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高考大题研究课一利用导数研究不等式恒(能)成立问题题型一分离参数求参数范围例1[2023·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝ex＋3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性：(2)若函数f(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝ex＋3ax，x∈R，所以f′(x)＝ex＋3a，①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在R上单调递增；②当a<0时，f′(x)＝ex＋3a，令f′(x)＝0，解得x＝ln(－3a)，所以x∈(－∞，ln(－3a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(ln(－3a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(－∞，ln(－3a))上单调递减，在(ln(－3a)，＋∞)上单调递增．

题后师说分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

解析：(1)因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，所以切线的斜率k＝f′(e)＝2，f(e)＝e.所以f(x)在(e，f(e))处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.

题后师说遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．

题型三双变量的恒(能)成立问题例3[2023·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝ax＋lnx.(1)试讨论f(x)的极值；(2)设g(x)＝x2－2x＋2，若∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈[0，1]，使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围．

[2020·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(

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