老师数学基础课20高数下

第七 常微分方含有自变量,未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程；若yyx能使Fx,y, ,yn0或ynfx,y, 若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数,称该解为通解 x解法令uy则yuxdyuxdu带入原方程得uxduu

dx化为了变量可分离方程u 能表示为yPxyQx 解法: 能表示为yPxyQxy0,1的方程称为 解法:令uy1,可化为一阶线性方程.x x （ 例4微分方程y 的通解 xy 1.ynfx2.yfxy型（缺y型解法令yp,则yp,带入原方程化为一阶方程3.yfyy型（缺x型解法令yp,则ypdp带入原方程化为一阶方程2 2ypxyqxyfxypxyqxy0

若CyCy是（）的通解,y是（）的特解,则CyCyy是（）的通解1 2 1 2若（）中的非齐次项fxf1xf2xy是ypxyqxyfx的特解y是ypxyqxyfx的特解 则yy是ypxyqxyfx 例7（2013数一二,4分）已知ye3xxe2x,yexxe2x, 二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 对应的特征方程为2pq0其对应的两个根为 （1）若通解yCe1xC （2）若通解yCC i通解yCcosxCsinxe 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyfn（1）若fxPxen （2）若fxexPxcosxPxsin

. BAxe2xe2xBcos2xCsin DAxe2xxe2xBcos2xCsin例10以yCexCe2xxex为通解的微分方程 Ayy2yCyy2y

Byy2yDyy2y例11设有二阶线性微分方程1x2d2y dy

nt

t

2

第八 多元函数微分定义 若对0,0,当0

xx2y

2时

fx,yA 则称A是fx,y在x0,y0点的极限,记

fxyAy

fx,y :

x,yx0,y0

x,yx0,y0

x,y值不存在,则说明二重极 x,yx0,y0

例

:1

x2x2y2 x2xx 3 xlim 4lim ;5lim 2x

x2

x2

定义 x,yx0,y0

fxyfx0y0,则称fxy在点x0y0处连续二元函数 若在点 处不连续,是不再讨论 注:一元函数y二元函数 若在点 处不连续,是不再讨论 x x x zfx,y在x0,y0处的偏导fx,ylimfx0x,y0fx0,y0limfx,y0fx0,y00 x0fx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y00 yy0 y 000

xx,其中xfxy00fyx0y0yyyfx0yyyyfx0y0 例2设fx,yx2y y,则 例

xx xy, x Bfxfy Cfxfy Dfxfy 设z

zfx,y 2zzfx,y 2z zfx,y fx,y x

y 定理

定义 若zfx,y在点x0,y0处的全增量zfx0x,y0yfx0,y0可表 zAxByo0,其中 x2y2,则称zfx,y在点x,y 0AxBy称为zfxy在点x0y0的全微分记为dz,即dzxyAx0定理2（可微的必要条件）若zfxy在x0y0处可微,则fxy在x0y0两个偏导数xx,y

,yx,y

都存在且dz

x,y

dx

x,y

定理3（可微的充分条件）若zfxy的两个偏导数ff都在xyx 小结:判定二元函数fxy在点x0y0xx y2200y利用充分条件,若ff都在点x,y处连续,x

是否等于

C可 D偏导数连x2xy

,x,y0,反例2fx,y

x,y0, x0x

例2设fx,yex2y4, Afx00,fy00Cfx00存在,fy00

Bfx00不存在,fy00Dfx00,fy00

xy2 x2f 2f y2f dt,求 2 ty xt解: yex2y2

2

yex2y22xy22xy3ex2y22根据对称性,

2x3yex2y22

ex2y22x2y2ex2y2x2 2 y2 x2于是 2 y x例4设fxy

x2x2

xy0,0,讨论fxy在点0,0 x,y0, ,x,y0,0,讨论fx,y在点0,0的连续性、可导

x,y0, Aa2,b Ba2,b Ca3,b Da3,b设uuxyvvxy在点xy处有对xy的偏导数zfuv在对应点可微,zfufvfufv；zfufvfufv u v 1 2 u v 1 2注:无论f对谁求导,求导后的新函数与原来的f有相同的复合关系例1设zfuvxuuxyvvy都是可微函数,求z和z 例2设zfexsinyx2y2其中f具有二阶连续偏导数

.yy 例3设zfu,x,y,uxe,其中f具有二阶连续偏导数 例4设zf2xygx,xy,其中f二阶可导,g具有具有二阶连续偏导数,求ux

4xy3y20化为z关于uvuv分析:将u,v作中间变量分别计算 解zzzzazbz v

及

2z2z 2z2z2z 22z 2zb22

a 2ab

x

2

xyau2abuv 2.带入原方程22 22 必须有14a3a20,14b3b20,且24ab6ab0a1b1或a1,b1

注: 和与z具有相的复合结构,对

设Fxy0有连续一阶偏导数且F0,则Fxy0确定yyxdyFxy且z

z

x2,12例7设zzxyzyz0确定其中F有连续偏导数求xzyz y x u

y

求x，设zfxy在x0y0的某邻域有定义若对该邻域内任意xy有fxyfx0y0则称x0y0为fxy的极大（小）值点称fx0y0为fxy极大（小）值设函数zfxy在x0y0的某邻域内有二阶连续偏导数,且fxx0y00,fyx0y0 若 0,则x0,y0是 x,y的极值点,且 若B2AC0,则xy不是fxy 若B2AC0,则法则失效,xy可能是也可能不是fxy A0, B0, C3, 求zfxy在条件xy0（1）构 日函数Fx,y,fx,yx,yF x,yx,y

fxyz在约束xyz0或xyz0下的最值注:无条件极值和条件极值都是先找可疑点,只不过前者是找函数fx,y后者是找 日函数F,y,的驻点；另外,对条件极值我们用 日乘数法找到的驻点只能说是可能的极值点,但这些点到底是不是极值我们一般是判别不了的,故考试中经常遇到的都是求条件最值.求二元连续函数zfxy在有界闭区域D求fxy在D求fxy在D例2求函数ux2y2z2在条件zx2y2及xyz4下的最大值与最小值 x2y2z2在xy2z21条件下的最小值 例5求fxyxy2在椭圆域Dx4

第九 二重积定义

fxydlimf,其中dmaxdd为小区域 d0 注:

D D若fxy表示平面域D的面密度,则它的质量mfxydD当zfxy0时,二重积分fxyd表示以区域D为底,曲面zfxyDDD fx,ydfx,ydfx,yd,

D2D, D2 D

D

fx,y

fxyM,则mADfxydMAD其中AD表示D的面积DD若D是X型积分区域,即D:axb,xyx, fx,ydb

21

fx,y若D是Y

D:cyd,yxy, fx,ydddy2yfx,y

1 首先,在极坐标下有xrcosyrsin 若D:,r rr,则 x,yd D

11

frcos,rsin被积函数形如fx2y2或fy或fxx y 普通对称 2fxydxdyfxy对xfx,ydxdy 2fxydxdyfxy对yfx,ydxdy 若D关于直线yx对称,则fx,ydxdyfy, x例 x a,则exey DD y1 fx,yy1 2 例3累次积分2dcosfrcos,rsinrdr A0 fx,y B0 fx,yC0dx0fx,y44累次积分

D0frcos,rsinrdr

fx,y0x fx,y fx,y0x 2 x,y 2 x,y 2

1

x

dy

x2DD

xdxdy其中Dx2y2 1 1xD

x2y2

dxdy其中D:1x2y24,x0yDD

xx2y21d其中D0x1,0y第十 无穷级数（数二不要n

un称为一般项或通项,Snunu1u2 un称为级数的部分和 若部分和Sn的极限limSn存在,即limSnS则称级数un收敛并称极限值S为级数un

即unlimSnlimunS若部分和数列Sn的极限limSn不存在,则称级数un nk

n

如果级数un收敛,则limun

注:limun0,则级数un limun0,则级数un一定发散. 若un0从某项开始即可为什么？）,称un为正项级数正项级数un收敛部分和Sn v收敛u 设u和v都是正项级数,且0uv,则

n都是正项级数n都是正项级数

u发散vn1 nn设 n

lim

l0l, n （1）若l0u更小,则

u发散,则

v若

（2）若lv更小,则

v发散,则

u若

注:aqnaqn

q1时收敛

a1q 1p1

q q p级数npp1时发散;当p1时,n n

设un为正项级数,则lim

n

设un为正项级数则limnun1或+ 若 （从某项开始即可,称1n1u为交错级数 设交错级数1n1u满足:1limu;2）u n

n

注:1）条件“u

un1un方法二：构造一个可导函数fx使un

,则称un为任意项级数 设un是任意项级数,若un收敛,则称un绝对收敛； 定义 设un是任意项级数,若un收敛,但un发散,则称un条件收敛

定理 若任意项级数un绝对收敛,则un收敛 n1 n n1

n1 n 1 n2 B

C

Dn1x30n1x301333 n1333 n3例5设正项级数a收敛证明级数a2收敛 nn

;nn；；11n n11n n

nln（2）2

A

nnn1

sinnk为常数） n1 C发 D敛散性与k有A

a收

1na收 C

a D

anan1n

n2 2中心点为0的幂级数axnaaxax2 n

n

anx2中心点为x的幂级数axx

aaxxaxx

ax

n

若x使axn收敛,则称x是幂级数axn的收敛点所有收敛点构成的集合称为收敛域 n0 （1）定若幂级数axn在xxx0处收敛xx的一切x幂级数axn都绝对收敛

若幂级数axn在xxx0处发散xx的一切x幂级数axn都发散

使得xR,R时,幂级数axn收敛,x,R R,时,幂级数axn

nn

l或 l,则收敛半径R注:

ann

n1或

n

n

设幂级数axn的收敛半径为R,收敛域为I和函数为Sx,即Sxax

Sx在收敛域ISx在收敛域I上可积,且逐项积

xStdtxatndtx

xatndt

1a；

0 0

n1可导 Sx在收敛区间R,R上可导,且有逐项求 Sx

a

axnna；n n

00fxfxxx fnxxxn 为fx在xx 00 注:若x00上述级数称为fx n!1x2! n! ,xn 2nn 2n ,x（2sinx

2n

x n ncosx12n!12!4! 12n! ,x n1

xx2x3

n1xn

ln1x

,n

1 1

xn1xx2 xn ,1x n1xn,1x x en

n12n

3 3

ax1n在x1处收敛,在则此级数在x2 n C发 例4若幂级数axn在x3处条件收敛,则幂级数nax1n1的收敛区间

: ;2）fxln1x x23x 1

1

2anx

1x求an

2n

n0 a1lfxcos

xdx,n0,1,

上可积,则称b l

f

xdx,n1,2,l为f

a0

n xn

x

2ancoslxbnsinlx 设fx在ll则fx的 级数在l,l上处处收敛,且

fx

若xll为fx cosnxbsinnx

0fx,若 l,l为 x第一类间断 20 2

l

n1 fl0fl ,若xl,l上的奇偶函数f包括经奇延拓或偶延拓的函数） 0,

allfxcosnxdx,n0,1,lbn fl

0xdx,n1,2, 0 lf b

bn0,n1,2,a02a02n

l

（余弦级数l1,x 1x2,0xx,x

,则其以2为周期的级数在x处收敛 0x

级数的和函数Sx 例13设x2acosnxx,则a 第十一 向量代数与空间解析几何（仅数一记为向量a在三个坐标轴上的投影xyz称为向量的坐标记为axyzxiyjaa且 x2y2z2,进一步 aax2y2若axx2y2

,cos

,cos x2x2y2几何表示:ababcos其中是a与b的夹角；坐标表示abaxayazbxbybzaxbxaybyazbz；判定垂直:a垂直bab0axbxaybyazbz几何表示:abababsin其中是a与b 坐标表示:ab

az判定平行a平行b

ab0

ayaz 几何表示:ab,cab 坐标表示:abc bz

bz点法式

xyz1;这里a,b,c是平面在三个坐标轴上的截距. 注:1）过原点的平面AxByCz平行于x轴、y轴、z轴的平面分别为ByCzD0、AxCzD0、AxByD过x轴、y轴、z轴的平面分别为ByCz0、AxCz0、AxBy点向式xx0yy0zz0 一般式A1xB1yC1zD1 AxByCzD xx0

yymt，其中slmn zz A2B2C点P0x0y0z0到平面AxByCzD0的距离dAx0By0A2B2C 0 0 0 0 s,点Px,y,z到直线 ,

xxt；参数式:yyt,tzzt注:动直线沿定曲线平行移动形成的曲面称为柱面,动直线叫母线,定曲线叫准线

中消去z得到的二元方程Hx,y0是母线平行于z在曲线C

联立z0,即z 隐式曲面:Fx,y,z0 显示曲面:zfx,y xxt参数式曲线yytzzt

切向量xtytzt一般式曲线:

切向量n1定义

limfx0tcos,y0tcosfx0,y0lx0,y0

若zfxy在x0y0点可微,则fxy在x0y0点处沿任意方向l且 fx,ycosfx,ycos,其中cos,cos是方向l的方向余弦lx0,y0 定义 gradfx,yx0,y0fxx0,y0ifyx0,y0jfxx0,y0,fyx0,y0梯度是一个向量 解记M6,3,2,则OM63,2平面4xy2z8的法向量n041, 设所求平面发法向量为n,则n与n0及OM都垂直故取nn0OM6故所求平面方程是2x02y03z00,即2x2y3z

24i4j 注:例2经过点A1,2,3,垂直于直线L 且与平面:7x8y9z100平 的直线方程

1 ijk且s与平面的法向量n7,8,9也垂直故可取ss1n563i6j789故直线方程是:x1y2z3 注:x3y2z1

2xy10z3 B在 D与斜 x2y22z2例4以C:x2y2z20为准线,母线平行于z轴的柱面方程 例6直线L:x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线L的方程 z2x2:

y A只有1

zB只有2 D不存x2y2z2

Byoz Czox Dxyz1平

y2z2在点A1,0,1处沿点A指向点B3,2,2方向的方向导数 z 13gradxyy2,1,1 第十二 多元函数积分学（仅数一第1 定义

fx,y,zdvlim

f,,vi其中dmaxdidi为小区域vi

i d0 （2）若fxyz表示空间体的体密度,则它的质量mxyz,在此上下限内对z作定积分于是fxyzdvdxdyz2xyf DDDD

x2y2z1及z2围成然后在z和z之间任意处作一平面zz截得一截面区域Dz在此Dz上对x作二重积分于是fxyzdvdzfxyz 当fxyz仅为z的函数或仅是特殊的xy的函数（如x2y2,

x2y2z1及z2围成xrsin（1）直角坐标与球坐标的关系yrsinsin其中0r002 zr（2）球坐标下的体积元素dvr2sin fx,y,zdvfrsincos,rsinsin,rcosr2sin 注:1）当fxyzgx2y2z2且积分区域1x2y21x2y2

x2y2与z1围成

fxyzdv2fxyzdv,fxyz对z是偶函数上 上例4设:x2y2z2R2z0;x2y2z2R2x0,y0,z x2x2

z ,x2 ,

1及

x2y2z2dv其中由x2y2z2z围成 解利用轮换对称性有x2dvy2dv 则Iax2by2cz2dvabcx2dvabcx2y2z2 abc R ab

rrsindr

3

abcR 第2 定义1fxydslimnf,s其中maxss为第i个小弧段的长度

i:L 第一型曲线积分与曲线的方向无关,即fx,yds fx,y 若平面曲线Lyyxaxb,则fxydsbfx,yx1y2x 若平面曲线Lxxt,t,则fxyds

fxt,ytx2ty2tyyt 若平面曲线Lrr,,则Lfxyds

frcos,rsinr2r2d另外,若是对空间曲线Lxxtyytzzt,t

fx,y,zds

fxt,yt,zt x2ty2tzt注:第一型曲线积分化成定积分时必须注意要下限上限2

xds 若平面曲线L关于y轴对称,被积函数fx,y对x有奇偶性,Lfx,ydsL

若fxy对xfxyds若fxy对x是偶函数若平面曲线L关于x轴对称被积函数fxy对yLfx,ydsL

若fxy对yfxyds若fxy对y是偶函数 若x,y互换积分曲线L不变,则Lfx,ydsLfy,xx2Lex2Le 例2设l为椭圆431,其周长为a,则L2xy3x4yds 例3设Lx2y2z2R2,

xyz ,即xdsydszds1xyzds10ds 3 3且x2dsy2dsz2ds1x2y2z2ds

R2ds

1R22R

3故I022R34

3

x2y2z2 x

第3 n定义

变力FPxyiQxyj沿着曲线L从A到B所做的功WLPdx 第二型曲线积分与曲线的方向有关,即LPdxQdyLPdxLPdxQdyLPcosQcos 若定向曲线AB: y

,对应起点A,对应终点B,

Px,ydxQx,ydyPxt,ytxtQxt,ytyt 注: 22

P函数Pxy，Qxy在D上有连续的一阶偏导数,则LPdxQdyxD

y L2o对D内任一闭曲线l积分PdxQdyl5oPdxQdy0在D6oQP,x,y （33o中的ux,y也称PdxQdy的原函数如何找到ux,y？

QdyuBu注:方法二的缺点在于一般情况下原函数ux,y故方法一用的比较多;方法二的优点在于如果能预先找到PdxQdy的一个原函数ux,y则既可说明积分LPdxQdy与路径无关又同时可算出积分LPdxQdy而方法一必须事先验证积分LPdxQdyxxtzzt Pxt,yt,ztxtQxt,yt,ztytRxt,yt,ztzt

t,,PQRPQRPQR或lPdxQdyRdz

若能找到某三元函数uxyz使duxyzPxyzdxQxyzdyRxyzPdxQdyRdzux,yzuxyz.11x,y,z 11L L解PdxQdyRdzx2dxy2dyz2dz2yzdxxzdyxydzx3 y3 z3 x3y3 d3d3d32dxyzd

x3y3

Lx2yzdxy2xzdyz2xydz 2xyz1,0,1 LLx2y22x到点2,0再沿圆周x2y24到点02的曲线段

x2

起点是a,b,终点是c,d,记I 1y2fxydx y2fxy1Ly y2 L L过点1,2求方程Fx,y0确定的曲线.L例7设L是x2y21与yz0的交线,从z轴正向往负向看为逆时针方向,则zdxydz L

x

求空间第二型曲线积分I

y2dxz2dyLx

R

R R 解:（参数法）由x2y2Rx y2 y ,0t2 2 2 2

zRsin2 2 t2

22 t I sintsintR cost costcosdt 0 2 第4 定义

fxyzdSlimf,,S其中maxdd为小曲面块S i 0 若fxyz表示曲面块的面密度,则它的质量mfx,yz第一型曲面积分与曲面的侧无关,即fxyzdSfxyz 设曲面zzx,y在xoy2为D2xyzx,y在Dxy上有连续的一阶偏导数则fx,y,zdS fx,y,zx,y1zz 对其它去曲面:xxy,z或:yyx,z有类似 若曲面关于xoy面上下轴对称,被积函数fx,y,z对z有奇偶性,fx,y,zdS fx,y,zdS 2fxyzdS若fxyz对z 上积分曲面关于yoz面或xoz面对称被积函数fxyz对x或y 若x,y互换曲面不变,则fx,y,zdSfy,x,z

x220z例2求I