全国优质课-方程的根与函数的零点

人教A必修1§3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计一、教学内容分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时.本节内容是在《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上,学习函数与方程的第一课时.通过研究一元二次方程的根及相应的函数图像与轴交点的横坐标的关系,学生导出函数零点的概念;通过分析具体函数在某区间上存在零点的特点,探究在某开区间上连续函数存在零点的判定方法.为下一节“二分法求方程近似解”做好铺垫.同时也为后续学习不等式、算法等知识奠定了基础.本节课渗透了数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想.二、教学目标设置根据课标要求,结合教材,考虑学生的已有认知及本班学生特点,我将本节的教学目标设置为以下内容：1.探究二次函数的图象与轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系,理解函数零点的定义.了解函数的零点与方程根的关系,会求简单函数的零点.2.学会用数形结合思想研究某区间上图象连续的函数存在零点和零点个数的判定方法.3.感知从特殊到一般的归纳推理.培养抽象概括的能力,养成一般性思考问题的习惯.教学重点:函数零点的概念,函数的零点存在性定理的理解和应用.教学难点:发现与理解方程的根与函数零点的关系；运用零点存在性定理分析函数零点所在区间.三、学生情况分析授课对象:延边二中理科平行班学生1.学生已有认知基础学生在本节内容之前已经学习了几种基本初等函数的图象和性质,会画简单函数的图象,也会通过图象去分析函数的性质.具备初步的数形转化的能力,这就为学生探究函数的零点做好了铺垫.为判定函数是否存在零点提供了直观感知.2.达成目标所需的认知基础学生需要具备较好的观察分析图象的能力,较高的抽象概括能力.3.突破策略为学生创设适当的问题情境,激发学生的思维,引导学生通过观察、计算、作图、思考,发现函数在某个开区间上存在零点的两个条件是图象连续和端点处函数值异号.4.核心素养课堂中学生动手操作,感知从特殊到一般的归纳推理.体会从图象中抽象概括出函数零点定义、零点存在性定理的数学抽象过程.养成一般性思考问题的习惯.四、教学策略设计1．设置问题情境,学生参与.不断发现问题、分析问题、解决问题，探究出相关结论,体会函数在高中数学的核心作用.2.采用开放式的学习方式,学生体验知识的生成、发展过程.借助《几何画板》等信息技术手段,感知函数的动态变化,体会特殊到一般的归纳过程.学生不仅探究了概念,还“体验”到了数与形的转化，即函数零点与方程的根之间的关系是通过函数的图像与轴的交点来建立的.3.课堂中学生动手操作,进一步认识数学本质.感知从特殊到一般的归纳推理.体会从图象中抽象出函数零点定义,零点存在性定理的数学抽象过程.养成一般性思考问题的习惯.五、教学过程教学结构设计：零点概念的建构零点概念的建构零点存在性定理的探究设计问题，渗透数学思想形成概念，确认等价关系归纳定理,深刻理解熟悉定理,辨析应用例题变式，深化拓展应用与巩固小结反思，提高认识布置作业，独立探究归纳小结约12分钟约18分钟约12分钟约3分钟（一）创设情境，引入新课师：通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，今天我们开始学习第三章.方程的根，我们在初中已经学习过了，主要是以代数计算的方式进行求解，侧重“数”的方面的研究.高中数学学习阶段我们接触过的一个非常重要的数学思想叫做数形结合.我们这节课就要从“数”和“形”的两方面去研究“方程的根”.引入课题：《方程的根与函数的零点》(教师板书)（二）新课讲解【环节一：零点概念的建构】设计问题，渗透数学思想问题1：求下列一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，完成下表。方程函数方程的实数根函数图像思考讨论：一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点生：（观察讨论）方程的实数根就是函数图象与轴交点的横坐标.师：回答的很好！方程的根是从“数”的角度研究问题，而函数图像与轴交点是从“形”的角度研究问题.正体现了数形结合思想.教师归纳:方程的实数根函数图象与轴交点的横坐标师：方程的根还和什么有等价关系呢？带着这个问题我们继续下面的学习.设计意图:进一步体会数形结合的数学思想,为下一环节引出零点做铺垫【环节二：零点概念的建构】形成概念，确认等价关系问题2：求解方程,说出方程所对应的函数．；

生：,对应的函数是师：使，叫做方程的根，对于函数我们给出一个新的定义，称为函数的零点.你能根据我刚才给出的零点的定义,求出函数的零点吗?生：-1和3使，-1和3是函数的零点师：你能概括一般函数零点的概念吗？生：对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点.教师活动：板书概念，帮助学生表达准确的概念问题3：在这个概念中，我们新接触了一个数学名词“零点”，请同学们思考，零点是点吗？生：（积极讨论，发表见解）零点不是点师：那零点是什么？生：是一个数！师：满足什么条件的实数？生：方程的根，再次强调：零点不是点,是一个实数！师:回顾刚才老师提出的问题,“方程的根”还和什么是等价的呢?师生互动：学生思考作答,互相讨论;教师纠错,引导得出正确的关系.生:还和函数的零点等价在屏幕上显示：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点教师归纳:这种等价关系,为我们分析问题解决问题又提供了一种数学思想叫函数与方程的思想.对于不能利用公式求根的方程,我们可以将它与函数联系起来,利用函数的性质找出函数的零点,从而求出方程的根.例1.求函数的零点()A.B.C.D.练习:1.函数的图象如下，则其零点为.2.指数函数、对数函数、幂函数有零点吗？问题4：函数零点的求法有哪些呢？生：求方程的实数根.师：我们把这种方法叫做代数法.生：也可以画函数的图像找到它与轴交点的横坐标.师：我们把这种方法叫做几何法.设计意图：要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点这个概念，深化了学生对数形结合思想的认识.利用函数有零点的等价关系,向学生渗透函数与方程的数学思想.【环节三：零点存在性定理的探究】归纳定理,深刻理解问题5：:二次函数的图象在区间内有零点吗?_______，_______，___0(“＜”或“＞”)．师生归纳:发现＜0,函数在区间内有零点.问题6：二次函数的图象在区间在区间内是否也具有这种特点呢?生:观察图像,思考作答.问题7:已知函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表,函数在哪个区间存在零点呢？12345625-31-4

-5学生小组讨论，代表作答,教师展示学生作品，学生说明生：存在零点师：在哪个区间内呢？生：，因为图象连续，函数值从正变到负，图像和x轴一定有交点，函数有零点.问题8:如何判断一般函数在区间内是否存在零点?生:问题9:如果函数在区间满足,那么,函数在区间内有零点,这样就可以吗?生：（讨论）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点问题10:这个判断方法在叙述上还有没有需要修改的地方？教师引导:这种方法是判断函数在某个区间上是否存在零点,需要计算端点处的函数值.生：函数必须在端点处有定义，所以函数必须是在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线问题11:那存在零点的区间是否也需要改成闭区间？生：不需要，零点是利用确定的零点，所以零点不会出现在端点处.定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使,这个也就是方程的根．问题12：①满足定理条件，函数一定在区间有零点，不满足定理条件，函数在区间内一定不存在零点吗？②此定理能判定零点的存在性，能判定零点有多少个吗？生：不满足定理条件，时依然可能存在零点师：怎样修改条件时,函数在区间上只有一个零点？教师活动：教师指导学生作图,引导学生大胆猜想学生活动：小组讨论,代表作答,学生经历自主举例,促进对定理的准确理解.生：只要让函数在区间上是单调函数就可以.教师归纳：定理中的“连续不断”是必不可少的条件；定理不能确零点的个数；不满足定理条件时依然可能存在零点．师:回顾刚才提出的问题,这个函数在哪个区间存在零点呢?生:积极作答设计意图：1、将现实生活中的问题抽象成数学模型,进行合情推理,将原来学生只认为静态的函数图象,理解为一种动态的过程.2、由原来的图象语言转化为数学语言.培养学生的观察能力和提取有效信息的能力.体验语言转化的过程.【环节四：零点存在性定理的探究】熟悉定理,辨析应用例2：判断函数在区间是否存在零点？解:通过计算可知，，则，这说明函数在区间内有零点.由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.【环节五：应用与巩固】例题变式，深化拓展变式：函数在哪个区间存在零点？练习1.已知连续函数,有则()A.在区间上可能没有零点B.在区间上可能有三个零点C.在区间上至多有一个有零点D.在区间上不可能有两个零点2．已知函数,,的零点依次是,则()A.B.C.D.3.讨论函数的零点所在区间.【环节六：归纳小结】小结反思，提高认识本节我们学习了哪些知识？能够解决哪些问题?接触到了哪些数学思想方法？知识点:零点的定义等价关系零点存在性原理思想方法:数形结合思想函数与方程思想化归与转化思想题型:求函数零点判断零点所在区间判断零点个数【环节七：归纳小结】布置作业，独立探究分层作业：1、教材88页练习1、22、拓展作业：已知,求取何值时函数能分别满足下列条件①有2个零点;②3个零点;③4个零点.六、教学反思1、教学内容的反思本课内容，从几何直观上感知和认识函数的零点，进而形成函数零点的概念；对于零点存在的条件，高中阶段不必要加以证明．重点就是让学生通过观察和分析函数图象，直观感受零点存在的条件．通过本节的学习，是要学生体会函数在高中数学的核心作用.用函数的观点统帅中学代数，把所有中学代数问题纳入函数的思想下．2、问题设置的反思如何创设“函数零点”的“问题情境”,我是经过认真思考的.考虑到学生现有的概括能力较差,所以我采用开门见山的方式.通过给出具体的一次函数的零点的概念,给学生提出如何求一个具体二次函数的零点的问题,学生通过模仿求出二次函数的零点.这个过程也为下一个问题“抽象概括出一般函数零点的概念”做好了铺垫,使教学过渡更流畅.3、预设与生成的反思课堂活动的设计是阶梯性的,多层次多角度,尽量保证学生都能够参与到课堂活动中来.但是学生的思维是有差别的,不一定都能和教师预设的环节同步.因此教师要随时把握课堂教学,为学生提供思维发散及延伸的空间使学生在接受数学科学教育的同时,完善和提高自己.方程的根与函数的零点点评本节课李老师由学生熟悉的二次方程与相应的二次函数引入,学生自主完成表格,归纳二次方程的根与相应二次函数图象关系,通过具体例子给出零点的定义,同时引导学生自己举例、通过交流、讨论的方式展开研究,归纳出零点的一般性定义,总结三个等价关系,让学生切实理解三个等价关系的意义,学生归纳零点存在定理,通过正、反例的剖析,学生对零点存在定理理解透彻,体现了转化与化归的数学思想,函数与方程思想,渗透了数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等学科素养.教学中突出了“零点定义”和“零点存在定理”这两个重点内容,教师能够围绕问题的本质,不断启发学生发现问题,引导学生参与知识的发生、发展的学习过程,零点存在定理学生在每个关键词都进行了充分的剖析和讨