概率与二项式定理

第十章排列、组合、概率与二项式定理考纲解读（一）内容解读1、分类和分布记数原理2、排列、组合的意义3、排列数公式和组合数公式4、组合数性质5、二项式定理与二项展开式的性质6、随机事件和随机事件概率的意义等可能事件概率的意义互斥事件有一个发生的概率的意义相互独立事件同时发生的概率的意义n次独立重复试验（二）能力解读1、掌握分类和分布记数原理及其简单应用；2、理解排列、组合的意义；3、掌握排列数公式和组合数公式4、掌握组合数性质5、掌握二项式定理与二项展开式的性质及其简单应用；6、了解随机事件和随机事件概率的意义7、了解等可能事件概率的意义；会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件概率；8、了解互斥事件有一个发生的概率的意义；会用互斥事件概率的加法公式求一些事件概率；9、了解相互独立事件同时发生的概率的意义；会用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求一些事件概率；10、了解n次独立重复试验的意义；会求事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。全章知识结构梳理图排列全章知识结构梳理图排列排列数公式组合排列、组合、概率和二项式定理二项式定理组合数性质通项公式 二项式系数性质随机事件及其概率等可能事件的概率两个基本原理互斥事件有一个发生的概率组合排列、组合、概率和二项式定理二项式定理组合数性质通项公式 二项式系数性质随机事件及其概率等可能事件的概率两个基本原理互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验两个基本原理组合数公式考点分布1、高考试题中的排列与组合问题很多情况下都是直接运用分类或分步记数原理来处理；2、二项式定理的内容主要侧重考查二项式定理本身和二项展开式的性质；3、概率部分的内容在近年高考的解答题中综合性比较强，一般都与离散型随机变量的分布列、期望和方差相结合，以生产问题或生活问题为载体来命题。4、 2008年第十章高考试题总览表题号与一分数试卷排列与组合二项式定理概率备注全国I卷［理］T15,4分［文］T16,4分［文］T10,5分［理］T18,12分；［文］T19,12分全国n卷［文］T12,5分［理］T13,4分［文］T13,4分［理］T18,12分［文］T19,12分北京卷［理］T3,5分［文］T4,5分［理］T10,4分［文］T10,4分［理］T18,13分［文］T18,13分天津卷［理］T5,5分［文］T6,4分［理］T11,4分［文］T11,4分［理］T18,12分［文］T18,12分上海卷［理］T9,4分［文］T10,4分广东卷［理］T13,5分［理］T16,12分重庆卷［理］T8,5分［文］T9,5分［理］T5,5分［文］T17,13分山东卷［理］T9,5分［文］T11,5分［理］T10,5分［文］T10,5分［理］T20,12分［文］T19,12分江西卷［文］T16,4分［理］T8,5分［文］T7,5分［文］T8,5分，T18,12分［理］T10,5分湖南卷［理］T6,5分［文］T6,5分［理］T11,5分［文］T3,5分［理］T17,12分［文］T17,12分湖北卷［理］T14,5分［文］T14,5分［理］T15,5分［文］T8,5分［理］T12,5分［文］T12,5分安徽卷［理］T13,4分［文］T13,4分［文］T18,12分高考备考复习建议1、本章内容在中学数学中，就其研究内容和研究对象来说都是相对独立的。在思想方法上体现着应用的观点；在复习中应该注意运用化归思想和分类讨论思想来分析问题，解决问题。2、在复习中应该注意把握这部分知识的逻辑关系：排列、组合知识是进一步学习概率内容的预备知识和重要基础；而概率、统计又是我们研究可能性数学的基础工具。3、排列与组合的意义、排列数公式和组合数公式的应用，以及二项式定理与二项展开式的性质等内容的考查，在高考试题中多以选择题和填空题的形式出现；而概率内容多以解答题的形式出现，有时也出现在选择题和填空题中。4、两个基本原理是重点，又是基础；高考试题中的排列与组合问题很多情况下都是直接运用分类或分步记数原理来处理的，我们复习时不能一味追求技巧和题目类型的归纳；更应该立足于两个基本原理，注重基本思想和基本方法的掌握。5、概率部分的内容在近年高考的解答题中，多与离散型随机变量的分布列、期望和方差相嫁接；主要考查考生的分析问题与解决问题的能力，综合性一般都比较强；复习时，建议在这方面多做一些以培养分析问题、解决问题的能力为目的的专门训练。第六十六讲：排列与组合必备知识1、分类记数原理和分步记数原理2、排列、组合的意义3、排列数公式和组合数公式4、组合数性质强化记忆1、运用两个原理解题时，首先必须根据问题的性质确定：是需要分类完成，还是需要分步完成；2、使用两个原理解题时，必须明确：若完成一件事有n类办法，则这n类办法中的每一种方法都能够独立完成这件事；若完成一件事需要分成n个步骤，则只有这n个步骤顺次都完成了，这件事才能够完成，但是这每个步骤中的每一种方法都不能够独立完成这件事。3、排列问题既与元素性质有关，又与元素的排列顺序有关；而组合只与元素性质有关，与元素的排列顺序无关；4、运用排列数公式和组合数公式计算时，往往容易忽略其中的字母取值范围，应该多Cm Am加注意；例如：L：与八：中必须明确：W,, £能力要求（一）掌握两个原理是关键例1、（04年安徽春考卷）在直角坐标——y平面上，平行直线x=n，（n=0，1,2,3,4,5），y=n，（n=0，1,2,3,4,5），组成的图形中，矩形共有（）A、25个 B、36个 C、100个 D、225个解析：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形,所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有C2•C2=15x15=225个， 故选D。66例2、（02年全国卷）如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息,信息可以沿不同的路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是（ ）A、26 B、24 C、20 D、19

6 7⑤6 12⑤8 ⑤解析：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法：第一类：12—5—3第二类：12—►6—4第三类：12一6一7第四类；：12—>8—>6可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19,故选D（二）排列问题例2、（06年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 种不同的方法.解析：9个球排成一列有A9种排法，再除去2红、3黄、4白的顺序即可，故共有排法A9A故共有排法A9A2A3A4=1260种。答案:1260234（二）组合问题例2、（06年福建卷［理］）从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有（ ）A、108种 B、186种 C.216种 D、270种解析：没有女生的选法有C3,至少有1名女生的选法有C3-C3=31种，4 74所以选派方案总共有：31XA3=186种。 故选B.（三）排列与组合的综合问题例3、五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头,并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头,并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前,并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻,但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有A;种，再排其它4个位

置有A4种，所以共有：AiXA4=24种(2)甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：AlXAlXA3种(3)首先排两端有A2种，再排中间有A2种，所以甲、乙必须在两端排法种数为：A2XA2=12种TOC\o"1-5"\h\z(4)甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A5—A4+A3 种(5)因为两端位置符合条件的排法有A2种，中间位置符合条件的排法有A；种，所以甲、乙不在两端排法种数为A2XA； 种(6)因为甲、乙共有2!种顺序，所以甲在乙前排法种数为：A5:!种(7)因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：A5:! 种(8)把甲、乙看成一个人来排有A4种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为A4xA2 种(9)首先排甲、乙、丙外的两个有A2,从而产生个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这个空中的两个有A2,而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为A2xA2xA2种(10)因为甲、乙、丙相邻有A3XA3,所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为A5—A3XA3=84种四、必备练习1、(06年山东卷［理］)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A、33 B、34 C、35 D、362、(0年2、(0年6北京卷［理］)在之和为奇数的共有(A个 、个这,五4个,数5字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字8个、6个TOC\o"1-5"\h\z3、（0年6湖南卷）某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）A种 、种 、种 、 0中4、（0年6湖南卷［文］在）数字1,2与,符3号“十、一”共五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）5、（0年6湖北卷［文］）某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行那,么安排这6项工程的不同排法种数是 6年全国n卷安排位工作人员在月日至月日值班每人值班一天其中甲、乙二人都不安排在5月1日和5月2日.不同的安排方法共有 种_.__7、（2003年河南卷）将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法有多少种.8、如图,在某城市中,A、B两地有整齐的矩形道路网求：⑴从A地到B地共有多少种最近的走法；⑵从A经过C到B地共有多少种不同最近的走法。9、 年全国I卷过三棱拄任意两个顶点的直线共 条，其中异面直线有多少对?10、一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法？⑵从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，则有多少种不同的着色方法？

第六十七讲：二项式定理一、必备知识1、二项式定理；2、二项展开式的通项；3、二项式系数的性质；4、从“一般”到“特殊”的化归思想。C1anC1an-1b+C2an-2b2+…+Cb”,neN*1、二项式定理：（a+b）n=C0an+n这个定理从左到右的使用是展开；从右到左的使用常常用来化简、证明和求和；这种逆向使用常常作为命题的思路，因此不能忽视。2、涉及展开式的“系数和”问题，常常利用“赋值法”来对下面式子：（a+bx）n=a+ax+ax+…+axn两端的x赋予相同的值来求和，但是在赋值时要观察01 2 n“问题的特征”和“式子的特征”，从而来分析、确定给x赋予适当的值；3、二项式系数的性质：（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即：C0=Cn,C1=Cn一1,......Ck=Cn-knnn nnn（2）若二项式的幂指数n是偶数，则中间一项T 的二项式系数最大；若二项式的幂指数口+12n是奇数，则中间两项T,T,的二项式系数相等且最大。n+1n+3224、两个常用公式：（1）C0+C1+C2+•••+Cn=2n,neN*nnn⑵C1+C3+…=C0+C2+.•.=2n-1,neN*nn nn三、能力要求类型一：二项式定理例1、(06年浙江卷)若多项式x”0=a+a(x+1)+…+a(x+1)9+a(x+1)100 1 9 10则a=()9

A、9BA、9B、10C、－9D、－10解析：根据左边X10的系数为1,易知a=1,左边X9的系数为0,右边x9的系数为10故选DoTOC\o"1-5"\h\za+aC9=a+10=o...a=-109 10 10 9 , 9故选Do类型二：二项展开式的通项的应用* 勺例2、（山东卷［理］）已知（x2--L）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为-0,其中<x 14i2=-1,则展开式中常数项是（）－45i45i－－45i45i－45D、45解析：第三项，第五项的系数分别为C2（-i）2,C4（-i）4nnTOC\o"1-5"\h\zC2(-i)2 3依据题意有： J——= 依据题意有：C4(-i)4 14整理得n2一5n-50=0即解方程(n—10)(n+5)=0则只有n=10适合题意由T=Cx20-2r-x-r-(-i)r,n+1 10r当20-2r--=0时,有r=8,故常数项为C8(-i)8=C2=45故选D10 10类型三：二项展开式的系数性质例3、（04年天津卷）若（1-2x）2004=a+aX+aX2+ + aX例3、（04年天津卷）若（1-2x）20040 1 2 2004 0 1+(a+a)+ +(a+a0 2 0 2004解析：对于式子：(1-2X)2004=a+aX+aX2+ +aX2004,XGR,0 1 2 2004令乂=0,便得到：a=10令x=1,得至Ua+a+a+ +a=10 1 2 2004又原式：(a+a)+(a+a)+ + (a+a)\o"CurrentDocument"0 1 0 2 0 2004

\o"CurrentDocument"=2004a+(a+a+ +a)=2003a+(a+a+a+ +a)0 1 2 2004 0 0 1 2 2004.・・原式：(a+a)+(a+a)+ + (a+a)=20040 1 0 2 0 2004注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系。四、必备练习―1101、(06年江苏卷)(JX——)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()3%TOC\o"1-5"\h\zA、0 B、2 C、4 D、62、在(％+2)10(12-1)的展开式中,％10的系数是()A、179 B、163 C、236 D、1803、(06年重庆卷［理］)若(3<1-1)几的展开式中各项系数之和为64,则展开式中x常数项为()\o"CurrentDocument"A、一540 B、一162 C、162 D、5404、(06年全国11卷)在(x+L)10的展开式中常数项是x5、135、年安徽卷理设常数a>0,(ax2+—)4展开式中x3的系数为则Xx 2lim(a+a2+ +an)=X.—2、年北京卷在(、1-—)7的展开式中X3的系数是X年湖南卷理)(ax-1)5的展开式中x3的系数是一 则实数的值是8、用二项式定理证明：34n+2+52n+1能够被14整除。9、求1.056的近似值,使结果精确到0.01

10、（0310、（03年上海）已知数列｛a｝,£*n是首项为ai公比为的等比数列求和aC0_aCi+aC212 22 32aC0-aC1+aC2-aC3；13 23 33 43三、能力要求（二）排列、组合的综合应用类型一：化归思想的运用例1、 已知直线ax+by+c=0中的系数a, b, c是从集合｛-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3｝中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解析：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a,b,c”的情况讨论。设直线的倾斜角为a，并且a为锐角。b则tana——＞不妨设＞那么＜当W时则有种取法有种取法有种取法并且其中任意两条直线不重合所以这样的直线有XX4=36条当时有种取法有种取法其中直线 重合所以这样的直线有X=7条故符合条件的直线有7+=3463条类型二：分类讨论思想的运用例2、如图A,B,C,D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）舟B。解析：v舟B。解析：A、8种B、12种C、16种D、20种二二二C第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C4=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：一B—C—D,D—C—B—A,这样的两个排列对A4应一种建桥方法，因此有丁=12种方法；根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法类型三：方程思想的运用例2、某学习小组有男女同学共8名，从男同学中选2人，从女同学中选1人参加数学、物理、化学竞赛，要求每一科都有一人参加，共有180种不同的方法，请问学习小组中男女同学各有多少？解析：把男同学人数设为X,再根据排列、组合知识建立方程来求解。依据题意知道：女同学人数为8-X，则有：C2-C1•A3=180x 8-x 3化简得到（x-5）（x2-4x-12）=0,解得：xi=5,x2=6,x3=-2（舍去）所以,男同学5人,女同学3人；或男同学6人,女同学2人类型四：隔板法的运用例4、7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子,则每个盒子都不空的放法有多少种？解析：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。于是,我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空,我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板,则这3块隔板就把7个小球分成4部分,而且每一部分至少有1个球。即有C3=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。注；（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决,则显得很麻烦；大家可以试一试。（2）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况,否则不能使用。类型五：捆绑法与插位法的运用例5、现有A],A2，A3,……A8共8个元素，分别计算下列条件的排列数：（1）八个元素排成一排，并且Ai，A2,A3,A4这四个元素必须排在一起；（2）八个元素排成一排，并且A1，A2,A3,A4这四个元素要求互不相邻；（3）八个元素排成一排，A1，A2,A3,A4这四个元素要求互不相邻，并且A5,A6,A7,A8这四个元素也要求互不相邻。解析：（1）因为A1，A2,A3,A4这四个元素必须排在一起，于是把A1，A2,A3,A4这四个元素看成一个大元素（捆绑法），再与A5,A6,A7,A8这四个元素一起共5个元素进行排列有A5种排法。又A1，A2,A3,A4这四个元素排在一起有A4种排法，根据分步计数原理知道，满

足条件的排列数为A5A4=2880种。54(2)(插位法)首先把A5,A6，A7,A8这四个元素进行排列有A4种排法，然后将A1,A2，A3,A4这四个元素插入A5,A6,A7,A8这四个元素两两之间，以及两端共5个位置中的4个位置，从中选4个位置安排A1,A2，A3,A4有A4种排法，根据分步计数原理知道共有A4A4=2880种45(3)先把A5，A6,A7,A8这四个元素进行排列有A4种排法，然后将A1,A2，A3,A4这四个元素插入A5，A6,A7,A8这四个元素两两之间，以及两端共5个位置中的4个位置，有2A4，根据分步计数原理知道共有2A44A44=1152种(二)二项式定理的综合应用2、例6、已知二项式Qx--)n,(£*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的X2比是10：1，(1)求展开式中各项的系数和(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解析：(1)・.•第5项的系数与第3项的系数的比是10：1,C4•(-2)4 10，Kn = ，解得n=8C2•(-2)2 1nCr.2r,Cr.2r,Cr+1.2r+188(2)展开式中第r项，第r+1项涕r+2项的系数绝对值分别为Cr-1•2n-r8若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足：Cr-1Cr-1.22r并且Cr+1・2r+1wCr•2r，解得5WrW6；n-r。r・888 811所以系数最大的项为T7=179•六；二项式系数最大的项为T5=1120--6(三)概率的综合应用解决概率的综合应用题,首先要正确理解题意,要从不同的背景材料中弄清问题的条件,及事件之间的关系,并且能够灵活运用适当的条件公式和有关定理来分析问题,解决问题；有时还可以采取“逆向思维”的方法，利用公式：P(A)=1-P(A)来处理正面解决比较困

难的问题。例7、(06年山东卷)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合1后，出现红灯和出现绿灯的概率都是5,从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是3，出现绿灯的概率是3；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是3，出现绿灯的概率是2；问：(1)第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？(2)从开关第一次闭合到第三次闭合,出现一次红灯,两次绿灯的概率是多少？解析：(1)”第二次闭合后，出现红灯”是下面两个事件的和：A：红，红；B：绿，红；并且A与B互斥。所以P(A+B)=P(A)+P(B)=—X—+—X—=—乙J乙JJLJ(2)“从开关第一次闭合到第三次闭合,出现一次红灯,两次绿灯”是下面三个互斥事件的和：A：红，绿，绿；B：绿，红，绿；C：绿，绿，红。P(A)=-X2X2=—()2 3 515P(B)=-X2X3=-()2355P(C)=-X2X3=—()2552521334P(A+B+C)=15+5+25=75例8、(06年广东卷)玻璃球盒中装有各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,求从中取1球：或红或黑或白的概率。解析：方法1：从12个球中任意取1球,得红有5种取法,得黑有4种取法,得白有2种取法。所以取1球：或红或黑或白的概率为5取法。所以取1球：或红或黑或白的概率为5+4+2121112方法2：(间接方法)事件A：“取1球：或红或黑或白”与事件B：“取1球是绿球”易见：事件A与事件B是对立事件，又P(B)=-1，所以P(A)=—P(B)=—5=]JL乙 JL乙JL乙1例9、(06年吉林卷)甲、乙两个排球队进行比赛，采取5局3胜制，若甲队获胜的概率是32乙队获胜的概率是3，求以下事件的概率：(1)甲队以3：0获胜；(2)甲队以3：1获胜；11解析：（1）甲队以3：0获胜P1=（3）3=27（2）甲队以3：（2）甲队以3：1获胜，则甲胜前3局中的2局,且第四局胜,其概率P2212X—X—33227四、必备练习1、（0年6江西卷）袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个、白色球8个、黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为C1C2C3C4、 C1C2C3C4、 4——8^~12 16C1040C2C3C1C4-4~六12——16C1040—1、 4 8^―12 16-C1040C1C3C4C2、——4——8^—12 16C1040年湖北卷在(JX+—)24的展开式中的幂的指数是整数的项共有Vx3项 、4项B、5项C、6项D（0年6湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的种数是 （0年6湖北卷）接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.8现0有,5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为 5、（0年2上海卷）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任意取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 6、 年全国n卷、是治疗同一疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个实验组由只小白鼠组成，其中只服用另只服用然后观察疗效若在一个试验组中服用有效的小白鼠的只数比服用有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白21鼠服用有效的概率为可服用有效的概率为5⑴求一个试验组为甲类组的概率;⑵观察个试验组求这个试验组中至少有一个甲类组的概率

37 年天津卷理某射手进行射击训练假设每次射击击中目标的概率为5且各次射击的结果互不影响.⑴求射手在次射击中至少有两次连续击中目标的概率⑵求射手第次击中目标时恰好射击了次的概率8、（0年6湖南卷）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查.若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5整,改后安检合格的概率是0.8,计算：⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率⑵平均有多少家煤矿必须整改;⑶至少关闭一家煤矿的概率。2 139 年陕西卷甲乙丙人投篮投进的概率分别是彳y-现人各投篮次求：⑴人都投进的概率⑵3人中恰有2人投进的概率.10、（01年上海卷）对任意一个非零复数z,MZ={3I3=z2nT,nGN}设a是方程x+-=的一个根，试用列举法表示集合M，若在M中任意取两个数，X a a求其和为零的概率附：必备练习答案附：必备练习答案第十章排列、组合、概率与二项式定理第六十六讲：排列与组合

必备练习答案1、解：对于(5,1,1),(1,1,5),(1,5,1),分别重复2次,故有C1C1C1A3-3=33故选A.1233、解各位数字之和为奇数只能两偶一奇或三奇若两偶一奇有C1-A3=18种三奇有33A3=6种,共24种 故选有C有C2C2A2=364323解①分配方案为故共有2＋436=种6有,13解①分配方案为故共有2＋436=种6故选D、解由题意知：数字与符号均不相邻有A3.A2=12种 故选325、解:考查有条件限制的排列问题,其中要求部分元素间的相对顺序确定:依据题意由于丁必须在丙完成后立即进行,故可把两个视为一个大元素,先不管其它限制条件,使其与其它四个进行排列共有A55种排法在所有的这些排法中甲、乙、丙相对顺序固定共有A3种故满足A5条件的排法种数共有-^=20 答案A33、解•・•甲、乙二人从，，，，日中选天有A52种排法剩余人在天内全排列有A5种排法5・•・共有A52xA5 种排法 答案7、解析：若三块试验田种同一种作物共有CiA2=6种种植方法；若一块种一种作物而剩32余的四块每两块种同一种作物共有3X2X3X2=36种种植方法；根据分类计数原理共有6+36=42种种植方法。8、解析：⑴一种最近走法与“东东东东，北北北北”的一种排列一一对应.・•・共有C4=70种不同的最近走法.8⑵从A经过C到B地共有C3Ci=30种不同的最近走法.539、解析：由三棱拄的顶点为顶点的四面体共有C4-3个，每个四面体可确定三对异面直线，6满足条件的异面直线共有(C4-3)x3=36对6

10、解析：⑴6个小扇形分别着上6种不同