整式乘法平方差公式

平方差公式人教（PEP）课标版八年级上册数学81中张延芝王敏捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,王敏捷就说出应付99.6元,结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好象是个神童,怎么算得这么快？”王敏捷同学说：“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式”你知道王敏捷同学用的是一个什么样的公式吗？(1)图中阴影部分的面积为______.(2)将阴影部分拼成右图的一个长方形,这个长方形的长是____,宽是____,面积是______.(3)比较(1)(2)的结果即可得到:(a+b)(a-b)=a2-b2

如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b).则a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)探究:3.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？规律：1）左边是两个数的和乘以这两个数的差；2）右边是这两个数的平方的差．2.计算下列多项式的积：

(1)(x+2)(x-2)(2)(1+3a)(1-3a)(3)(x+5y)(x-5y)(4)(y+3z)(y-3z)

平方差公式

对于大家提出的猜想,我们一起来进行证明．证明：(a+b)(a-b)

我们经历了由发现——猜测——证明的过程,最后得出一个公式性的结论,我们将这个公式叫做平方差公式.两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.（多项式乘法法则）（合并同类项）注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．即：（a+b)(a-b)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.公式的结构特征:(1)左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数.(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).(3)公式中的a,b可以代表数,字母,单项式或者多项式.分析:你知道吗？用公式关键是识别两数完全相同项—a

互为相反数项—b(2a+3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2-9b2(a+b)(a－b)=a2－

b2公式的应用

例1.用平方差公式计算下列各题（1）（2）ab(1)(5+6x)(5-6x)a(2)(x-2y)(x+2y)b分析:要利用平方差公式解题，必须找到是哪两个数的和与这两个数的差的积结果为这两个数的平方差.解：原式解：原式

ba例2.用平方差公式计算下列各题(-m+n)(-m-n)(1)(-m+n)(-m-n)解：原式(2)(-2x-5y)(5y-2x)解：原式变式一

(

－3X＋2)(－3X－2)变式二

(

－3X－2)(3X－2)变式三

(－3X＋2)(3X＋2)=(－3x)2－22变一变，你还能做吗？=(－2)2－(3x)2=22－(3x)22.判断下列式子是否可用平方差公式考考你(1)(-a+b)(a+b)(2)(-a+b)(a-b)

(3)(a+b)(a-c)(4)(2+a)(a-2)

(5)(6)(1-x)(-x-1)(7)(-4k3+3y2)(-4k3-3y2)3.请你判断下列计算对不对？为什么？(1)(x2+2)(x2-2)=x4-2

()(2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36(

)(3)(2x+3)(x-3)=2x2-9()(4)(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1(

)(5)(mn-1)(mn+1)=mn2-1()例3:计算(3a2-7)(-3a2-7)

步骤:1.判断；2.调整；3.分步解．（注意:要用好括号;幂的运算）解：原式=(-7+3a2)(-7-3a2)

＝(-7)2-(3a2)2

＝49-9a4例题解析随堂练习1.利用平方差计算:(1)(3a+2b)(3a-2b)(2)(a5-b2)(a5+b2)(3)(3x+2)(3x-2)(4)(b+2a)(2a-b)(5)(-x+2y)(-x-2y)(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)2、计算：(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)2)–3x(x+1)(x-1)-x(3x+2)(2-3x)3)–4(2y-)(+2y)+3(2y-3)(2y+1)4)(x+)(x2+)(x-)不列竖式不用计算机你会算51×49吗?解：51×49=(50+1)(50-1)

=2500-1=2499下面几个式子由你任挑一个进行简便运算102×98

71×69解:原式=(100+2)(100-2)=10000–4=9996解:原式=(70+1)(70-1)=4900–1=4899解决问题(1)解决问题(2)=22-1=(22-1)(22+1)=24-1=(24-1)(24+1)=28-1(2+1)(22+1)(24+1)(216+1)…(2-1)(2+1)(2-1)(2+1)(22+1)(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)=232-1=……1.试用语言表述平方差公式

(a+b)(a−b)=x2−b2。两数和与这两数差的积，等于