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高考大题研究课一利用导数研究不等式恒(能)成立问题题型一分离参数求参数范围例1[2023·河北唐山模拟]已知函数f(x)=ex+3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性:(2)若函数f(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解析:(1)因为f(x)=ex+3ax,x∈R,所以f′(x)=ex+3a,①当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在R上单调递增;②当a<0时,f′(x)=ex+3a,令f′(x)=0,解得x=ln(-3a),所以x∈(-∞,ln(-3a))时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(ln(-3a),+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,ln(-3a))上单调递减,在(ln(-3a),+∞)上单调递增.
题后师说分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
解析:(1)因为f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,所以切线的斜率k=f′(e)=2,f(e)=e.所以f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.
题后师说遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数h(x)=f(x)-g(x)或“右减左”的函数u(x)=g(x)-f(x),进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0,将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最值的问题,适用范围较广,但是往往需要对参数进行分类讨论.
题型三双变量的恒(能)成立问题例3[2023·福建厦门模拟]已知函数f(x)=ax+lnx.(1)试讨论f(x)的极值;(2)设g(x)=x2-2x+2,若∀x1∈(0,+∞),∃x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
[2020·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(
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