普遍方程与拉氏方程

普遍方程与拉氏方程第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六解析形式：

任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。

即动力学普遍方程第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。求:重为P1的物体的加速度a1。解:r1r2自由度1解题步骤：1、确定自由度；2、运动分析，受力分析（包括惯性力）；虚位移分析；3、列方程；4、确定虚位移之间的关系，运动关系；5、求解。第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六ABC例17-2：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。ABC解：运动分析应用动力学普遍方程受力分析第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六ABC系统的虚位移ABC由动力学普遍方程得：第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六ABC系统的虚位移ABC或令第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六拉格朗日Lagrange

（1736-1814年）

法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》(1788年)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。§15-2拉格朗日方程

第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六(i=1,2,…,n)

代入动力学普遍方程：式中为广义力

——广义惯性力

拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种形式的质点系微分方程，称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程，这里介绍第二类拉氏方程。设有n个质点组成的具有完整、理想约束的质点系，有k个自由度：取广义坐标：(2)

(1)令

(3)

第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六对时间t求导

(6)将式（6）对求偏导数:

(7)再将式（6）对任一广义坐标ql

求偏导数:

则(4)即(5)(8)第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六直接由矢径对某个广义坐标求偏导数后，再对时间t求导

:(9)比较式（8）、式（9）将等式（7）、（10）代入式（5），得:(10)即（11）(8)第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六定义拉氏函数：L=T-V——具有理想和完整约束的质点系第二类拉氏方程将（11）代入式（4）得：

当主动力均为有势力：

(j=1,2,…,k)——有势力作用下的第二类拉氏方程第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六L=T-V第二类拉氏方程当主动力均为有势力：

(j=1,2,…,k)动力学普遍方程Qj’:非有势力的广义力当主动力既有有势力又有非有势力：

第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-3：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。1、系统的自由度为k=32、系统的广义坐标：3、系统的动能解：4、系统的广义力5、代入拉格朗日方程第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六kAm1m2例17-4：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的物体A，另一端固结在弹簧上。求:物体A的振动周期。解w法一自由度1取广义坐标jv第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六kAm1m2w取平衡位置作为零势能点法二v第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六解：例17-5：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程。AB＝2L自由度2广义坐标:第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法一令令第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法二令令弹性势能的零势位取在弹簧原长，重力势能的零势位取在杆垂直时的质心位。第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-6：物体A重量为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一端悬挂重量为P的B物体，求：运动的微分方程。解：自由度2令A0rφB广义坐标:第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-7：半径r、质量m的圆盘在地面做纯滚动，其质心悬挂长3r,质量m

的均质杆.求:微摆动方程解：自由度21q2x1广义坐标:第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六解微分方程组得：1q2x1重力势能的零势能位取在杆垂直时的质心位第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-8：无重绳索一端悬挂质量m1物块，另一端绕质量m2，作滚动的空心圆柱，放光滑表面。求：运动微分方程解abm2gm1gx1x2自由度2广义坐标:第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-9：二个重量P的圆柱，圆柱B绕绳后下滚。求：下滚时运动方程。yAB代入拉氏方程得：解自由度2广义坐标

、y第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期六例17-10、半径r，质量m1的匀质圆柱体在重力作用下沿三棱体A无滑动滚下，三棱体在光滑水平面上滑动。三棱体质量m2，求三棱体加速度及圆柱质心O相对三棱体加速度。解：自由度数：广义坐标：主动力为有势力，选取零势能位置：系统动能：系统势能：拉格朗日函数：S＝0位置第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期六代入拉格朗日方程：解得加速度：第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期六解：法1、达朗伯原理动力学综合复习已知：求：例

第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法2、动力学普遍方程第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法3、拉格朗日方程第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法4、动能定理微分形式第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期六法5、刚体平面运动微分方程第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期六*4、平面运动刚体求速度的三种方法及求加速度的基点法，画出速度、加速度矢量图；正确地选取动点、动系，分清三种运动，画出速度、加速度矢量图，求（角）速度和（角）加速度；

所考知识点：1、平面、空间力系的简化与平衡问题，力在坐标轴上的投影，力对点之矩、力对轴之矩2、摩擦、桁架的概念和计算*3、物体系统的平衡问题（平面）第三十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期六7、各种运动刚体的惯性力系进行简化，并将简化结果标注在图上，求（角）加速度；*8、虚位移原理（几何法或解析法