一个三角形的三边长.且当a＜b＜c时.都有y1＜y2＜y3.则实数m的取值范围是m＞﹣．[分析]根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2.再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2.即小于2.5.然后列出不等式求解即可．[解答]方法一：解：∵正整数a.b.c恰好是一个三角形的三边长.且a＜b＜c.∴a最小是2.∵y1＜y2＜y3.∴﹣＜2.5.解得m＞﹣2.5．方法二：解：当a＜b＜c时.都有y1＜y2＜y3.即.∴.∴.∵a.b.c恰好是一个三角形的三边长.a＜b＜c.∴a+b＜b+c.∴m＞﹣〔a+b.∵a.b.c为正整数.∴a.b.c的最小值分别为2、3、4.∴m＞﹣〔a+b≥﹣〔2+3=﹣.∴m＞﹣.故答案为：m＞﹣．18．如图.已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1.点P的坐标为〔m.n.当⊙P与x轴相交时.点P的横坐标m的取值范围是3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．[分析]由圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动.点P的坐标为〔m.n.可得n=m2﹣3m+3.又由⊙P半径为1.⊙P与x轴相交.可得|m2﹣3m+3|＜1.继而可求得答案．[解答]解：∵圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动.点P的坐标为〔m.n.∴n=m2﹣3m+3.∵⊙P半径为1.⊙P与x轴相交.∴|n|＜1.∴|m2﹣3m+3|＜1.∴﹣1＜m2﹣3m+3＜1.解m2﹣3m+3＜1.得：3﹣＜m＜3+.解m2﹣3m+3＞﹣1.得：m＜2或m＞4.∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．19．如图.四边形ABCD是矩形.A、B两点在x轴的正半轴上.C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m〔0＜m＜3.矩形ABCD的周长为l.则l与m的函数解析式为l=﹣2m2+8m+12．[分析]求l与m的函数解析式就是把m当作已知量.求l.先求AD.它的长就是D点的纵坐标.再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标.C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长.用l=2〔AD+CD.建立函数关系式．[解答]解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中.得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中.得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m.x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m.故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2〔﹣m2+6m+2〔6﹣2m即l=﹣2m2+8m+12．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限.且经过点〔0.1.〔﹣1.0.则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．[分析]由二次函数的解析式可知.当x=1时.所对应的函数值y=s=a+b+c．把点〔0.1.〔﹣1.0代入y=ax2+bx+c.得出c=1.a﹣b+c=0.然后根据顶点在第一象限.可以画出草图并判断出a与b的符号.进而求出y=a+b+c的变化范围．[解答]解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限.且经过点〔0.1.〔﹣1.0.∴易得：c=1.a﹣b+c=0.a＜0.b＞0.由a=b﹣1＜0得到b＜1.结合上面b＞0.所以0＜b＜1①.由b=a+1＞0得到a＞﹣1.结合上面a＜0.所以﹣1＜a＜0②.∴由①②得：﹣1＜a+b＜1.且c=1.得到：0＜a+b+c＜2.则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．故答案为：0＜y＜2三．解答题〔共4小题21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A〔﹣1.0、B两点.与y轴交于点C.对称轴为x=1.顶点为E.直线y=﹣x+1交y轴于点D．〔1求抛物线的解析式；〔2求证：△BCE∽△BOD；〔3点P是抛物线上的一个动点.当点P运动到什么位置时.△BDP的面积等于△BOE的面积？[分析]〔1在抛物线y=ax2﹣2x+c中.已知对称轴x=﹣=1.可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中.可确定c的值.由此得解．〔2首先由抛物线的解析式.确定点B、C、E的坐标.由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后.由SSS来判定这两个三角形相似．〔3△BOE的面积易得.而在〔2中求出了BD的长.由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离.如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点〔可设为点M.使得点M到直线BD的距离等于点P到直线BD的距离.通过解直角三角形先求出DM的长.由此确定点M的坐标.然后过M作平行于直线BD的直线.再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．[解答]解：〔1抛物线y=ax2﹣2x+c中.对称轴x=﹣=﹣=1.∴a=1；将点A〔﹣1.0代入y=ax2﹣2x+c中.得：1+2+c=0.c=﹣3；∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．〔2∵抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4=〔x+1〔x﹣3.∴点C〔0.﹣3、B〔3.0、E〔1.﹣4；易知点D〔0.1.则有：OD=1、OB=3、BD=；CE=、BC=3、BE=2；∴==.∴△BCE∽△BOD．〔3S△BOE=×BO×|yE|=×3×4=6；∴S△BDP=×BD×h=S△BOE=6.即h=．在y轴上取点M.过点M作MN1⊥BD于N1.使得MN1=h=；在Rt△MN1D中.sin∠MDN1=.且MN1=；则MD==4；∴点M〔0.﹣3或〔0.5．过点M作直线l∥MN2.如右图.则直线l：y=﹣x﹣3或y=﹣x+5.联立抛物线的解析式有：或解得：、、、∴当点P的坐标为〔0.﹣3、〔.﹣、〔.、〔.时.△BDP的面积等于△BOE的面积．22．如图.直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6〔a≠0相交于A〔.和B〔4.m.点P是线段AB上异于A、B的动点.过点P作PC⊥x轴于点D.交抛物线于点C．〔1求抛物线的解析式；〔2是否存在这样的P点.使线段PC的长有最大值？若存在.求出这个最大值；若不存在.请说明理由；〔3求△PAC为直角三角形时点P的坐标．[分析]〔1已知B〔4.m在直线y=x+2上.可求得m的值.抛物线图象上的A、B两点坐标.可将其代入抛物线的解析式中.通过联立方程组即可求得待定系数的值．〔2要弄清PC的长.实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标.根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标.进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式.根据函数的性质即可求出PC的最大值．〔3当△PAC为直角三角形时.根据直角顶点的不同.有三种情形.需要分类讨论.分别求解．[解答]解：〔1∵B〔4.m在直线y=x+2上.∴m=4+2=6.∴B〔4.6.∵A〔.、B〔4.6在抛物线y=ax2+bx+6上.∴.解得.∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．〔2设动点P的坐标为〔n.n+2.则C点的坐标为〔n.2n2﹣8n+6.∴PC=〔n+2﹣〔2n2﹣8n+6.=﹣2n2+9n﹣4.=﹣2〔n﹣2+.∵PC＞0.∴当n=时.线段PC最大且为．〔3∵△PAC为直角三角形.i若点P为直角顶点.则∠APC=90°．由题意易知.PC∥y轴.∠APC=45°.因此这种情形不存在；ii若点A为直角顶点.则∠PAC=90°．如答图3﹣1.过点A〔.作AN⊥x轴于点N.则ON=.AN=．过点A作AM⊥直线AB.交x轴于点M.则由题意易知.△AMN为等腰直角三角形.∴MN=AN=.∴OM=ON+MN=+=3.∴M〔3.0．设直线AM的解析式为：y=kx+b.则：.解得.∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6②联立①②式.解得：x=3或x=〔与点A重合.舍去∴C〔3.0.即点C、M点重合．当x=3时.y=x+2=5.∴P1〔3.5；iii若点C为直角顶点.则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2〔x﹣22﹣2.∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2.作点A〔.关于对称轴x=2的对称点C.则点C在抛物线上.且C〔.．当x=时.y=x+2=．∴P2〔.．∵点P1〔3.5、P2〔.均在线段AB上.∴综上所述.△PAC为直角三角形时.点P的坐标为〔3.5或〔.．23．已知：如图.抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A〔3.0、B〔6.0.与y轴的交点是C．〔1求抛物线的函数表达式；〔2设P〔x.y〔0＜x＜6是抛物线上的动点.过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时.线段PQ的长度取得最大值.其最大值是多少？②是否存在这样的点P.使△OAQ为直角三角形？若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由．[分析]〔1已知了A.B的坐标.可用待定系数法求出函数的解析式．〔2①QP其实就是一次函数与二次函数的差.二次函数的解析式在〔1中已经求出.而一次函数可根据B.C的坐标.用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式.得出的新的函数就是关于PQ.x的函数关系式.那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．〔3分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时.Q与C重合.显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时.P与A重合.因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时.如果设QP与x轴的交点为D.那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值.然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．[解答]解：〔1∵抛物线过A〔3.0.B〔6.0.∴.解得：.∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．〔2①∵当x=0时.y=2.∴点C的坐标为〔0.2．设直线BC的函数表达式是y=kx+h．则有.解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6.点P、Q的横坐标相同.∴PQ=yQ﹣yP=〔﹣x+2﹣〔x2﹣x+2=﹣x2+x=﹣〔x﹣32+1∴当x=3时.线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ′=90°时.点P与点A重合.∴P〔3.0当∠Q′OA=90°时.点P与点C重合.∴x=0〔不合题意当∠OQ′A=90°时.设PQ′与x轴交于点D．∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°.∠Q′AD+∠AQ′D=90°.∴∠OQ′D=∠Q′AD．又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°.∴△ODQ′∽△Q′DA．∴.即DQ′2=OD•DA．∴〔﹣x+22=x〔3﹣x.10x2﹣39x+36=0.∴x1=.x2=.∴y1=×〔2﹣+2=；y2=×〔2﹣+2=；∴P〔.或P〔.．∴所求的点P的坐标是P〔3.0或P〔.或P〔.．24．如图.直角梯形ABCO的两边OA.OC在坐标轴的正半轴上.BC∥x轴.OA=OC=4.以直线x=1为对称轴的抛物线过A.B.C三点．〔1求该抛物线的函数解析式；〔2已知直线l的解析式为y=x+m.它与x轴交于点G.在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时.如图1.点P是抛物线对称轴与BC的交点.过点P作PH⊥直线l于点H.连结OP.试求△OPH的面积；②当m=﹣