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文档简介
数学物理方程第一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.1一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得第三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.1一维波动方程的达朗贝尔公式同理有:代入方程,得到第四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六在上式中对积分,得(是的任意可微函数)3.1一维波动方程的达朗贝尔公式再将此式对积分,其中
都是任意二次连续可微函数.第五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六利用初始条件,确定两个函数的具体形式。由第二式得……………②……………①.............③其中3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六由①,③解得代入通解表达式,得—达朗贝尔(D’Alembert)公式.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六图3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑的物理意义随着时间t的推移u2的图形以速度a
向x轴正向移动.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六物理意义:随着时间t
的推移,的图形以速度a
向x轴正方向移动,也就是说,它表示一个以速度a向x轴正方向行进的波,称为右行波.同样道理,以速度a向x轴负方向传播的行波,称为左行波.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六在平面上斜率为的两族直线
,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线,变换称为特征变换,行波法也叫特征线法.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六的积分曲线,这个常微分方程称为它的特征方程
.一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.记称其为二阶线性偏微分方程的判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六可以证明,当时,有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的,沿着特征线做自变量替换总可以把双曲型方程化为
从而得到方程的通解3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例求下面问题的解:(3.1)解:特征方程两族积分曲线为做特征变换3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六代入方程化简得:3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六它的通解为其中,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为代入初始条件,,得第二式的两端得关于积分得解得所求问题的解为3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六解特征方程为特征曲线为例求方程的一般解.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六所以,做变换则原方程可以变为
其中,是任意的二次连续可微函数.于是,方程的通解为3.1一维波动方程的达朗贝尔公式第十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.2三维波动方程的泊松公式第二十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六研究波在空间传播问题.三维波动方程的初值问题3.2三维波动方程的泊松公式第二十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六一、球对称情形球坐标系3.2三维波动方程的泊松公式若仅是r的函数,则是r和t的函数,此时称定解问题是球对称的。第二十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面第二十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六球对称波动方程进一步有3.2三维波动方程的泊松公式对球对称问题第二十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六球对称情形下,三维波动方程边值问题可化为3.2三维波动方程的泊松公式这个问题我熟悉!第二十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六由达朗贝尔公式3.2三维波动方程的泊松公式第二十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六二.一般情况令表示在球面上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面上的点,
3.2三维波动方程的泊松公式第二十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六二.一般情况令3.2三维波动方程的泊松公式表示以M为中心的单位球面,表示上的面积元素,表示单位球面上的面积元素,第二十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六即而3.2三维波动方程的泊松公式以下推导所满足方程及初始条件。第二十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.2三维波动方程的泊松公式第三十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六进一步有:两边关于r求导,得得由3.2三维波动方程的泊松公式第三十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六即可得:由3.2三维波动方程的泊松公式第三十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六由初值条件和的表达式,有:其中分别是函数在上的球平均值。
满足如下定解问题:3.2三维波动方程的泊松公式第三十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六方程的通解为利用初始条件有其中是两个二次连续可微的任意函数3.2三维波动方程的泊松公式第三十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六所以解方程组得3.2三维波动方程的泊松公式第三十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六将延拓到r<0的范围内。并且同理也是偶函数利用3.2三维波动方程的泊松公式第三十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六所以3.2三维波动方程的泊松公式第三十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六由于,只考虑的情形利用洛必达法则3.2三维波动方程的泊松公式第三十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六即简记成3.2三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式第三十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六三、泊松公式的物理意义从泊松公式出发,解释波在三维空间的传播现象.设且,
1.在任一固定点的振动情况设,由沿以M为中心,at为半径的球面的曲面积分所决定。
3.2三维波动方程的泊松公式第四十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六M点处于静止状态,说明T的振动尚未达到M点。①当时,为空集,所以②当时,不为空集,所以M点处于振动状态,表明T的振动已传到M点。③当时,为空集,说明振动已传过M点,M点仍回复到静止状态。
3.2三维波动方程的泊松公式第四十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六2.在某固定时刻,初始时刻的振动所传播的范围设,T
是半径为R
的球体。由Poisson公式,只有与M相距为的点上的初始扰动能够影响的值,故P点的初始扰动,在时刻只影响到以P为球心,以为半径的球面当P在T内移动时,球面族的包络面所围成的区域即为T内各点的振动在
时刻所传播的区域,称为T在时刻的影响区域。3.2三维波动方程的泊松公式第四十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六总之,三维空间中有限区域T上的初始振动,有着清晰的前阵面和后阵面,对空间的任一点,振动传过后,仍回复到平衡状态,这种只在有限时间内引起振动的现象称为Huygens原理。
在足够大时,包络面以T的心o(T)为心,分别以和为半径的球面所夹部分。故时刻的影响区域为
的球壳,球面是振动到来的前峰,称为波的前阵面,球面是振动传过后的后沿,称为波的后阵面。3.2三维波动方程的泊松公式第四十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六R3.2三维波动方程的泊松公式第四十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六[解]
例.设已知三维波动问题中的初位移,初速度分别为:,求解相应的Cauchy问题。3.2三维波动方程的泊松公式第四十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六三.降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题设解为,令,则3.2三维波动方程的泊松公式第四十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六由泊松公式球面在平面上投影为
设其上面积微元为,则由投影关系有:其中v表示dS的单位法向量与之夹角,3.2三维波动方程的泊松公式又上、下两球面的投影有对称关系,故柱面波第四十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.3积分变换法第四十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.3积分变换法
常见的两种积分变换---傅立叶变换---拉普拉斯变换.
第四十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六如果满足上面的条件,我们可以定义傅立叶逆变换为:如果函数在上绝对可积,它的傅立叶变换定义如下有时把记为。一.傅立叶变换反演公式3.3积分变换法第五十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六傅立叶变换的性质:1)线性性质设f,g是绝对可积函数,是任意复常数,则2)微分性质设f,绝对可积函数,则3)乘多项式设f,
xf绝对可积,则3.3积分变换法第五十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六4)伸缩性质设f(x)
绝对可积,则6)卷积性质设f,g
是绝对可积函数,令则5)平移性质设f(x)
绝对可积,则3.3积分变换法第五十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例用积分变换法解方程:解:作关于x
的傅立叶变换,方程可变为设3.3积分变换法第五十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六可解得由于即则3.3积分变换法第五十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六从而方程的解3.3积分变换法第五十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例用积分变换法解方程解:作关于的傅立叶变换。设方程变为3.3积分变换法用常数变易法可解得而则第五十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.3积分变换法利用反演公式有第五十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.3积分变换法第五十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例用积分变换法求解初值问题:解:作关于x
的傅立叶变换。设3.3积分变换法第五十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六于是原方程变为满足初始条件3.3积分变换法第六十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六齐次方程的解设非齐次方程的解为3.3积分变换法第六十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六令则3.3积分变换法第六十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六代入方程得3.3积分变换法第六十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六积分3.3积分变换法方程通解为由初始条件取傅立叶逆变换,得其中的傅立叶变换.是而所以取傅立叶逆变换,得第六十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六3.3积分变换法第六十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积,大部分函数不能作傅立叶变换2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效.3.3积分变换法第六十六页,共八十四页,编辑于2023年,星期六二.拉普拉斯变换定义:f(t)定义在上,若其满足下列条件f(t)分段光滑;存在常数M和使得则称f(t)为初始函数,称为f(t)的增长指数.反例3.3积分变换法第六十七页,共八十四页,编辑于2023年,星期六定理:设f(t)是一以为增长指数的初始函数,则经变换得到的函数F(p)是上的解析函数.上述变换称为拉普拉斯变换3.3积分变换法第六十八页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例
3.3积分变换法第六十九页,共八十四页,编辑于2023年,星期六反演公式:在f(t)
的每一个连续点均有其中,3.3积分变换法第七十页,共八十四页,编辑于2023年,星期六基本性质:1)线性性质设f,g
的拉普拉斯变换分别为L(
f),L(g
),是任意复常数,则
2)微分性质假设,则3.3积分变换法第七十一页,共八十四页,编辑于2023年,星期六6)卷积性质定义4)延迟性质5)伸缩性质则3)积分性质3.3积分变换法第七十二页,共八十四页,编辑于2023年,星期六例设求解常微分方程的初值问题解对进行拉普拉斯变换,设,则3.3积分变换法第七十三页,共八十四页,编辑于2023年,星期六于是原方程变为由上式得:对进行拉普拉斯逆变换,得3.3积分变换法第七十四页,共八十四页,编辑于2023年,星期六解问题归结为求解下列定解问题:例一条半无限长的杆,端点温度变化已知,杆的初始温度为0,求杆上温度分布规律。3.3积分变换法对t进行拉普拉斯变换怎么变换?为什么?知道的值了第七十五页,共八十四页,编辑于2023年,星期六方程通解为表示温度,当时,一定有界,所以亦有界,从而
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