2012考研高等数学易混淆概念分析(三)

2012考研数学易混杂观点剖析之高等数学（三）考研数学中间的高等数学有好多简单混杂的观点知识点，万学海文数学考研指导专家们依据多年的指导经验，在此将为2012年的广大考生们排列出这些简单混杂知识点以供大家参照复习。下边，我们解说的是利用洛必达法例求极限的有关问题。1、导函数之比的极限值不存在时，不可以使用洛必达法例．例1、求极限lim2xcosx3xsinx解：原式()lim2sinx，因为该极限不存在，因此原极限lim2xcosx不x3cosxx3xsinx存在．本题明显不对，我们能够获得该题目的极限为

2．为何会这样呢？莫非洛3必达法例出问题了？明显不是，洛必达法例只好说出导数之比的极限值存在或无量大时，原极限的状况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．2、求数列极限时不可以直接利用洛必达法例．1例2、求极限limn(en1)n解：利用洛必达法例求解1n1limne(n1)1lnimleim1n1nn1n1lime．1nn2n本题的结果是正确的，可是计算过程是错误的．因为数列中变量n是自然数，它是一系列失散的点，不是连续变量，因此没有导数，不可以直接利用洛必达法例求极限．但关于特别的数列极限0和型，能够间接的使用洛必达法例求极限．0正确的求解方法是，先求出limf(x)的极限，依据函数极限的性质可得相应x的数列极限．111x1(ex1)x2e1正确的解法：因为，limx(ex1)limlimlimex1xx1x1xxx21因此，数列limn(en1)=1n11n例3、求数列极限lim(1n2)nn解：先求函数极限11x取对数后的极限为：lim(12)xxx2x12222211limln(1xx)lnxlim1xxxlimx2xlimxln(1x2)1x21,xxxx1xx1xx2因此，lim(111)nlim(111)x.nnxxnx3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法例时必定要注意题设条件．例4、设f(x)在点x处拥有二阶导数，求极限f(xh)2f(x)f(xh)limh2．h0错误会答：用洛必达法例f(xh)2f(x)f(xh)limf'(xh)2f'(x)f'(xh)limh22hh0h01f'x(h)fx'()fx'(f)xh'()1lim[hh]f[x''(f)x''()]02h02（2）利用洛必达法例limf(xh)2f(x)f(xh)f'(xh)f'(xh)2limh0hh02hlimf''(xh)f''(xh)f''(x)h02上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法例求极限时，自变量是h，故分子分母均应是分别对变量h求导数，这时，2f(x)的导数是0，而（1）式中却想自然的把导数错误的求为2f'(x)，因此结果是错的．（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法例时，没有考虑题设条件：f(x)在点x处拥有二阶导数．不过可导，我们其实不知道在x的一个邻域内能否二阶可导，因此不知足洛必达法例的条件．相同第三步计算也是错误的，因为题设并无告诉我们二阶导数在x处连续，故limf''(xh)f''(xh)f''(x)f''(x)是没有根h022据的．因此，万学海文提示考生们必定要当心使用洛必达法例求极限．f(xh)2f(x)f(xh)f'(xh)f'(xh)正确解答：limh2lim2hh0h01[limf'(xh)f'(x)limf'(xh)f'(x)]f''(x)2h0hh0h先是利用洛必达法例，再利用导数定义求解．自然也有其余的方法求解：f(xh)f(xh)f(xlimh0

f(x)f(x)hf(x)h2o(h2),2!f(x)f(x)hf(x)h2o(h2)．因此2!h)2f(x)f(xh)f(x)h2o(h2)h2limh2f(x)h0例5、设fxgx0，且已知，，试求xf(0).,xg(0)g(0)0g(0)30,x0解因为f(x)f(0)x0f(0)limx0

g(2x),因此由洛必达法例得xg(x)limg(x)1g(x)x2limx02x2x0x

g(0)g1(0)3.022问题两则：(1)上例解法中，已知条件g(0)0用在哪处?(2)假如用两次洛必达法例，获得f(0)limg(x)limg(x)1g(0)3.错在哪处?x02xx0222小结万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法例应注意的事项:①运用洛必达法例时,必定要注意条件.当x时,极限中含有sinx,cosx；或当x0时,极限式中含有sin1,cos1时,不可以