两个平面垂直的性质及两个平面的位置关系

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论。如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面是否存在某些特定的关系．探究图8.6-30如图8.6-31，设α⊥β，α∩β＝a．在β内任意画一条直线b，b与a有哪些位置关系？相应地，b与α图8.6-30显然，b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与a相交时，b与α也相交．图8.6-32特别的，当b⊥a时，b⊥α图8.6-32如图8.6-32，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β知，b⊥c．又b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α．由此我们得到平面与平面垂直的性质定理．定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直．这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如，装修房子时，需要在墙壁上画出与地面垂直的直线，这时只要在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可．探究设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直．因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合．如图8.6-33，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β．图图8.6-33因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此aα．对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？下面的例子就是其中的一些结果。例9如图8.6-34，已知平面α，β和直线a有如下关系：α⊥β，a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系．解：在α内作垂直于α与β交线的直线b．图8.6-34∵α⊥β，图8.6-34∴b⊥β．又a⊥β，∴a∥b．又aα，∴a∥α．即直线a与平面α平行．三．两个平面的位置关系知识提要空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．(1)定义如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．(1)定义如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(3)性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面(2)如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线也垂直于交线．二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的平面角以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解．课前练习1．α、β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）证明如下：过不在α、β内的任一点P，作PM∥m，PN∥n，过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．，同理PN⊥NQ．因此∠MPN＋∠MQN=180°，故∠MQN=90°∠MPN=90°即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n2．自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．证明：如图PQ⊥，PQ⊥AB，PR⊥，PR⊥AB，则AB⊥面PQR．经PQR的平面交、于SR、SQ，那么AB⊥SR，AB⊥SQ．∠QSR就是二面角的平面角．因四边形SRPQ中，∠PQS＝∠PRS＝90°，因此∠P＋∠QSR＝180°．3．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离．解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，A是垂足，PB⊥N，B是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，C∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝，即为P点到直线a的距离，为．4．判定下列命题的真假

（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。ABCDA1D1C1B1解析：ABCDA1D1C1B1在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；

（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；

（3）如图,正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为600，即AD1与AC不垂直ABCDA1D1CABCDA1D1C1B1点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。5．设S为平面外的一点，SA=SB=SC，，若，求证：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D为AB的中点同理且即为且S在平面上的射影O为的外心则O在斜边AC的中点。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC教学过程一．平面与平面的平行已知平面、，如果直线⊥,⊥,求证：平面∥平面。证明：设，过O1作两相交直线，设与确定的平面为γ，，从而。同理。所以。已知平面∥平面，（1）若直线∥平面，判断直线与平面的位置关系。（2）若直线⊥平面，判断直线与平面的位置关系。（3）给出的三个平面（与、不重合），试判断平面、、之间的位置关系。解：（1）或。（2）。（3）或都相交。在正方体中，、分别为棱的中点，、分别为棱的中点。（1）求证：、、、共面；（2）证明：平面∥平面。证明：（1）EF//B1D1，B1D1//BD，∴EF//BD，∴E、F、B、D共面。（2）NE//A1B1，A1B1//AB，∴NE//AB，且NE=AB，∴ABEN是平行四边形。∴AN//平面BEFD。同理：AM//平面BEFD。∴平面∥平面。二．平面与平面的垂直已知平面∥平面，平面⊥，求证：⊥。证明：设在γ内作。在三棱锥中，∠∠，∠，，求证：平面SAB⊥平面SAC。证明：作BD⊥SA于D，DE⊥SC于E，连接BE，设SD=x,则SB=2x，，又，又，所以，所以BD⊥DE，又BD⊥AS，从而BD⊥面SAC。所以平面SAB⊥平面SAC。三．二面角在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分且分别交、于、，又，求以为棱，以、为面的二面角的大小。解：E为SC的中点，SB=BC，∴BE⊥SC，又DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC，又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，∴∠EDG为二面角E-BD-C的平面角。设SA=AB=1，则SB=BC=，∴SC=2，∴∠SCA=300，∴∠EDC=600，所以二面角E-BD-C的的大小为600。例7在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．AC，BD交于O点．（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．解析：（Ⅰ）解：连QO，则QO∥PA且QO＝PA＝AB∵PA⊥面ABCD∴QO⊥面ABCD面QBD过QO，∴面QBD⊥面ABCD故二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BD，∴CO⊥面QBD，∴CH在面QBD内的射影是OH。∵OH⊥QD，∴CH⊥QD，于是∠OHC是二面角的平面角．设正方形ABCD边长2，则OQ＝1，OD＝，QD＝．∵OH·QD＝OQ·OD，∴OH＝．又OC＝，在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝∴∠OHC＝60°，故二面角B－QD－C等于60°．例8河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？解析：已知所求河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解：取CD上一点E，设CE＝10m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．由此得：EG＝EFsin60°＝CEsin30°sin60°＝10××≈4.3（m）答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．例9四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径．证法一：利用定义法经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE．因底是正方形，故CD＝DA．△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°，则CE⊥PD．故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC．，而AE＜AD＜a．．所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．证法二：运用三垂线法∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．在面PBC内作PGBC，连GD．经C作CF⊥面PAD于F，那么连结EF，有EFAD．经