2022-2023学年苏教版高一数学新教材同步讲义2.1 命题、定理、定义

文档来源网络侵权删除2.1命题、定理、定义【知识点梳理】知识点一：命题1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题．3．分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点诠释：1．不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”．2．只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等．3．语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性．命题的结构：（1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．（2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．知识点诠释：1．一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论．2．有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式．知识点二：定理、定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．【题型归纳目录】题型一：命题的概念题型二：命题真假的判断题型三：命题的结构形式题型四：根据命题的真假求参数【典型例题】题型一：命题的概念例1．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））下列语句为命题的是（

）A． B．你们好！ C．下雨了吗？ D．对顶角相等例2．（2022·江西宜春·高三期末（理））唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗．”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（

）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思例3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））下列语句是命题的是（

）（1）；（2）画线段；（3）；（4）A．（1），（2） B．（3），（4） C．（2），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）例4．（2022·江苏·高一）下列语句中是命题的个数（

）①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“为有理数，则，也都是有理数”；⑤“作”．A． B． C． D．例5．（多选题）（2022·全国·高二期中）下列语句不是命题的有（

）．A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？C． D．【方法技巧与总结】依据命题的定义判断．题型二：命题真假的判断例6．（多选题）（2022·江苏·高一单元测试）下列说法中，以下是真命题的是（

）．A．存在实数，使B．所有的素数都是奇数C．至少存在一个正整数，能被5和7整除．D．三条边都相等的三角形是等边三角形例7．（多选题）（2022·江苏·高一）下列命题是假命题的为（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例8．（多选题）（2022·江苏·高一）给出以下四个命题，其中真命题是：（

）A．命题“若互为相反数，则”B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C．命题“若，则有实根”D．命题“若是正整数，则都是正整数”例9．（2022·江苏·高一）命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）．例10．（2022·江苏·高一）判断下列命题的真假，并说明理由：（1）若，是任意实数，则；（2）若，是实数且，则；（3）若，则有两个不相等的实数根；（4）若有两个不相等的实数根，则实数．例11．（2022·江苏·高一）判断下列各命题的真假，并简要说明理由：（1）方程有唯一的解；（2）若方程的两实数根同号，则；（3）如果，那么或；（4）合数一定是偶数．【方法技巧与总结】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行．题型三：命题的结构形式例12．（2022·江苏·高一）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．例13．（2022·江苏·高一）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．（1）实数的平方是非负数；（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；（3）当时，；（4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．例14．（2022·江苏·高一课时练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式．（1）绝对值相等的数也相等；（2）矩形的对角线相等；（3）角平分线上的点到角两边的距离相等；（4）两角分别相等的两个三角形相似．【方法技巧与总结】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论．题型四：根据命题的真假求参数例15．（2022·全国·高一课时练习）给出命题：方程没有实数根，若该命题为真命题，则的一个值可以是（

）A．4 B．2 C．0 D．例16．（2022·江西省靖安中学高二阶段练习（理））命题存在实数，使得能成为三角形的三边长．若命题为假命题，则的取值范围是______________．例17．（2022·江苏·高一）若和或都是假命题，则的范围是__________例18．（2022·江苏·高一）能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为______例19．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．例20．（2022·江苏·高一课时练习）若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围．例21．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高二阶段练习）已知，：关于的方程有实数根．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围．【同步练习】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·北京·临川学校高二期中（文））下列语句中不是命题的有（

）①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④2．（2022·江苏·高一）关于区间，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内

乙：区间I内不存在两个数互为倒数丙：区间I内存在小于1的数

丁：区间I内每个数的平方都大于它本身如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2022·江苏·高一）下列命题是假命题的有（

）A．若，那么 B．若，那么C．若，那么 D．若，那么4．（2022·江苏·高一）命题“若，则”为真命题，那么不可能是（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一单元测试）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（

）A．a≥－3 B．a>－3C．a≤－3 D．a<－36．（2022·江苏·高一单元测试）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（

）A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边7．（2022·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题8．（2022·全国·高三专题练习（理））在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，．给出下列三个结论：①；②对任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正确结论的序号是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）下列四个命题中，属于真命题的是（

）A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等C．所有质数的平方都不是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是偶数10．（2022·湖北·高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．集合有两个子集B．若，则C．集合里面有6个元素D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为11．（2022·全国·高一专题练习）给出下列结论，其中错误的是（

）A．不是空集B．若，则C．“存在，为偶数”是假命题D．集合是有限集12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）命题：存在实数，使得数据的中位数为．若命题为真命题，则实数的取值集合可以为A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·全国·高一课时练习）下列语句：①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方；②上课请不要迟到；③你今天吃早饭了吗？④三角形既有内切圆，也有外接圆．其中是命题的序号为___________．14．（2022·北京·北大附中高二期末）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________．15．（2022·辽宁朝阳·高一期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为___________．（格式正确，描述清楚即可）16．（2022·吉林·延边二中高一阶段练习）若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________．四、解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．17．（12分）（2022·全国·高一课时练习）已知：集合，，：．若，求实数的取值范围．18．（12分）（2022·湖南·衡阳市第二十六中学高二期中）把下列命题改写成“若则”的形式并判断它们的真假．（1）