一道解析几何题引发的思考

一道解析几何题引发的思考

题1已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l与椭圆C交于P，Q两点，△PQF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）点A、点B分别为椭圆长轴的左、右端点，过点B作x轴的垂线，D为垂线上异于点B的动点，连接AD交椭圆于点E．问：在x轴上是否存在定点G，使得GD⊥EB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．题1为九师联盟2020～2021学年高三新高考11月质量检测数学试卷的第21题，一道解析几何压轴题，是常见的定点定值问题，利用以下的解法1做完本题后，感觉难度一般，但结论引起我的注意，定点G为什么是原点？它的背景感觉熟悉，引起了笔者的思考，本题还有哪些解法，试题可以做怎样的改编，经过一番思考和探究，现整理成文，与同行交流．一、解法的思考第（1）问简单，椭圆C的方程为：，过程略．第（2）问，一般来说，此类解析几何问题的解决方法为设点的坐标或设直线的方程，以下只给出第（2）问的解法．图1解法1（设直线的方程）：如图1，由题意知，直线AD的斜率存在且不为0，设直线AD的方程为：，由，得．由，得，解得或，当时，，又A（－2，0），得．假设在x轴上存在定点G（t，0）满足GD⊥EB，则，于是，即，解得所以在x轴上存在定点G（0，0），使得GD⊥EB．评注：参考答案是设直线AD的方程为：，GD⊥EB转化为，即，其它方面两种解法基本相同．解法2（设点的坐标）：设点D（2，n）（n≠0），则直线AD的方程为：，由，得，解得或，当时，，又A（－2，0），得．假设在x轴上存在定点G（t，0）满足GD⊥EB，则，于是，即，解得，所以在x轴上存在定点G（0，0），使得GD⊥EB．评注：这里先设点D的坐标，通过D的坐标表示直线AD的方程，与解法1实质一样．解法3（设点的坐标）：设点E，D（2，n）（n≠0），，又A（－2，0），则，于是，因点E在椭圆上，则，即，假设在x轴上存在定点G（t，0）满足GD⊥EB，则，于是，即，又，于是，解得，所以在x轴上存在定点G（0，0），使得GD⊥EB．评注：先设点E，点D的坐标，将几何条件连接AD交椭圆于点E转化A，E，D共线，设为．解法4（设点的坐标）：设点E坐标为，，则直线AE的方程为：，令x=2，则，得．假设在x轴上存在定点G（t，0）满足GD⊥EB，则，于是，则，解得，所以在x轴上存在定点G（0，0），使得GD⊥EB．评注：利用椭圆的参数方程设出点E坐标，再表示直线AE方程及点D的坐标．二、背景的思考题2设点A，B的坐标分别为（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．题2是普通高中试验教科书人教A版选修2-1第41页例3，给出了生成椭圆的另一种方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数（不等于－1），我们通常称为椭圆的第三定义．事实上，若点A，B为椭圆C:的长轴两个端点，点M为椭圆上动点（不与A，B重合），则．题1中椭圆上的一点（非长轴端点）与长轴两端点连线的斜率之积为常数，而两条连线中的一条与第三条直线垂直，即斜率之积为－1，则另一连线与第三条直线的斜率有关系．具体分析如下：由E为椭圆上的动点得，，又，于是，所以，，即G为AB的中点，故在x轴上存在定点G（0，0），使得GD⊥EB．三、改编的思考通过以上的试题解决及背景的分析思考，笔者尝试将试题作如下改编：改编题1在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点D为直线x=2上异于B的动点，过B作OD的垂线交AD于点E，则点E的轨迹方程为．图2分析：如图2，由平面几何知识可得，即，又，得，由椭圆的第三定义得，点E的轨迹为椭圆（去掉A，B两点），故点E的轨迹方程为．改编题2已知椭圆C：，点A、点B分别为椭圆长轴的左、右端点，点D为直线x=2上异于B的动点，AD交椭圆C于点E，BE交OD于点F，则△OBF面积的最大值为．图3分析：点E在椭圆C上，如图3，得，又，于是，点F的轨迹为以OB为直径的圆（去掉O，B两点），△OBF的底边OB为2，只需底边OB上的高取得最大值即可，而F为圆上的动点，高的最大值为1，故面积的最大值为1．四、高三复习备考的思考题1处在第21题的位置，属于压轴题，是常见的定点定值问题，应该来说难度不大，但从学生答卷反映出的情况来看很不理想，第（1）问基本没问题，而第（2）问只有少数同学能动手，能彻底解决的极少，产生这一结果的原因是什么，如何解决这一问题，也进行一番调研和思考，针对出现的问题解决如下：1、一些学生平时上课一听就懂，自己动手做就不知如何下手，基础知识掌握不牢，解题方法缺乏，在今后教学中进一步夯实基础，要求学生掌握基础知识和基本方法，并辅以必要的练习，并注重落实；2、针对解析几何这一内容，要认识到解析几何本质是利用代数方法解决几何问题，要解决的是几何问题，只是方法是代数的，将几何问题代数化是必要的，掌握常见的几何问题代数化的方法，如研究直线与圆锥曲线的位置关系，通常是设直线的方程或点的坐标，将其余的点或直线通过方程组解得或表示出来，再如两直线垂直，三点共线等几何问题的代数化；