2022-2023学年苏教版高一数学新教材教学讲义7.2.2 同角三角函数关系

文档来源网络侵权删除7．2．2同角三角函数关系【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题题型三：与关系的应用题型四：利用同角关系化简三角函数式题型五：利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．（2022·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（

）A． B． C． D．例2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．变式2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）（

）A． B． C． D．变式3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．变式4．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．变式5．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题例4．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知，则（

）A． B． C． D．例5．（2022·江西·高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．例6．（2022·甘肃兰州·高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．变式6．（2022·黑龙江·绥化市第一中学高一期末）已知，则（）A． B． C． D．变式7．（2022·江苏南通·高一期末）已知为角终边上一点，则（

）A． B．1 C．2 D．3变式8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知，则的值为（

）A． B． C．6 D．变式9．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知，则________．【方法技巧与总结】①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．题型三：与关系的应用例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．例9．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知，若是第二象限角，则的值为__________.变式10．（2022·全国·高一课时练习）设，是的两根，则的值为__________．变式11．（2022·全国·高一专题练习）已知，则____________.变式12．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高一期中）已知，则的值为_________________．【方法技巧与总结】三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．题型四：利用同角关系化简三角函数式例10．（2022·江苏·高一）若0<α<，则＋的化简结果是_________.例11．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简(1)(2)(3)例12．（2022·全国·高一课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．变式13．（2022·全国·高一课时练习）化简：．变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：(1)的值；(2)方程的两根及此时的值．变式15．（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)；(2)．【方法技巧与总结】化简要求（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．题型五：利用同角关系证明三角恒等式例13．（2022·湖南·高一课时练习）求证：．例14．（2022·湖南·高一课时练习）证明：(1)；(2)．例15．（2022·全国·高一课时练习）求证：．变式16．（2022·江苏·高一课时练习）求证：（1）；（2）.变式17．（2022·江苏·高一专题练习）求证：.变式18．（2022·全国·高一课时练习）求证：．【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（文））已知，，且，则（

）A． B．C． D．3．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（

）A．锐角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形4．（2022·全国·高一课时练习）设，，则（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·清华附中高一期末）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(

)A． B． C． D．6．（2022·北京亦庄实验中学高一期末）若，，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2022·山东·德州市第一中学高一阶段练习）在ABC中，若，则（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知角，，则（

）A．2 B． C．1 D．-1二、多选题9．（2022·重庆市第七中学校高一阶段练习）若，则可以是（

）A． B． C． D．10．（2022·广东惠州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A．的终边在第二象限 B．C． D．11．（2022·湖北襄阳·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．12．（2022·全国·高一课时练习）若，则角θ的取值范围可能为（

）A． B． C． D．三、填空题13．（2022·上海市文建中学高一期中）已知，，则___________.14．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则___________.15．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足方程组，则的一个值可以是___________.（写出满足条件的一个值即可）16．（2022·浙江·温州中学高一期中）若实数，满足，则的最大值为______.四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2).18．（2022·广西钦州·高一期末）已知是第二象限角，(1)求的值；(2)若，求tan．19．（2022·广东·珠海市斗门区第一中学高一阶