高中数学北师大版选修21讲义第二章2空间向量的运算

§2空间向量的运算eq\a\vs4\al([对应同学用书P18])空间向量的加减法在射击时，为保证精确?????命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100m远处的目标射击，风速为西风1m/s.问题1：射手能否直接瞄准目标射击？提示：不能．问题2：射手应怎样瞄准目标？提示：瞄准方向为北偏西肯定角度．问题3：问题2的缘由是什么？提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成．问题4：空间向量的加法与平面对量类似吗？提示：类似，满意平行四边形法那么．空间向量的加减法(1)空间向量的加法：设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以，为边作平行四边形，那么对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图．(2)空间向量的减法：a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．(3)空间向量加减法的运算律：①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．②交换律：a＋b＝b＋a.空间向量的数乘a为一空间向量．问题1：空间向量a与一个实数λ的乘积为λa，λa是向量吗？提示：是．问题2：当λ＝0时，λa＝0对吗？提示：不对，应为0.问题3：假设a与λa方向相反，λ的取值范围是什么？提示：(－∞，0)．空间向量的数乘(1)定义：与平面对量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍旧是一个向量，记作λa.(2)向量λa与a的关系：λ的范围方向关系模的关系λ＞0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ＜0方向相反(3)空间向量的数乘运算律：①交换律：λa＝aλ(λ∈R)；②安排律：λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③结合律：(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．(4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a＝λb.空间向量的数量积设a，b，c是任意空间向量，类比平面对量的数量积，答复以下问题．问题1：由a·b＝0，肯定能推出a＝0或b＝0吗？提示：不肯定，也可能〈a，b〉＝eq\f(π,2).问题2：由a·b＝a·c能得到b＝c吗？提示：不肯定．问题3：(a·b)c＝a(b·c)成立吗？提示：不肯定．空间向量的数量积(1)空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)运算律：①交换律：a·b＝b·a；②安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)常见结论：①|a|＝eq\r(a·a)；②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)．(4)对任意一个非零向量，把eq\f(a,|a|)叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向．与平面对量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点：(1)空间向量的加减法满意平行四边形和三角形法那么，结果仍是一个向量．(2)空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．(3)两向量共线，两向量所在的直线不肯定重合，也可能平行．(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．eq\a\vs4\al([对应同学用书P19])空间向量的线性表示[例1]四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求以下各题中x，y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.[思路点拨]要确定等式＝＋x＋y中x，y的值，就是看怎样用，，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，只需把用，，表示出来即可．[精解详析](1)如图．∵＝－＝－eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.[一点通]解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的根底上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法那么或三角形法那么求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．1．如图，空间四边形ABCD，设M，G分别是BC，CD的中点，那么－＋等于()A.eq\f(2,3) B．3C．3 D．2解析：－＋＝＋(－)＝＋＝＋2＝3.答案：B2．设E，F是长方体ABCD－A1B1C1D1中AC，A1D的中点，假设向量＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．解：∵＝＋＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝0，z＝eq\f(1,2).∴x＋y＋z＝0.3.如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是BB1的中点，化简以下各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)＋；(2)＋＋eq\f(1,2)；(3)－－.解：(1)＋＝.(2)由于M是BB1的中点，所以＝eq\f(1,2).又＝，所以＋＋eq\f(1,2)＝＋＝.(3)－－＝－＝.向量，，如下图.共线向量[例2]如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：与为共线向量．[思路点拨]要证与共线，依据共线向量定理只要证明＝λ即可．[精解详析]∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2).又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3).∴＝－＝eq\f(2,3)－eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(－)＝eq\f(2,3).∴＝eq\f(3,2).∴＝eq\f(3,4).∴与为共线向量．[一点通](1)判定向量共线就是充分利用条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法那么，结合详细图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同始终线，即此时三点共线．4．与共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：假设与共线，那么∥，此时AB与CD可能平行也可能为同始终线；而假设AB∥CD，那么必有与共线．应选B.答案：B5．设e1，e2是平面上不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，假设A，B，D三点共线，求k的值．解：＝－＝e1－4e2又＝2e1＋ke2，A，B，D三点共线，∴＝λ，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.∵e1，e2是不共线向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ.))∴k＝－8.6.如下图，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，推断与是否共线．解：由于M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2).又由于＝＋＋＋＝－eq\f(1,2)＋－－eq\f(1,2)，以上两式相加得＝2，所以∥，即与共线.空间向量的数量积及应用[例3]空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[思路点拨]要证OG⊥BC，只需证·＝0，关键是把，用一组向量，，表示出来．[精解详析]如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设＝a，＝b，＝c，那么|a|＝|b|＝|c|，又＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，＝c－b，∴·＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2cosθ－|a|2cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥.∴OG⊥BC.[一点通]1．向量的数量积是一个实数，只要知道|a|，|b|及cos〈a，b〉即可用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．2．常用a·b＝0证明a⊥b，这是向量数量积的重要应用．3．常用cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求两向量夹角余弦值，这是向量数量积的另一个重要应用．7．设|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，那么(2a＋b)2＝()A．2eq\r(3) B．12C．2 D．4解析：(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos120°＋4＝4.答案：D8．非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，那么a＋b与a－b的位置关系是________．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：垂直9.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点．求以下向量的数量积：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解：(1)在空间四边形ABCD中，||＝||＝a，且〈，〉＝60°，所以·＝a·acos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，所以·＝a2cos60°＝eq\f(1,2)a2.(3)||＝eq\f(1,2)a，||＝a，又∥，〈，〉＝π，所以·＝eq\f(1,2)a2cosπ＝－eq\f(1,2)a2.(4)由于||＝eq\f(1,2)a，||＝a，∥，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.所以·＝eq\f(1,2)a2cos60°＝eq\f(1,4)a2.1．在运用空间向量的运算法那么化简向量表达式时，要结合空间图形，观看分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法那么，把空间向量转化为平面对量解决，并要化简到最简为止．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．3．敏捷地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键．eq\a\vs4\al([对应课时跟踪训练六])1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以下各式中运算的结果为向量的是()①(→－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(－)＋.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：(－)－＝－＝，(＋)－＝＋＝.应选A.答案：A2.如下图，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么以下向量的数量积等于a2的是()A．2·B．2·C．2·D．2·解析：2·＝－2a2cos60°＝－a2,2·＝2·＝2a2cos60°＝a2,2·＝·＝－a2,2·＝·＝－·＝－eq\f(1,2)a2，应选B.答案：B3．如图，空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，那么＋eq\f(1,2)(＋)＝()A． B．C． D.eq\f(1,2)解析：＋eq\f(1,2)(＋)＝＋＝.答案：A4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满意·＝·＝·＝0，那么△BCD为()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析：＝＋，＝＋，＝＋，∴cos〈，〉＝eq\f(＋·＋,|＋|·|＋|)＝eq\f(,|＋||＋|)＞0，∴〈，〉为锐角，同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．答案：B5．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，假设＋＋＋＝x，那么x＝________.解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.答案：46.如下图，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，那么CD的长为________．解析：∵eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(CD2,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))2＝eq\o(AB2,\s\up7(→))＋eq\o(AC2,\s\up7(→))＋eq\o(BD2,\s\up7(→))－2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))－2eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝16＋36＋64＝116，∴|eq\o(CD,\s\up7(→))|＝2eq\r(29).答案：2eq\r(29)7．在四周体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两相互垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．解：∵＝＋＝＋eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋＋)．∴·(＋＋)＝eq\f(1,3)(＋＋)2＝eq\f(1,3)(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·)＝eq\f(1,3)(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).8.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．解：(1)证明：eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.又△ABC为正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－〈，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up7(→))·eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))·(eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s