中考数学几何图形变换专练

中考数学几何图形变换专练

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一、解答题

1.如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,连

接BF,点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H,连接CM.

(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段CD上，

如图2,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说明理由；

(3)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90。，此时点E、G恰好分别落在线

段AD、CD上，如图3,其他条件不变，(1)中的结论是否成立，请说明理由.

【答案】(1)CM=EM,CM1EM,理由见解析；(2)(1)中的结论成立，理由见解

析；(3)(1)中的结论成立，理由见解析.

【解析】分析：(1)延长EM交AD于H,证明△FMEgZ\AMH,得到HM=EM,根据等腰直

角三角形的性质可得结论；

(2)根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中

线是斜边的一半证明即可；

(3)根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证

明即可.

详解：(1)如图1,结论：CM=EM,CM±EM.

理由：VADZ^EF,AD〃BC,

；.BC〃EF,

ZEFM=ZHBM,

在AFME和△BMH中,

(^LEFM=Z.MBH

(FM=BM-

AAFME^ABMH,

AHM=EM,EF=BH,

VCD=BC,

・・・CE=CH,VZHCE=90°,HM=EM,

ACM=ME,CM±EM.

(2)如图2,连接AE,

图2

,/四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，

AZFDE=45°,NCBD=45。,

・••点B、E、D在同一条直线上，

VZBCF=90°,ZBEF=90°,M为AF的中点,

・・・CM』AF,EM」AF,

22

・・・CM=ME,

VZEFD=45°,

AZEFC=135°,

VCM=FM=ME,

AZMCF=ZMFC,ZMFE=ZMEF,

.,.ZMCF+ZMEF=135°,

/.ZCME=360°-135°-135°=90°,

ACM!ME.

(3)如图3,连接CF,MG,作MN_LCD于N,

H

图3

在AEDM和△GDM中,

DE=DG

Z.MDE=Z.MDG，

DM=DM

.,.△EDM^AGDM,

•'•ME=MG,ZMED=ZMGD,

TM为BF的中点,FG〃MN〃BC,

AGN=NC,又MNJ_CD,

AMC=MG,

AMD=ME,NMCG=NMGC,

VZMGC+ZMGD=180°,

AZMCG+ZMED=180°,

.\ZCME+ZCDE=180°,

VZCDE=90°,

：.ZCME=90°,

A(1)中的结论成立.

点晴：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形

的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

2.在RM4BC中，N4cB=90。，AB=y[7,AC=2,过点B作直线m〃AC,将zMBC绕

点C顺时针得到A4'夕C(点4B的对应点分别为A,e)，射线C4,C夕分别交直线M于

点P,Q.

(1)如图1,当P与4'重合时，求乙4C4的度数;

(2)如图2,设AB'与BC的交点为M,当M为4夕的中点时，求线段PQ的长；

(3)在旋转过程时，当点P,Q分别在C4',CB'的延长线上时，试探究四边形PAB'Q的

面积是否存在最小值.若存在，求出四边形P4'9Q的最小面积；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)60°；(2)f(3)SPAlBlQ=3-V3

【解析】分析：(1)由旋转可得：AC=A,C=2,进而得至UBC=W,依据NABC=90。，可

得cos/ACB=^=立，即可得到/A'CB=3O。，ZACA'=60°；

ArC2

(2)根据M为AB的中点，即可得出NA=/A'CM,进而得到PB=yBC=y,依据

tanZQ=tanZA=—,即可得至ljBQ=BCxg=2,进而得出PQ=PB+BQ=?；

2v32

(3)依据S四边形PABQ=S^PCQ-SAACB'二SAPCQ-73,即可得到S四边形PA'B'Q最‘卜，艮I」SAPCQ最＜］、，

而SAPCQ=：PQXBC=^PQ,得到SAPCQ的最小值=3，S四边形PA'B'Q=3-b.

详解：(1)由旋转可得：AC=AC=2,

VZACB=90°,AB=V7,AC=2,

・・・BC=V3,

VZACB=90°,m〃AC,

・・・ZA'BC=90°,

AcosZA*CB=—=—,

AfC2

AZA*CB=30o,

・・・ZACA'=60°；

(2)・「M为AB的中点，

・・・NACM二NMAC

由旋转可得，NMAONA,

AZA=ZA,CM,

tanZPCB=tanZA=—,

2

2

，BQ=BCx萨，

7

・・・PQ=PB+BQ、；

(3)S四边形PA'BfQ=SAPCQ-SAA,CB-SAPCQ-V3,

:.S四边形PABQ最小,即SAPCQ最小，

，SAPCQ《PQXBC邛PQ,

取PQ的中点G,则NPCQ=90。，

.".CG=|PQ,即PQ=2CG,

当CG最小时，PQ最小，

，CG_LPQ,即CG与CB重合时，CG最小，

,,CGmin=V5>PQmin=2V^,

SAPCQ的最小值=3,S四边畛PA'B'Q~3-V3.

点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形

的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等：对应点

与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

3.如图，AABC和AAJ9E是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=N£>AE=90。，点尸

为射线8。，CE的交点.

(1)求证：BD=CE；

(2)若A3=2,AD=1,把AAOE绕点A旋转，当NE4C=90。时，求尸8的长；

【答案】(1)证明见解析；(2)的长为等或雷.

【解析】试题分析：(1)依据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,依据同角的余

角相等得到ND4B=/C4E,然后依据SAS可证明△ADBg/XAEC,最后，依据全等三

角形的性质可得到BD=CE；

(2)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明

△PEBsAAEC,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.

试题解析：解：(1):△ABC和是等腰直角三角形，

ZBAC=ZDAE=90°,：.AB=AC,AD=AE,NDAB=NCAE,△AO8也△AEC,：.BD=

CE.

(2)解：①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1.

,/ZEAC=90°,：.CE=y/AE2+AC2=V5.

同(1)可证△AOBg/XAEC,AZDBA^ZECA.

■:NPEB=/AEC,.♦.△PEBszMEC,：.—=^=,：.PB=—.

ACCE2V55

②当点E在BA延长线上时，BE=3.

：NE4c=90。，CE=yjAE2+AC2=V5.

同（1）可证△AOB丝/XAEC,AZDBA=ZECA.

•：4BEP=4CEA,.•.△PEBs/XAEC,：.—=^=,：.PB=—.

ACCE2V55

综上所述，P8的长为野或空.

点睛：本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、

相似三角形的性质和判定，证明得△PEBs/viEC是解题的关键.

4.综合与实践：

如图1,已知△ABC为等边三角形，点D,E分别在边AB、AC±,AD=AE,连接

DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

（1）观察猜想：在图1中，线段PM与PN的数量关系是,ZMPN的度数

是!

（2）探究证明：把4ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,

①判断的形状，并说明理由；

②求NMPN的度数；

(3)拓展延伸：若△ABC为直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC=10,点DE分别在边

AB,AC上,AD=AE=4,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.把4ADE

绕点A在平面内自由旋转，如图3,请直接写出△PMN面积的最大值.

【答案】(1)PM=PN；120°；(2)®APMN是等腰三角形，理由见解析；

②120。；(3)y；

【解析】

【分析】

⑴根据三角形中位线的性质可证明PN〃BD,PM〃EC,PN=^BD,PM=|CE,由

AD=AE即可证明PM=PN,根据平行线性质及外角性质可证明

ZMPN=ZB+ZACB=120°；(2)①连接BD、CE,可证明^BAD丝ZXCAE,可知

BD=CE,ZABD=ZACE,根据三角形中位线可知

PN〃BD,PM〃EC,PN=|BD,PM=|CE,可知PN=PM即可判断APMN是等腰三角

形.②由平行线的性质可知/PNC=NDBC,NDPM=NA=ECD,进而可求出

ZMPN=120°,(3)由旋转知，ZBAD=ZCAE,可证明AABD会4ACE(SAS),可

知ZABD=ZACE,BD=CE,通过(2)的方法可证

PM=PN,ZDPM=ZDCE,ZPNC=ZDBC

根据外角性质可证明NMPN=NABC+NACB,进而可知APMN是等腰直角三角形，求

△PMN面积的最大值即可.

【详解】

(1)如图1中，

；AB=AC=BC,AD=AE,

；.BD=CE,ZB=ZACB=60°,

•.•点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点，

；.PN〃BD,PM〃EC,PN=1BD,PM=*E,

22

APN=PM,ZPNC=ZB,ZDPM=ZACD,

・・・NMPN=NMPD+NDPN=NACD+NPNC+NDCB=NACD+NDCB+NB=NACB+NB

=120°,

图1

故答案为PM=PN,120°.

(2)如图2中，连接BD、EC.

图2

®VZBAC=ZDAE=60°,

，NBAD=/CAE,

VBA=CA,DA=EA,

.二△BAD丝ZXCAE,

；.BD=CE,ZABD=ZACE,

•.•点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点，

；.PN〃BD,PM〃EC,PN=-BD,PM=*E,

22

・•・PN=PM,

•••△PMN是等腰三角形.

②・・・PN〃BD,PM//EC

AZPNC=ZDBC,ZDPM=ZA=ECD,

.\ZMPN=ZMPD+ZDPN=ZECD+ZPNC+ZDCB=ZECD+ZDCB+ZDBC=ZACE+

ACD+ZDCB+ZDBC=ZABD+ZACB+ZDBC=ZACB+ZABC=120°.

(3)如图3中,

E

D

BC

图3

由旋转知，NBAD=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE(SAS),

/.ZABD=ZACE,BD=CE,

同(2)的方法，利用三角形的中位线得，PN=|BD,PM=|CE,

・,.PM=PN,

同(2)的方法得，PM/7CE,

AZDPM=ZDCE,

同(2)的方法得，PN//BD,

AZPNC=ZDBC

NDPN=NDCB+NPNC=NDCB+NDBC,

.*.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

ZBAC=90°,

AZACB+ZABC=90°,

/.ZMPN=90°,

・・・APMN是等腰直角三角形，

VPM=PN=iBD,

2

・・・BD最大时，PM最大，APMN面积最大，

・••点D在BA的延长线上，

ABD=AB+AD=14,

APM=7,

••SAPMN最大=；PM2=1X72二号.

【点睛】

本题考查旋转的性质，三角形中位线性质、全等三角形的判定，三角形的中位线平行于

底边且等于底边的一半，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

5.已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A

点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N.

（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1）,求证：BM+DN=MN；

（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2）,线段BM、DN、MN之

间又有怎样的数量关系，请直接写出结论;（不用证明）

（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3）,线段BM、DN、MN之

间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程.

【答案】(1)证明见解析；(2)BM-DN=MN；(3)DN-BM=MN；证明见解析；

【解析】

【分析】

(1)延长CB至UG使BG=DN,由AB=AD,GB=DN,ZAGB=ZADN=90°,可证明

△AGB^AAND,进而可知AG=AN,ZGAB=ZDAN,由NMAN=45。，BAD=90°

可知NGAM=45°,进而证明AAMN丝Z\AMG,根据MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得

答案.(2)BM-DN=MN；(3)在ND上截取DG=BM,可证明AADGgZXABM,进

而可知AG=AM,ZMAB=ZDAG,根据NMAN=45。，/BAD=90。，可证明AAMG为

等腰直角三角形，可知AN为MG的垂直平分线，进而可知NM=NG,即可证明

DN-BM=MN.

【详解】

(1)延长CB到G使BG=DN,

VAB=AD,GB=DN,/AGB=/ADN=90。，

.,•△AGB^AAND,

；.AG=AN,ZGAB=ZDAN,

VZMAN=45°,ZBAD=90°,

ZGAM=ZGAB+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°,

.\ZGAM=ZNAM,而AM是公共边，

.".△AMN^AAMG,

，MN=GM=BM+GB=MB+DN；

(2)BM-DN=MN；

(3)DN-BM=MN.如图3,

在ND上截取DG=BM,

：AD=AB,ZABM=ZADN=90°,

.♦.△ADG丝△ABM,

；.AG=AM,ZMAB=ZDAG,

VZMAN=45°,ZBAD=90°,

.,.ZMAG=90°,AAMG为等腰直角三角形,

，AN垂直MG,

；.AN为MG垂直平分线，

所以NM=NG.

ADN-BM=MN.

本题考查图形的旋转变换，全等三角形的判定和正方形的性质.把图形的变换放在正方

形中，利用正方形的性质去探究图形变换的规律是解题关键.

6.已知：在等边△被中，止2b，D,£1分别是四，比的中点(如图1).若将△应

绕点8逆时针旋转，得到△初E,设旋转角为a(0°<a<180°),记射线纸与加

的交点为P.

(1)判断△飒1的形状；

(2)在图2中补全图形,

①猜想在旋转过程中，线段笳与期的数量关系并证明；

②求的度数；

(3)点夕到也所在直线的距离的最大值为.(直接填写结果)

图2备用

【答案】(1)等边三角形；

(2)①见解析;②见解析.

【解析】

【分析】

(1)由D、E分别是AB、BC的中点得到=BD=^BA,加上44BC为等边三

角形，则48=60。，BA=BC,所以BO=BE,于是可判断/8DE为等边三角形；

(2)①根据旋转的性质得ZBD1E1为等边三角形，则BZ)i=BEi，=60°,而

44BC=60°,所以NDiBA=NEiBC,则可证明△45Q空△C8©,所以CE|=4Di；

②由A/BZ)若ACBfi，可得到即可得到NZPC=N/3C；

(3)由于乙4PC=乙D[BE[=60°,则可判断点P、D]、B、E|共圆，于是可判断当BP1BC

时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E在AB上，然后利用含30度的直角

三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值.

【详解】

解：

(1)等边三角形.

(2)补全图形如右图.

(1X：E\=AD\.

；A/BC和为等边三角形，

：.BC=BA,BE厂BDi，N/8C=NO/&=60°.

AABC-AABEy=NDiBE「NABEi.

即/山C.

MBD连ACBEi.

•CE\=AD\.

②：AABDI包CBEi，

ZDiAB=ZEiCB.

又•:NDiAB+NAPC=NABC+NEiCB,

ZAPC=ZABC=60°.

(3)2.

【点睛】

本题主要考查作图和旋转变化，熟悉图形的几何关系时解题的关键.

7.已知R3OAB,ZOAB=90°,NABO=30。，斜边OB=4,将RtAOAB绕点O顺时

针旋转6()。，如题图1,连接BC.

(1)填空：NOBC=°；

(2)如图1,连接AC,作OP_LAC,垂足为P,求OP的长度；

(3)如图2,点M,N同时从点O出发，在AOCB边上运动，M沿O—C—B路径匀

速运动，N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度

为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，AOMN的面积为y,

求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

3C5CBC

O

备用图

【答案】(1)60；(2)等；(3)等

【解析】【分析】(1)只要证明aOBC是等边三角形即可；

(2)求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0<x4时，M在OC上运动，N在OB

上运动，此时过点N作NELOC且交OC于点E.②当|<x-时，M在BC上运动，N

在OB上运动.

③当4<x*.8时，M、N都在BC上运动，作OGJ_BC于G.

【详解】(1)由旋转性质可知:OB=OC,ZBOC=60°,

...△OBC是等边三角形，

.•.ZOBC=60°,

故答案为：60；

(2)VOB=4,ZABO=30°,

.".0A=k)B=2,AB=V3OA=25/3,

SAAOC=|,OAeAB=1x2x2-\/3=2-\/3,

VABOC是等边三角形，

；./OBC=60。，ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

AC=V4B2+BC2=2V7,

•op=2S"OB_W3_2后

,・~AC~2\[7.7，

⑶①当OVxg时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NELOC且交

OC于点E,如图，

则NE=ON«sin60°=yx,

SAOMN=?OM・NE=1X1,5xx-yx,

362

/.y=——X

.•・x=g时，y有最大值，最大值=竽;

②当g<xW4时，M在BC上运动，N在OB上运动,

如图，作MH1.OB于H.则BM=8-1.5x,MH=BM«sin60o=y(8-1.5x),

2

.•.y=lxONxMH=-2^X+2A/3X,

当x=|时，y取最大值，y＜竽;

③当4<xWk8时，M、N都在BC上运动，作OG_LBC于G,如图,

BNGM

图4

MN=12-2.5x,OG=AB=2V3,

.,.y=|«MN.OG=12V3-芋x,

当x=4时，y有最大值，最大值=2B，

综上所述，y有最大值，最大值为竽.

【点睛】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30度的直角三角形的

性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，

分类讨论的思想思考问题是解题的关键.

8.如图，已知AABC和AADE都是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90°,点F为BE

的中点，连接CF,DF.

①证明：ABFC是等腰三角形；

②请判断线段CF,DF的关系？并说明理由；

（2）如图2,将图1中的AADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是

否仍然成立？并证明你的判断.

【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CFLDF.理由见解析；（2）（1）中

的结论仍然成立.理由见解析.

【解析】分析：（1）、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF,

根据NCFD=2/ABC,ZACB=90°,NABC=45。得出NCFD=90°,从而得出答案；（2）、

延长DF至G使FG=DF,连接BG,CG,DC,首先证明4BFG和4EFD全等，然后再

证明4BCG和4ACD全等，从而得出GC=DC,NBCG=/ACD,NDCG=NACB=90。,

最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案.

详解：（1）①证明：；/BCE=90。.EF=FB,；.CF=BF=EH,Z\BFC是等腰三角形.

②解：结论：CF=DF且CF_LDF.理由如下：

1

VZADE=90°,/BDE=90。，又：/BCE=90。，点F是BE的中点，；.CF=DF=2

BE=BF,

.\Z1=Z3,Z2=Z4,.,.Z5=Z1+Z3=2Z1,Z6=Z2+Z4=2Z2,

...NCFD=N5+/6=2(Z1+Z2)=2NABC,

又「△ABC是等腰直角三角形，且NACB=90。，AZABC=45°,AZCFD=90°,

；.CF=DF且CFJ_DF.

(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：

如图，延长DF至G使FG=DF,连接BG,CG,DC,：F是BE的中点，；.BF=EF,

又

VZBFG=ZEFD,GF=DF,.".△BFG^AEFD(SAS),AZFBG=ZFED,BG=ED

...BG〃DE,「△ADE和4ACB都是等腰直角三角形，

；.DE=DA,/DAE=/DEA=45。，AC=BC,ZCAB=ZCBA=45°,

又；NCBG=NEBG-NEBA-NABC=NDEF-(180°-ZAEB-ZEAB)-45°

=ZDEF-180°+ZAEB+ZEAB-45°=(ZDEF+ZAEB)+ZEAB-225°

=360°-ZDEA+ZEAB-225°=360°-45°+ZEAB-225°=90°+NEAB,

ff0ZDAC=ZDAE+ZEAB+ZCAB=45°+ZEAB+45o=90°+ZEAB,

：.NCBG=NDAC,又：BG=ED,DE=DA,；.BG=AD,又：BC=AC,

.".△BCG^AACD(SAS),；.GC=DC,ZBCG=ZACD,

ZDCG=ZDCB+ZBCG=ZDCB+ZACD=ZACB=90°,

.♦.△DCG是等腰直角三角形，又：尸是DG的中点，.•.CFl.DF且CF=DF.

点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用.要

掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键.

9.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90°,NEDF=30。

操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF

绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.

探究一：在旋转过程中，

(1)如图2,当口=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；

(2)如图3,当普=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；

(3)根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当詈=m时，EP与EQ满足的数量关

系式为,其中m的取值范围是.(直接写出结论，不必证明)

探究二：若母=2且AC=30cm,连接PQ,设4EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中：

(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理

由.

(2)随着S取不同的值，对应AEPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围.

【答案】探究一：(1)EP=EQ；证明见解析；(2)1:2,证明见解析；

(3)EP：EQ=1：m,，0<mW2+V^；探究二：(1)当x=10V^时，面积最小，是50cm2；

当x=10次时，面积最大，是75cm2.(2)50<S<62.5时，这样的三角形有2个；当S=50

或62.5<SW75时，这样的三角形有一个.

【解析】【分析】探究一：(1)连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点，根据等

腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,ZPBE=ZC,根据等角的余角相等可以证明

NBEP=NCEQ,即可得到全等三角形，从而证明结论；

(2)作EMJ_AB,EN_LBC于M、N,根据两个角对应相等证明AMEPsANWQ,发

现EP：EQ=EM：EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；

(3)根据(2)中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的

位置的限制进行分析；

探究二：（1）设EQ=x,结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得

面积的最值；

（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论.

【详解】探究一：（1）连接BE,

根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得

BE=CE,NPBE=/C,

又/BEP=NCEQ,

则ABEP也ACEQ,得EP=EQ；

（2）作EMJ_AB,ENJ_BC于M,N,

.\ZEMP=ZENC,

,/NMEP+NPEN=NPEN+/NEF=90°,

.".ZMEP=ZNEF,

.".△MEP^ANEQ,

AEP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）过E点作EM_LAB于点M,作ENJ_BC于点N,

•.,在四边形PEQB中，ZB=ZPEQ=90°,

.../EPB+NEQB=180。（四边形的内角和是360。），

又；/EPB+NMPE=180。（平角是180°）,

；./MPE=NEQN（等量代换），

.".RtAMEP^RtANEQ,

.EP_ME

**~EQ-'ENf

在RtAAME^RtAENC,

・CEEN

・・一=m=一，

EAME

・EEP__1_4E

EQmCE'

EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m,

A0<m<2+V6；（当m>2+乃时，EF与BC不会相交）.

探究二：若AC=30cm,

（1）设EQ=x,则S=[x\

所以当x=10/时,面积最小,是50cm2；

当x二10次时，面积最大，是75cm5

(2)当*=£8=5旧时，S=62.5cm+

故当50<SW62.5时，这样的三角形有2个；

当S=50或62.5VSW75时，这样的三角形有一个.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形

的性质和相似三角形的判定和性质进行求解是关键.

10.【问题背景】

如图①所示，在正方形ABCD的内部，作NDAE=NABF=NBCG=NCDH,根据三角

形全等的条件，易得ADAE名△ABFgZkBCGgZ\CDH,从而得到四边形EFGH是正

方形.

【类比研究】

如图②所示，在正AABC的内部，作NBAD=NCBE=NACF,AD,BE,CF两两相交

于D,E,F三点(D,E,F三点不重合).

(1)AABD,ABCE,ACAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

(2)ADEF是否为正三角形？请说明理由；

(3)连结AE,若AF=DF,AB=7,求ADEF的边长.

【答案】(1)AABD^ABCE^ACAF；理由见解析；(2)4DEF是正三角

形；理由见解析；(3)V7

【解析】分析：(1)由正三角形的性质得出NCAB=NABC=NBCA=60。，AB=BC,证

出NABD=/BCE,由ASA证明4ABD丝ZXBCE即可；

(2)由全等三角形的性质得出/ADB=NBEC=NCFA,证出NFDE=/DEF=/EFD,

即可得出结论；

(3)先判断出AF=FD=EF,进而得出NFAE=FFEA=30。,即：ZDEA=90°,再用勾股

定理得出AE,即可得出结论.

详解：(1)△ABDgaBCEgaCAF；理由如下：

「△ABC是正三角形，

AZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC,

VZABD=ZABC-ZCBE,ZBCE=ZACB-ZACF,ZCBE=ZACF,

.".ZABD=ZBCE,

在AABD和ABCE中，

r/.BAD=^BCE

■AB=BC,

^Z-ABD—Z.BCE

.".△ABD^ABCE(ASA)；

同理：AABD^CAF,

即：AABD^ABCE^ACAF

(2)ADEF是正三角形；理由如下：

:AABD^ABCE^ACAF,

NADB=/BEC=NCFA,

ZFDE=ZDEF=ZEFD,

...△DEF是正三角形；

(3),.,△DEF是正三角形,

.\ZDFE=ZFDE=60°,

又AF=FD,

；.AF=FD=EF,

；.NFAE=/FEA=30°,

ZDEA=90°,

设DE=x,则AD=BE=2x,

在RtAADE中，AE2=AD2-DEMX2,

在RtZ^ABE中，AB=7,AB2=BE2+AE2,

即，49=4X?+3X2,

：.x—H(舍)或x=V7,

.♦.△DEF的边长为V7.

点睛：此题是四边形综合题，主要考查了正三角形的判定与性质、全等三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，熟练掌握正三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题

的关键.

11.【问题探索】如图1,在R3ABC中，NACB=90。，AC=BC,点D、E分别在AC、BC

边上，DC=EC,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接

PM、PN、MN.探索BE与MN的数量关系。聪明的小华推理发现PM与PN的关系为

最后推理得到BE与MN的数量关系为

【深入探究】将ADEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN

的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

【解决问题】若CB=8,CE=2,在将图1中的ADEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，

当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度.

CEBcBcEB

图1图2备用图

【答案】PM=PN,PM±PN,BE=&MN

【解析】试题分析：（1）问题探索：M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，所以MP、NP

分别是AAEB、AADB的中位线，PNAC,PMBC可得AD=EB,所以可得PM=PN,PM_LPN.

BE=2PM,MN=J^PM,从而得到BE与MN的关系。⑵深入探究：通过连AD,延长BE

交AD于点G,将PM、PN放在两个全等的三角形即^ADC丝△BEC来证明PM=PN,再

证NAGB=90。（3）解决问题：

【问题探索】M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，

.•.PM,PN分别是AAEB、AADB的中位线，

口101

.­•PMBC且PM=-BE,PNAC且PN=-AD

NACB=90°,

.­•PM1PN.

又AC=BC,DC=EC

•••AD=BE

...PM=PN

.•.PM=PN,PM1PN,

BE与MN的数量关系为BE=>/2MN,

PM=PN,PM±PN

■••APMN为等腰直角三角形，

.-.MN=V2PM

BE=2PM

•••BE=V2MN

【深入探究】

成立，理由：如图连接AD,延长BE交AD与G。

已知NACB=NACE+/ECB=90",ZDCE=ZACE+ZDCA=90"

•••ZECB=ZDCA

CA=CB,CD=CE

.-.△ADC^ABEC

；.AD=BE

M、N、P仍是AE、BD、AB的中点，

Q1口1

.•■PMBE且PM=-BE,PNADKPN=-AD

22

；.PM=PN

又Z^ADC丝Z\BEC

•••ZDAC=ZEBC

ZEBC+ZABE+ZCBA=90°

ZDAC+/CBA+/ABE=90°

BG1AD

•­.PM1PN

因止匕MN=V2PM,

PM=-BE

2

.••BE=V2MN

【解决问题】

由上题已知BE=J^MN,①当ADEC绕点C逆时针旋转到如图3的位置时，^ADC

g△BEC,_LAO,;.AD=EB,AD,+BDJAB）设AD=EB=x,CB=8,CE=2,.,.（x+2拉）

2+x2=（8及R解得x=±V62-V2,x=—痴一0（舍去），所以BE=J&—

所以，MN=V31-1

CB

图3

②当ADEC绕点C逆时针旋转到如图4的位置时，AADC^ABEC,BD±AD,.-.AD=BE

设BE=x,因为AO,.・.Z\ADB是直角三角形，，.AD2+BD2=AB;!,二（x-20）2+

X2=128解得x=±\/62+>/2,x=-V62+V2（舍去）,.'.BE=x/62+>/2,.,.MN=

南+1

图4

所以MN的值为a-1或a+1

12.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底

三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。

(1)概念理解：

如图1,在4aBe中/C=6,BC=3.Z71CB=30。,试判断44BC是否是“等高底”三角形，

请说明理由.

(2)问题探究：

如图2,4ABe是“等高底”三角形,BC是“等底”，作ZMBC关于BC所在直线的对称图形得

至必ABC,连结力4交直线BC于点D.若点B是4A4'C的重心，求言的值.

(3)应用拓展：

如图3,已知4与，2之间的距离为2.“等高底”44BC的“等底”BC在直线上,点力在

直线％上,有一边的长是BC的企倍.将A4BC绕点C按顺时针方向旋转45。得到ZM'BCA'C

所在直线交％于点。.求C。的值.

(K1)(0B2)(S3)

【答案】⑴证明见解析；⑵噤=绢(3)CD的值为171^,2鱼,2

BC23

【解析】分析：(1)过点A作直线CB于点。，可以得至ljAD=BC=3,即可得到

结论；

(2)根据人48(：是‘'等高底"三角形，8(?是''等底"，得至1」4力=8€',再由A4'BC

与A4BC关于直线8c对称，得到NADC=90°,由重心的性质，得到BO2BD.设

BD=x,则AO=BC=2x,CD=3x,由勾股定理得AC=gr,即可得到结论；

(3)分两种情况讨论即可：①当A8=&BC时，再分两种情况讨论；

②当AC=V^BC时，再分两种情况讨论即可.

详解：(1)是.理由如下：

如图1,过点A作AOL直线CB于点£>,

AAOC为直角三角形，ZADC=90°.

ZACB=30°,AC=6,：.AD」AC=3,

2

・•・AD=BC=3,

即AABC是“等高底”三角形.

B

图1

⑵如图2,AABC是“等高底”三角形，3C是“等底”，.,.AQ=8C,

△/!'BC与AABC关于直线BC对称，ZADC=90a.

•.•点8是AA4'C的重心，ABC=2BD.

设BQ=x,则AD=BC=2x,:.CD=3x,

由勾股定理得AUgx,

・AC__Ax_-/13

..BC-2x-2

帕2

(3)①当A8=&C时，

I.如图3,作AE_L/i于点E,。口LAC于点只

：“等高底”AABC的“等底”为BC,11//12,

/i与6之间的距离为2,AB=y/2BC,

：.BC=AE=2,AB=2\[2,

:.BE=2,即EC=4,；.AC=2后

,/AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到M'B'C,：.ZCDF=45°.

设DF=CF=x.

V/1///2,AZACE^ZDAF,.•.器=^1=±即AF=2x.

.".AC-3x-2y/5,可得4|V5,CD=V2x=^\/T0.

II.如图4,此时A4BC是等腰直角三角形，

,/MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得至IJAA'B'C,

/.AACD是等腰直角三角形,

CD=V2AC=2^2.

BZNCZZ.

图4

②当AC=V^BC时,

1.如图5,此时AABC是等腰直角三角形.

,/△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到A4'B'C,

C±/,,；.CD=AB=BC=2.

垃；

RC'

国5

II.如图6,作AE_L/1于点E,则AE=8C,

：.AC=\[2BC=V2AE,：.ZACE=45°,

AABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到A4'B'C时,

点A'在直线。上，

.♦.A'C〃/2，即直线4'C与，2无交点.

阳6

综上所述：C。的值为|V1U,2V2,2.

点睛：本题是几何变换-旋转综合题.考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及

阅读理解能力.解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解.

13.在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且NEAF=NCFF=45。

⑴将AADF绕点A顺时针旋转90。，得到AABG（如图1）,求证：BE+DF=EF；

⑵若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2）,求证:EF2=ME2+NF2

⑶将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3）,直接写出线段

EF、BE、DF之间的数量关系.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质可知AF=AG,ZEAF=ZGAE=45°,故可证AAEG^4AEF；

（2）将AADF绕着点A顺时针旋转90。,得到4ABG,连结GM.由（1）知AAEG丝4AEF,

则EG=EF.再由^BME、ADNF>ACEF均为等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=&DF,然后证明/GME=90。，MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；

(3)延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将AADF绕着点A顺时针

旋转90。，得到AAGH,连结HM,HE.由(1)知AAEH丝ZXAEF,结合勾股定理以及

相等线段可得(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,所以2(DF2+BE2)=EF2.

【详解】

(1)证明：；AADF绕着点A顺时针旋转90°,得到AABG,

；.AF=AG,ZFAG=90°,

ZEAF=45°,

；.NGAE=45。，

在AAGE与ZkAFE中，

fAG=AF

<^GAE=/.FAE=45°，

(AE=AE

.,.△AGE^AAFE(SAS)；

图①

(2)证明：设正方形ABCD的边长为a.

将4ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG,连结GM.

由（1）知AAEGgaAEF,

EG=EF.

VZCEF=45°,

.,.△BME、ADNF>ACEF均为等腰直角三角形,

，CE=CF,BE=BM,NF=V2DF,

:.a-BE=a-DF,

ABE=DF,

・・.BE=BM=DF=BG,

.,.ZBMG=45°,

・・・ZGME=45°+45°=90°,

.".EG2=ME2+MG2,

VEG=EF,MG=V2BM=V2DF=NF,

.\EF2=ME2+NF2；

(3)解：EF2=2BE2+2DF2.

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点,

将4ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AAGH,连结HM,HE.

圄③

由(1)^IAAEH^AAEF,

贝由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又；.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

【点睛】

本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性

质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理.准确作出辅助线利用数形

结合及类比思想是解题的关键.

14.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

D

D

CBE「B

图1图20图33

(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形A8C中，乙4cB=90。，BC=a,将边A8绕点

8顺时针旋转90。得到线段8。，连接CD.求证：ABC。的面积为：a2.(提示：过点。作

8c边上的高Z>E,可证△ABC注ABDE)

(2)探究2：如图2,在一般的Rt△4BC中，乙4cB=90。，BC=a,将边A3绕点5顺

时针旋转90。得到线段BI),连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由.

(3)探究3