斜面应力状态分析

斜面应力状态分析第一页，共二十页，编辑于2023年，星期六第十章应力状态分析主要内容MainContent应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力球应力及偏差应力2023/5/312第二页，共二十页，编辑于2023年，星期六10.2斜面上任一点应力状态分析要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。2023/5/313第三页，共二十页，编辑于2023年，星期六一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。2023/5/314第四页，共二十页，编辑于2023年，星期六通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素2023/5/315第五页，共二十页，编辑于2023年，星期六zxyosxs

ysztxytyztyxtxztzytzxSnnSnxSnySnzsntnBACdsExAoE2023/5/316第六页，共二十页，编辑于2023年，星期六该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为：

cos(n,x)=l

、cos(n,y)=m

、cos(n,z)=n

三个垂直坐标面的面积可以表示为：

xzagn方向余弦有：2023/5/317第七页，共二十页，编辑于2023年，星期六由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即

在x方向：在y方向：在z方向：2023/5/318第八页，共二十页，编辑于2023年，星期六整理后可得方程用矩阵表示为（※）2023/5/319第九页，共二十页，编辑于2023年，星期六把微分斜面上的合应力Sn，向法线n方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即将Snx、Sny、Snz带入上式得微分面上的剪应力为2023/5/3110第十页，共二十页，编辑于2023年，星期六若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由可得而所以2023/5/3111第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期六综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。

2023/5/3112第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期六应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则2023/5/3113第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期六应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。2023/5/3114第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期六课堂练习已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法线应力sn和切应力tn。2023/5/3115第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期六解：首先确定各应力分量sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、tyz=tzy=0（单位MPa）。由2023/5/3116第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期六2023/5/3117第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期六应力坐标变换公式其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。xyzx'l1m1n1y'l2m2n2z'l3m3n32023/5/3118第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期六yx'y'uuxu