特殊平行四边形提高训练

-.z.特殊平行四边形提高训练一．选择题〔共16小题〕1．〔2016•灵璧县一模〕如下图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．〔2016•鄂州一模〕如图，在矩形AOBC中，点A的坐标〔﹣2，1〕，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是〔〕A．〔，〕、〔﹣，4〕 B．〔，3〕、〔﹣，4〕 C．〔，3〕、〔﹣，4〕 D．〔，〕、〔﹣，4〕3．〔2016•石峰区模拟〕矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，假设AM平分∠DMB，则DM的长是〔〕A． B． C． D．4．〔2016•姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是〔〕A．32 B．16 C．8 D．16+a25．〔2016•灯塔市二模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，DC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上〔点E不与点B、C重合〕，过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为〔〕A．6 B．1.5 C． D．6．〔2016•肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是〔〕A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm27．〔2015•〕过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．假设AB=，∠DCF=30°，则EF的长为〔〕A．2 B．3 C． D．8．〔2016•天津一模〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于〔〕A．2 B． C． D．9．〔2016•和县一模〕如图，菱形ABCD中，点O对角线AC的三等分点，连接OB、OD，且OB=OC=OD．AC=3，则菱形的边长为〔〕A． B．2 C． D．10．〔2016•丹东模拟〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则以下等式中一定成立的是〔〕A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE11．〔2015•西城区二模〕如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系*Oy中，O是原点，假设点A的坐标为〔1，〕，则点C的坐标为〔〕A．〔，1〕 B．〔﹣1，〕 C．〔﹣，1〕 D．〔﹣，﹣1〕12．〔2015•桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD中，对角线AC=6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE的值为〔〕A．3 B．3 C．2 D．613．〔2015•本溪二模〕如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是〔〕A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定14．〔2015春•石林县期末〕如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则∠BFC为〔〕A．75° B．70° C．65° D．60°15．〔2015•铁力市二模〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有〔〕个．A．5 B．4 C．3 D．216．〔2015•陕西模拟〕如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是〔〕A． B． C． D．二．解答题〔共11小题〕17．〔2016•咸阳模拟〕如图，矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．18．〔2016•市南区一模〕：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．〔1〕求证：△BFH≌△DEG；〔2〕连接DF，假设BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．19．〔2016春•南京校级月考〕：如图，BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：〔1〕四边形AFBE是矩形；〔2〕MN=BC．20．〔2016•安徽模拟〕如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．〔1〕求证：四边形BFCE是平行四边形；〔2〕当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．21．〔2016•十堰模拟〕：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．〔1〕假设CE=2，求BC的长；〔2〕求证：ME=AM﹣DF．22．〔2016•东平县一模〕如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．〔1〕求证：BD=DF；〔2〕求证：四边形BDFG为菱形；〔3〕假设AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．23．〔2016•南岗区模拟〕如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．〔1〕求证：AE=CG；〔2〕试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．24．〔2016•景德镇校级二模〕如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．〔1〕求证：点A与C关于直线BD对称．〔2〕假设∠ADC=90°，求证四边形MPND为正方形．25．〔2015•滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．求证：〔1〕∠DAG=∠DCG；〔2〕GC⊥CH．26．〔2016春•丹阳市校级月考〕如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F．〔1〕试说明OE=OF；〔2〕当AE=AB时，过点E作EH⊥BE交AD边于H，找出与△AHE全等的一个三角形加以证明，〔3〕在〔2〕的条件下假设该正方形边长为1，求AH的长．27．〔2015•荆州〕如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．〔1〕证明：PC=PE；〔2〕求∠CPE的度数；〔3〕如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一．选择题〔共16小题〕1．〔2016•灵璧县一模〕如下图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出AC=2AB，即可判断②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=〔180°﹣∠OBE〕=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=SCOE，∴④正确；应选C．2．〔2016•鄂州一模〕如图，在矩形AOBC中，点A的坐标〔﹣2，1〕，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是〔〕A．〔，〕、〔﹣，4〕 B．〔，3〕、〔﹣，4〕 C．〔，3〕、〔﹣，4〕 D．〔，〕、〔﹣，4〕【分析】如过点A、B作*轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题．【解答】解：如图过点A、B作*轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标〔﹣2，1〕，点C纵坐标为4，∴AF=1，FO=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，∴，∴EC=，∴点C坐标〔﹣，4〕，∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN﹣BN=3，BM=AE=3，OM=EC=，∴点B坐标〔，3〕，应选C．3．〔2016•石峰区模拟〕矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，假设AM平分∠DMB，则DM的长是〔〕A． B． C． D．【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，∴∠BAM=∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，∴∠BAM=∠AMB，∴BMB=AB=2，∴CM===，∴DM=CD﹣CM=2﹣；应选：D．4．〔2016•姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是〔〕A．32 B．16 C．8 D．16+a2【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积，减去△ABD面积与△BEF面积，求出△BDF面积即可．【解答】解：根据题意得：△BDF的面积=8×4+2a•a+×2a〔4﹣a〕﹣×8×4﹣a〔2a+8〕=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；应选：B．5．〔2016•灯塔市二模〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，DC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上〔点E不与点B、C重合〕，过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为〔〕A．6 B．1.5 C． D．【分析】连接OE，由矩形的性质得出CD=AB=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理得出OB=OC=，由△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积，即可得出结果．【解答】解：连接OE，如下图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，∵O是AD的中点，∴AO=DO=1，∴OB=OC==，∵△OBE的面积+△OCE的面积=△OBC的面积，∴OB•EM+OC•EN=BC•AB，∴〔EM+EN〕×=×2×3，解得：EM+EN=；应选：D．6．〔2016•肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是〔〕A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8*，6*，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出*，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进展计算即可得解．【解答】解：∵菱形的周长是20cm，∴边长为20÷4=5cm，∵两条对角线的比是4：3，∴设菱形的两对角线分别为8*，6*，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，则对角线的一半分别为4*，3*，根据勾股定理得，〔4*〕2+〔3*〕2=52，解得*=1，所以，两对角线分别为8cm，6cm，所以，这个菱形的面积=×8×6=24cm2．应选：D．7．〔2015•〕过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．假设AB=，∠DCF=30°，则EF的长为〔〕A．2 B．3 C． D．【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用"角角边〞证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．【解答】解：∵矩形对边AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO=CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE〔ASA〕，∴OE=OF，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∵∠DCF=30°，∴∠ECF=90°﹣30°=60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CF，∵AB=，∴CD=AB=，∵∠DCF=30°，∴CF=÷=2，∴EF=2．应选A．8．〔2016•天津一模〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于〔〕A．2 B． C． D．【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，∴AB==5．∵OH⊥AB，∴AO•BO=AB•OH，∴OH=，应选D．9．〔2016•和县一模〕如图，菱形ABCD中，点O对角线AC的三等分点，连接OB、OD，且OB=OC=OD．AC=3，则菱形的边长为〔〕A． B．2 C． D．【分析】由菱形的性质得出AB=BC，得出∠BAC=∠ACB，由条件得出OB=OC=AC=1，由等腰三角形的性质得出△BOC∽△ABC，得出对应边成比例，即可求出菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB，∵点O对角线AC的三等分点，∴OB=OC=AC=1，∴∠BAC=∠ACB=∠OBC，∴△BOC∽△ABC，所以，即，∴BA2=3，∴BA=；应选：A．10．〔2016•丹东模拟〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则以下等式中一定成立的是〔〕A．AB=BE B．AC=2AB C．AB=2OE D．AC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可．【解答】解：∵点E为BC的中点，∴CE=BE=BC，∵AB=BC，∴AB=2BE，应选项A错误；∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AO=CO=AC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=AB，应选项C正确；∵AC≠AB≠BC，∴AC≠2AB≠2OE，应选项B，D错误，应选C．11．〔2015•西城区二模〕如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系*Oy中，O是原点，假设点A的坐标为〔1，〕，则点C的坐标为〔〕A．〔，1〕 B．〔﹣1，〕 C．〔﹣，1〕 D．〔﹣，﹣1〕【分析】作AD⊥轴于D，作CE⊥*轴于E，则∠ADO=∠OEC=90°，得出∠1+∠2=90°，由正方形的性质得出OC=AO，∠1+∠3=90°，证出∠3=∠2，由AAS证明△OCE≌△AOD，OE=AD=，CE=OD=1，即可得出结果．【解答】解：作AD⊥轴于D，作CE⊥*轴于E，如下图：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为〔1，〕，∴OD=1，AD=，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD〔AAS〕，∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点C的坐标为〔﹣，1〕；应选：C．12．〔2015•桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD中，对角线AC=6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE的值为〔〕A．3 B．3 C．2 D．6【分析】由正方形的性质得出∠PAF=∠PCE=45°，证出△APF和△CPE是等腰直角三角形，得出PF=AP，PE=PC，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠BCD=90°，∠PAF=∠PCE=45°，∵PF⊥AD，PE⊥CD，∴△APF和△CPE是等腰直角三角形，∴PF=AP，PE=PC，∴PF+PE=〔AP+PC〕=AC=3；应选：A．13．〔2015•本溪二模〕如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是〔〕A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DEBF，AEFC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．应选：A．14．〔2015春•石林县期末〕如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则∠BFC为〔〕A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到CD=DE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC，又∵△ADE是正三角形，∴CD=DE，∠ADE=60°，∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=90°+60°=150°，∴∠ECD=∠DEC=15°，∵∠BDC=45°，∴∠CFD=180°﹣15°﹣45°=120°，∴∠BFC=60°，应选D15．〔2015•铁力市二模〕如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出以下五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有〔〕个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．【解答】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④错误，PD=PF=CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2．应选B．16．〔2015•陕西模拟〕如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是〔〕A． B． C． D．【分析】连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×+BE×PR×=BC×〔PQ+PR〕×=BE×CM×，BC=BE，∴PQ+PR=CM，∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，又∵BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM=BD=，即PQ+PR值是．应选：D．二．解答题〔共11小题〕17．〔2016•咸阳模拟〕如图，矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．【分析】由矩形的性质得出AE∥DF，∠BAD=90°，再由EF∥AD，证出四边形AEFD是矩形，得出AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，由SAS证明△AEM≌△DFM，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DF，∠BAD=90°，∵EF∥AD，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，∵M为EF的中点，∴EM=FM，在△AEM和△DFM中，，∴△AEM≌△DFM〔SAS〕，∴AM=DM．18．〔2016•市南区一模〕：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．〔1〕求证：△BFH≌△DEG；〔2〕连接DF，假设BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】〔1〕由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；〔2〕先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG〔AAS〕；〔2〕解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如下图：由〔1〕得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．19．〔2016春•南京校级月考〕：如图，BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：〔1〕四边形AFBE是矩形；〔2〕MN=BC．【分析】〔1〕由BE、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；〔2〕由矩形的F质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得ME∥BC，进而可得N为AC中点，根据三角形中位线性质求出即可．【解答】证明：〔1〕∵BE、BF分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，∴∠AFB=∠AEB=90°，∴四边形AEBF为矩形；〔2〕∵四边形AEBF为矩形，∴BM=MA=ME，∴∠2=∠5，∵∠2=∠1，∴∠1=∠5，∴ME∥BC，∵M是AB的中点，∴N为AC的中点，∴MN=BC．20．〔2016•安徽模拟〕如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．〔1〕求证：四边形BFCE是平行四边形；〔2〕当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．【分析】〔1〕由各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；〔2〕连接BF、CE，由AB=AC，D是BC边的中点，可知AD⊥BC，易证得△BFD≌△CFD，可得BF=CF；又因为〔1〕中△BDE≌△CDF得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形BECF是菱形．【解答】〔1〕证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠CFD=∠BED，在△CFD和△BED中，，∴△CFD≌△BED〔AAS〕，∴CF=BE，∴四边形BFCE是平行四边形；〔2〕解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：∵AB=AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴EF⊥BC，∴四边形BECF是菱形．21．〔2016•十堰模拟〕：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．〔1〕假设CE=2，求BC的长；〔2〕求证：ME=AM﹣DF．【分析】〔1〕根据菱形的性质可得CB=CD，AB∥CD，然后再证明∠2=∠ACD，根据等角对等边可得MC=MD，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4，进而可得BC=4．〔2〕延长DF，BA交于G，首先证明△CEM≌△CFM可得ME=MF，然后再证明△CDF≌△BGF可得DF=GF，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边可得GM=CM，利用线段的和差关系可得结论．【解答】〔1〕解：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，AB∥CD，∴∠1=∠ACD．∵∠1=∠2，∴∠2=∠ACD，∴MC=MD．∵ME⊥CD，∴CD=2CE=4，∴BC=CD=4；〔2〕证明：如图，延长DF，BA交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠DCA．∵BC=2CF，CD=2CE，∴CE=CF．在△CEM和△CFM中，，∴△CEM≌△CFM〔SAS〕，∴ME=MF．∵AB∥CD，∴∠2=∠G，∠GBF=∠BCD，∵F为边BC的中点，∵CF=BF，在△CDF和△BGF中，，∴△CDF≌△BGF〔AAS〕，∴DF=GF．∵∠1=∠2，∠G=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=GM=MF+GF=DF+ME，即ME=AM﹣DF．22．〔2016•东平县一模〕如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．〔1〕求证：BD=DF；〔2〕求证：四边形BDFG为菱形；〔3〕假设AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【分析】〔1〕先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD；〔2〕由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形；〔3〕设GF=*，则AF=13﹣*，AC=2*，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出*的值．【解答】〔1〕证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；〔2〕证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，〔3〕解：设GF=*，则AF=13﹣*，AC=2*，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即〔13﹣*〕2+62=〔2*〕2，解得：*=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．23．〔2016•南岗区模拟〕如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．〔1〕求证：AE=CG；〔2〕试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．【分析】〔1〕先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；〔2〕先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．【解答】解：〔1〕证明：在正方形ABCD中，∵AD=CD，∴∠DAE=∠DCG，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE，∴∠AED=∠CGD．在△AED和△CGD中，∴△AED≌△CGD〔AAS〕，∴AE=CG．〔2〕解法一：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCG．在△AEB和△CGD中，∴△AEB≌△CGD〔SAS〕，∴∠AEB=∠CGD．∵∠CGD=∠EGF，∴∠AEB=∠EGF，∴BE∥DF．解法二：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，∵AD∥FC，∴=．∵CG=AE，∴AG=CE．又∵在正方形ABCD中，AD=CB，∴=．又∵∠GCF=∠ECB，∴△CGF∽△CEB，∴∠CGF=∠CEB，∴BE∥DF．24．〔2016•景德镇校级二模〕如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．〔1〕求证：点A与C关于直线BD对称．〔2〕假设∠ADC=90°，求证四边形MPND为正方形．【分析】〔1〕首先根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根据SAS证明两个三角形全等，进而得到∠ADB=∠CDB，AD=CD，根据等腰三角形的性质可得BD垂直平分AC，进而可得点A与C关于直线BD对称；〔2〕首先证明四边形PMDN是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN，进而可得四边形MPND为正方形．【解答】证明：〔1〕连接AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD〔SAS〕，∴∠ADB=∠CDB，DA=DC，∴BD垂直平分AC，∴点A与C关于直线BD对称；〔2〕∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形PMDN是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN，∴四边形MPND为正方形．25．〔2015•滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．求证：〔1〕∠DAG=∠DCG；〔2〕GC⊥CH．【分析】〔1〕要证明∠DAG=∠DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ADG与△CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD为正方形，得到AD与DC相等，∠ADB与∠CDB相等，再加上公共边DG，利用"SAS〞得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；〔2〕要证明GC与CH垂直，需证∠GCH=90°，即∠FCH+∠DCG=90°，方法是：由正方形的对边AD与BE平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF与∠E相等，由〔1〕得到的∠DAG与∠DCG相等，等量代换得到∠E与∠DCG相等，再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线，得到CH与HE相等都等于斜边EF的一半，根据"等边对等角〞得到∠E与∠HCE相等，又∠FCH+∠DCG等于90°，等量代换得到∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°，得证．【解答】证明：〔1〕∵ABCD为正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，又DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠DAG=∠DCG；〔2〕∵ABCD为正方形，∴AD∥BE，∴∠DAG=∠E，又∠DAG=∠DCG，∴∠E=∠DCG，∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点，∴CH=HE=EF，∴∠HCE=∠E，∴∠DCG=∠HCE，又∠FCH+∠HCE=90°，∴∠FCH+∠