线性空间的概念维数基与坐标

第6章线性空间与线性变换

线性空间是线性代数最基本的概念之一,它

线性空间是为了解决实际问题而引入的,它一、线性空间的定义是向量空间概念的推广．是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解决实际问题．§1线性空间的概念个元素与之对应,称为与的和,记作记作若对于任一数与任一元素,总有唯一的一个元素与之对应,称为数

与的积,定义1

设是一个非空集合,为一数域，如果对于任意两个元素,总有唯一的一如果上述两种运算满足以下八条运算规律

(

设)：,)4(使的负元素都有对任何,,)3(都有对任何中存在零元素在V那么,就称为数域上的线性空间(或向量空间),中的元素称为向量(或元).

2.向量空间中的向量不一定是有序数组．

3.一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封说明

1.

能满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算．闭,或者运算不满足以上八条规律中的任一条,则此集合就不能构成线性空间.

(1)

一个集合,如果定义的加法和数乘运算例１实数域上的全体矩阵,对矩阵记作．线性空间的判定方法是通常的实数间的加乘运算,

则只需检验对运算的封闭性．的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,种运算满足线性运算规律．且向量空间.对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成的多项式的全体,即

次数不超过n例2证通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两所以空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法

n

次多项式的全体例3间.这是因为对.][对运算不封闭xQn所以例４

对数函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．因为则是一个线性空间.所以在区间上全体实连续函数,对函数的一般地,有以下结论加法与数和函数的数量乘法,

构成实数域上的线性空间．事实上,任意两个实连续函数的和仍然为实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连续函数．例

5

正实数的全体,记作,在其中定义加法验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．

(2)

一个集合,如果定义的加法和数乘运算证明先证运算的封闭性不是通常的实数间的加乘运算,

则必需检验是否满足八条线性运算规律．及数乘运算为下面一一验证八条线性运算规律：有对任何中存在零元素,,1)3(++ÎRaR使有负元素,,)4(1+-+ÎÎ"RaRa所以对定义的加法与数乘运算封闭．所以对所定义的运算构成线性空间．不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例６个有序实数组成的数组的全体线性空间.,

不是所以线性运算由于所定义的运算不是Sn定理1线性空间有唯一一个零元,任意元证明假设是线性空间V中的两个零由于所以元素,则对任何有,二、线性空间的性质有唯一一个负元．假设有两个负元素与,那么则有向量的负元素记为所以零元是唯一的.所以负元也是唯一的.根据零元和负元的唯一性,可得：又⑴⑵如果

,则

或

.假设那么又同理可得：若则有三、线性空间的子空间定义2

设是一个线性空间,是的一个空间．非空子集,如果对于中所定义的加法和乘数线性空间中的零元构成一子空间,称为零空间.V自身是V的子空间.我们称这两个子空间为V的平凡子空间.运算也构成一个线性空间,则称U是V

的一个子充分必要条件是：定理2线性空间V

的非空子集U构成子空间的⑴如果则⑵如果则[证略]由定义易知,假如U是V的子空间,则U的零元于是有也是V的零元,U中元的负元也是V中元的负元,例7证明：对矩阵加法及数乘运算构成M2的一个子空间．证明：因为又设则有（为实数）．所以是的一个子空间．一、线性空间的基与维数

已知：在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向量都是线性相关的．间中，最多能有多少线性无关的向量？

问题：线性空间的一个重要特征——在线性空§2维数、基与坐标满足：定义2.1

在线性空间中,如果存在个元素;,,,

)1(21线性无关naaaL,表示,,,

2)(21线性总可由中任一元素nVaaaaL.,维数的称为线性空间基Vn

,,,

,21的一个就称为线性空间那末VnaaaL.,nVnn记作维线性空间的线性空间称为维数为我们知道，一个向量空间可由它的一个基所生成．同样的，一个线性空间可由它的一个基向量组生成．这就显示出线性空间的构造．都有一组有序数使并且这组数是唯一的．因为如果还有则有但是线性无关，所以即对于一个已选定的基来说,系数由

唯一确定.反之，任给一组有序数总有唯一的元素这样，的元素与有序数组之间存在着一种一一对应的关系，因此，可以用这组有序数来表示元素二、元素在给定基下的坐标使组有序数,,,,21nxxxL总有且仅有一于任一元素,个基,如果对nVÎa定义2的一是线性空间设,,,21nnVLaaa并记作这个基下的坐标,,nLa,,,,,2121nxxxLaaa在称为元素那么有序数组,,1,取][

2中在线性空间xxP==例1.它是的一个基,2x=2次的任一不超过多项式可表示为若另取一个基设

在这个基下的坐标为因此

从而有在这个基下的坐标为因此).

,

,(2110aaaa-应的坐标是唯一的．线性空间V的任一元素在不同的基下注意：所对的坐标一般不同,但是一个元素在一个基下对例2

所有二阶实矩阵组成的集合，对于线性空间．对于中的矩阵矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个,0

3321====Ûkkkk而矩阵A在这组基下的坐标是：三、线性空间的同构和则有和之间就有一个一一对应的关系，且这个对应关系具有下述性质：也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应.因此,我们可以说Vn与Rn有相同的结构，我们称Vn与Rn同构.系保持线性组合的对应，那末就称线性空间与定义3设是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关同构.⑶．同维数的线性空间必同构．⑵．同构的线性空间之间具有反身性、对称由定义可知：⑴．数域上任意两个维线性空间都同构;性与传递性;同构的意义同构的概念除元