高二数学苏教版选修12讲义第3章32第二课时复数的乘方与除法运算

其次课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，假设a·b＝c(a≠0)，那么b＝eq\f(c,a).反之，假设b＝eq\f(c,a)，那么a·b＝c.那么在复数集中，假设z1·z2＝z3，有z1＝eq\f(z3,z2)(z2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：假设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，那么eq\f(z1,z2)如何运算？提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有(z)m·(z)n＝(z)m＋n；(zm)n＝zmn；(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2).2．虚数单位in(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.3．复数的除法运算及法那么把满意(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.由eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．eq\a\vs4\al([对应同学用书P41])虚数单位i的幂的周期性[例1]求1＋i＋i2＋…＋i2014的值．[思路点拨]利用in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析]法一：1＋i＋i2＋…＋i2014＝eq\f(1－i2015,1－i)＝eq\f(1－i2014·i,1－i)＝eq\f(1＋i,1－i)＝i.法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，∴1＋i＋i2＋…＋i2014＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014＝1＋i－1＝i.[一点通]等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．1．假设z＝－eq\f(1－i,\r(2))，那么z2014＋z102＝________.解析：∵z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－i,\r(2))))2＝－i，∴z2014＋z102＝(－i)1007＋(－i)51＝(－i)1004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i＋i＝2i.答案：2i2．设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6·…·i12，那么z1与z2的关系为z1________z2(用“＝〞或“≠〞填)．解析：∵z1＝eq\f(i41－i9,1－i)＝eq\f(i41－i,1－i)＝1，z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝ieq\f(4＋12×9,2)＝i72＝(i4)18＝1，∴z1＝z2.答案：＝复数的除法[例2]计算：(1)eq\f(i－2\r(3),1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))2；(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i).[思路点拨]解答较为简单的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法那么、运算律，另一方面要留意观看式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析](1)原式＝eq\f(1＋2\r(3)ii,1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))2＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.(2)原式＝eq\f(2\r(2)1＋i35－4ii,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i4i,1－i1＋i)＝eq\f(2\r(2)[1＋i2]2i,2)＝eq\r(2)·(2i)2i＝－4eq\r(2)i.[一点通]复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟识以下结论对简化运算很有关心．b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.3．设复数z＝eq\f(2i,－1＋i)，那么复数z2的实部与虚部的和为________．解析：∵z＝eq\f(2i,－1＋i)＝eq\f(2i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2i－1－i,2)＝－i＋1，∴z2＝(1－i)2＝1－2i－1＝－2i.实部为0，虚部为－2.因此，实部与虚部的和为－2.答案：－24．假设复数z满意z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，那么z＝________.解析：∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.答案：3＋5i5．化简：eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\r(3)i))3,1＋i6)＋eq\f(－2＋i,1＋2i)＝________.解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(3)i,2i)))3＋eq\f(－2＋i1－2i,5)＝i＋i＝2i.答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将非常麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化〞，最终再化简．2．留意复数计算中常用的整体(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(3)设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，那么ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝eq\x\to(ω)，eq\x\to(ω)3＝1.eq\a\vs4\al([对应同学用书P42])一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z满意(1－i)z＝2i，那么z＝________.解析：z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i1＋i,2)＝－1＋i.答案：－1＋i2．设i是虚数单位，复数eq\f(10,3－i)的虚部为________．解析：eq\f(10,3－i)＝eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝3＋i.答案：13．假如z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－2i,2＋i2)，那么eq\f(z1,z2)＝________.解析：∵z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－i,2＋i2)，∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－3i2＋i2,3－2i)＝eq\f(－i3－2i2＋i2,3－2i)＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)i是虚数单位，计算eq\f(1－i,1＋i2)＝________.解析：eq\f(1－i,1＋i2)＝eq\f(1－i,2i)＝eq\f(1－ii,－2)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i5．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8①那么iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝eq\f(i1－i8,1－i)－8i＝－8i.∴S＝eq\f(－8i,1－i)＝eq\f(－8i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－8i1＋i,2)＝4－4i.答案：4－4i二、解答题6．计算eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20.解：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·1＋－i5))2－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.7．复数z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)，假设z2＋eq\f(a,z)＜0，求纯虚数a.解：z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，那么z2＋eq\f(a,z)＝(1－i)2＋eq\f(mi,1－i)＝－2i＋eq\f(mi－m,2)＝－eq\f(m,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－2))i＜0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)＜0，,\f(m,2)－2＝0，))∴m＝4.∴a＝4i.8．1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．(1)求a、b的值；(2)试推断1－i是否是方程的根．解：(1)∵1