数学实验讲义(10年12月)

数学实验

主编：谢毅

广东科学技术职业学院

机电学院

2009年12月

目录

刖舌...........................................................................2

第一节Mathematica基本操作..............................4

第二节数、变量与函数..................................18

第三节图像的绘制......................................26

第四节解方程命令和代数运算命令.......................37

第五节极限及其应用....................................45

第六节导数及其应用....................................51

第七节积分及其应用....................................60

第八节多元微积分及其应用.............................67

第九节傅里叶级数......................................74

第十节数学建模.......................................84

参考文献................................................176

前言

宇宙万事，乾坤万象，变化多端，有能穷究？数学者，明辨深思

之学也。其究变化、偏应万事之效用何处不见？学之小成，可以自利,

赖以谋生；学之大成焉不能究天地之造化以利益人群哉？

手工之推导及计算固是数学学人不可或缺之基本功，然随科学技

术之日新月异，对计算机技术之要求日益提高。故今开设数学实验课

程，旨在提高同学们计算机辅助计算和推导之能力。大略而言，时下

有三大数学主流软件，一为Matlab,二为Maple,三为Mathemtica。

三者皆具数值计算、符号运算和绘图功能,Matlab最是擅于符号计算,

惜对学者基本功要求偏高，非下一番苦功难以入门；而Mathematica

则以符号运算见长，且入门较易，其之输入输出风格更是叫人赏心悦

目。是故今择Mathematica为实验平台，于是展示数学应用之魅力，

祈于学者能有裨益。

由于编者学浅识短，且又仓促成稿，其间缪误及取材欠佳处之众

可想而知，恳请识者及大方之家不吝赐教，将不胜欣喜。

2009年12月

谢毅谨撰

第一节Mathematica基本操作

Mathematica是1988年美国WolframResearch公司开发成功的综

合数学软件包，具有数值计算、符号运算、图形处理、程序设计4个

方面的强大功能，Mathematica最早用于量子力学的研究，后来主要

用于工程计算领域，与其它数学软件，如：MATLAB、Mathcad、Maple

相比，Mathematica最是擅于符号的运算。

一、Mathematica的界面和菜单：

Mathematica的主界面见下图。其主窗口与Windows窗口很相似,

有三行，第一行为标题行，第二行为工具栏，第三行为工作窗

Notebook,Mathematica中的输入输出都在工作窗进行，工作窗口右

边是Basiclnput面板。

工具栏上有9个菜单，我们仅对我们常用的一些选项来介绍：

1）“文件”菜单的第三个区里有一个选项板“控制面板”（见

下图），它的下一级菜单包含了数值计算、符号运算的模板。常用

的有第3项“BasicCalculation,,,单击后出现一个窗口，排列了

Mathematica的七大类基本命令；第4项"BasicInput”,单击后出现

数学运算式和符号窗口，单击其中任意一个它就会立即出现在工作

窗。

4*lathesatac*0-(Untitltfd~I)

文”Q）皿⑺■死©格式01,入（X）美03tttqp■口8）期助QP

（HiV）Ctrl”

HfF®）CurlKI国回阅

美用。CUPF4

（W（5）CtrlfS

另有力⑷SKiftKuPS

另再力W足Q）

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犬送（X）

CT»ftG)1OpeiJliatkorTetlt

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3-♦si<Ty*・3W

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1»bftIni«r«aU4ft«lClMr

tIo<»W«kL«imeK«r

退出3

下图的左边为Basiclnput面板，右边为BasicCalculations面板。

单击BasicCalculations面板中的三角形，就会展现许许多多的带格

式的命令:

2)“格式”菜单的最后一个选项板“显示比例”可以设置工作

窗口里字体的显示比例。此外，也可通过单击工作窗口底部的

“100%”来调整显示比例。

S3Untitled-1口回区|

3)“核心”菜单的第二个区里有“终止内核”选项，它的下一

级选项"Local”被单击后，Mathematica的内存会清零。当出现莫

名其妙的结果或结果非常复杂时，我常常需要把内存清零，以便使

系统回到空白的状态。

4)单击“帮助”菜单的“帮助浏览”项将会弹出下面的“帮

助浏览器”窗口:

先选中"Built-inFunctions”标签，然后在该标签上方的输入栏

中输入要查询的函数（比如输入Plot3D）,系统将会显示该函数的用

法和一些实例，这对初学者是相当有帮助的。

二、Mathematica的基本操作

1、输入、输出显示和运行：

用户在确认输入后，系统会自动进行处理，并按每一次输入的顺

序编号，在输入的内容前自动添加输入提示符“In［编号］=："；在输

出内容前自动添加输出提示符“Out［编号］="

In[1]:=1+2

Out[1]=3

ln[2]:=2A2

Out[2]=43.

特别需要注意的是：

1)在Mathematica中按大键盘上的回车键Enter不是执行命令，而是

换行。执行计算，要按组合键Shift+Enter或小键盘上的Enter。

2)对输入或输出项进行复制粘贴时，计算机自动添加的输入提示符

和输出提示符不会参与操作。

2、算术运算符：

Mathematica中分别用+、一、*、/、人表示算术运算中的加、减、

乘、除和乘方，表示乘法的*可以用空格代替。需要注意的是：

Mathematica中数值与数值相乘、字母与字母或与代数式相乘时乘号

不能省略，算术运算的优先顺序与一般数学中的规定相同，即先乘方

后乘除再加减，要改变计算次序用小括号“()”。

3、数学表达式二维格式的输入

Mathematic担提供了两种格式的数学表达式。格式如

“x/(2+3x)+y*(x-w)”的称为一维格式,格式如“，+二二”的称

2+3尤x-w

为二维格式。Mathematica提供了多种输入数学表达式的方法，可以

使用快捷键的方式输入二维格式，也可用Basiclnput面板来输入二

维格式。下面列出了用快捷键方式输入二维格式的方法

数学运

数学表达式快捷按键

算

X

除号xCtrl+/2

2

n次方x"xCtrl+62

开n次

,4xCtrl+2xCtrl+5n

方

下标X2xCtrl+_2

例如输入数学表达式

(x+1)4+''—

:2x+1

可以按如下顺序输入按键:

,x,+,1,),Ctrl+\4,+,a,Ctrl+_,1,

7,Ctrl+/,Ctrl+2,2,x,+,1,7,7

利用Basiclnput面板来输入二维表达式比较简单，例子就不举了。

4、大小写的区分

1）内建函数的书写

Mathematica对大小写的区分是相当严格的。在系统中定义了许

多功能强大的函数，我们称之为内建函数（built-infunctions）,直

接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。这些函数分为两类，一类

是纯数学意义上的函数，如：绝对值函数“Abs[x]”，正弦函数

“Sin[x]”,余弦函数“Cos[x]"，以e为底的对数函数“Log[x]”，

以a为底的对数函数“Log[a,x]”等；第二类是命令函数，我们以后

简称命令，如作函数图形的命令"P称命令x]如x,xmin,xmax}]”,解

方程命令"Solve[eqn==0,x]”,求导命令等。内建

函数的首写字母必须大写，有时一个函数名是由儿个单词构成，则每

个单词的首写字母也必须大写，如：求局部极小值命令

“FindMinimum[f[x],{x,x0}]”中的“F”和“M”必须大写。如果输

入了不合语法规则的表达式，系统会显示出错信息，并且不给出计算

结果，例如：要画正弦函数在区间[0,2]上的图形，输入

ln[8]:=plot[Sin[x],{x,0,2}]

General::spelll:Possiblespellingerror:newsymbol

namenplotnissimilartoexistingsymbolnPlotn.Me—.

Out[8]=plot[Sin[x]r{xz0r2}]

图中的提示是说：“可能有拼写错误，新符号“plot”很像已

经存在的符号“Plot”。一个表达式只有准确无误，方能得出正确

结果。学会看系统出错信息能帮助我们较快找出错误，提高工作效率。

2）数学常数的书写

除内建函数的首字母要大写外，一些常用的数学内部常数的首字

母也要大写（注意内部数学常数），见下表

“BasicInput”面

内部常数键盘输入

板输入

圆周率）Pi71

自然对数的底eEe

虚数单位iIi

无穷大00Infinity00

5、Mathematica中专用符号说明：

1）百分号％:

Mathematica系统允许在表达式中引用前面得到的计算结果，提

供了简便的引用方法：“％”表示上一个输出结果，“％%”表示上上

一个结果，“％%%”的意思类推；“％n”则表示第n个输出结果。

In[9]:=1+2

Out[9]=3

ln[10]:=2+3

0ut(10]=5

ln[11]:=3+4

Out[11]=7

ln(12]:=%

Out[12]=7

ln[13]:=%%

Out(13]=7

ln[14]:=%9

Out(14]=3

2)分号；：

为语句分隔符，当分号后面没有其它语句时;表示运算分号前

面的表达式，但不显示运行结果，即不显示“Out[]=..…”输出项;

如果分号后还有其它语句，则认为两条语句并列，在输出项中只显示

分号后面一个语句的运行结果。例如：

1+2

Out[1]=3]

ln[3]：=2A2;

ln[4]>1+2;2A2

0ut[4]=4

3）中括号口:

紧跟在函数（或命令）的后面，即函数的自变量或函数的参数必

须用[]括起来。如输入函数：sinx+cosx,Mathematica规定的正确

输入是：Sin[x]+Cos[x]

4)大括号｛｝：

用以表示集合，在带了多个参数的函数命令中，要把这些互相有

关系的参数用｛｝括起来。如：作函数y=sinx在上的图形的语

句是：Plot[Sin[x],｛x,0,^｝],其中x,0q三项要用｛｝括起来，这是

作图函数Plot的格式规定。又如语句

Plot[｛Sin[x]C*｝,PlotStyle”RGBColor[l,0,

0],RGBColor[0,0,1]｝]是画正余弦函数的图像，并且前者用红线表达,

后者用蓝线来表达，此中三处用了大括号｛｝。

5)小括号()：

主要用于改变表达式的运算顺序，如：2((1+2)+3),如果将此

表达式外面的小括号改成中括号，系统将会提示出错。此外，它也可

用于把多个表达式定义为一个表达式(视为一个整体)。

6)问号？：

在工作窗Notebook输入相应命令，也可以查询内部函数的用法。

方法是：

?函数名给出该函数的粗略信息

??函数名给出该函数的详细信息

?L*给出以L开头的所有函数的全名

例如:

In[6]:=?Plot

Plot[f,{xzxminrxmax}]generatesaplotoffasa

functionofxfromxmintoxmax.Plot[{f1,f2r...}r

(xrxmin,xmax}]plotsseveralfunctionsfi.More.

In[7]：=??Plot

Plot[fr{xzxmin,xmax}]generatesaplotoffasa

functionofxfromxmintoxmax.Plot[{ff2,...},

{x,xmin,xmax}]plotsseveralfunctionsfi.More.

Attributes[Plot]={HoldAll,Projected)

Options[Plot]=AspecERatio->、-————：—,

Axes-?Automatic,AxesLabel-?NonezAxesOriginAutomaricr

AxesStyle-?Automatic,Background-?Automaticz

ColorOutputtAutomatic,Compiled-True,

DefaultColor-Au—matiu,DefaultFont：T$DefaultFont,

DisplayFunction:t$DisplayFunction,Epilog-{},

FormatType:-$Forma,cTyperFramerFalse,FrameLabel-None,

FrameStyleAutomaricrFrameTicks->Au*oma*icr

GridLines-None,Imagesize-Automatic,MaxBend10.r

PlotDivision->30.fPlotLabel->None,PlotPoints-?25,

PlorRange-?Automatic,PlotRegionAutomatic,

Plotstyle->Automatic,Prolog-{},—LabeltTrue,

Textstyle$TextStyle,Ticks->Automatic

ln(5J:=?L*

System'

工aquerreL

Lin-Error

工angxxageCategory工inKMlcs?:

La二」aoEHraum三orrcLinXEos二

LargerLinkInterrupt

LastLinkLaunch

Latr.iceP.educeLinkMode

LaunchLinkOb^ect

Layou,t工nformation

I.CMLinkOp,cions

LeazCoun^.LinkPa~rems

Lef*LinkProtocol

I■左？&ndreWI.ir.XR=aH

6、求近似值

在Mathematica的运算中，系统总是力求输出最精确的结果，如

输入痣+E,运行后的输出跟输入一样。但在实际的应用中，我们常

常需要的是近似值，而系统所提供的N命令就可以满足我们对任意

精度的追求：

N[expr]给出expr的近似值，默认为5位有效数字

N[expr,n]给出expr具n位有效数字的近似值

例如：

1响：=+E]

Out[6]=4.1325

ln[8]:=+EZ50]

Out[8]=4.1324953908321402841619761955623605763269189690769

三、练习

（2+（1+后）70

I、计算一年宸一保留100位有效数字的近似值

2.计算小贬的近似值

3、计算肉再审保留10位有效数字的近似值

V3V2+i

4、体验分号;和百分号％的用法

5、借助帮助系统学习画图命令Plot和解方程命令Solve的用法

6、体验“核心”菜单里“终止内核”选项的作用.

7、找出下列语句的语法错误并修正：

[sinpi+cos0]2

Plot{sint,(t,O,e)}

第二节数、变量与函数

一、数、变量及函数

1、数：

Mathematica中的数分为两大类：一类是直接用数字和小数点写

出来的数；另一类是系统内部常数如：Pi,I,E等（此前已经介绍过），

这些数学常数都是精确数，并可用在公式推导和数值计算中。止匕外，

我们知道数又可分为：整数、有理数、实数和复数，在Mathematica

中对数的处理总是尽可能给出精确的值，但在实际当中，常常需要对

数据类型进行转换，此前所介绍的N函数就是给我们对数据类型进行

转换用的。

2、变量:

数除了定数外，还有变数，也就是变量，下面介绍变量的产生、

运用和清除。

1)变量的命名规则：

变量名是以字母开头，由字母或数字组成，区分大小写，可以

包含任意多的字母或数字，但不能包含空格和标点符号，与一般程序

语言的命名规则相同。如：abc,datal,data2都是正确的变量名,而

如：2a,a_b,a*b等都是错误的变量名。

注意：系统内部函数和常数不能用作变量名，如：Plot、N、Sin、I、

Pi

2)变量的赋值：

变量赋值用“="表示，如abc=20

3)变量值的清除：

在Mathematica中的变量如果赋了值，在后面的表达式中这个变

量就一直以该值出现，所以第二次使用这个变量时必须先清除原来的

值，否则可能造成计算结果出错，这点初学者常常忽视。清除方法有

两种：

方法一是用“Clear”命令

格式为：Clear[变量],清除多个变量的格式为：Clear[变量1,变量2,

变量3]

如：Clear[xJ,清除x的值

Clear[u,v,w],同时清除u、v、w的值

方法二是在等号右边写一个圆点，即=.如abc=.表示变量abc的

值清除了。

例：把值1,2,3分别赋给变量a,b,c；然后输入a,b,c查看它

的值；接而把各个变量的值清除掉，然后再查看他的值。

解：

ln[15]:=a=1;b=2;c=3;

ln[16]:=a

Out[16]=1

ln[17]:=b

Out[17]=2

ln[18]:=a

Out[18>3

ln[19]:=Clear[a,b,c]

ln[20]:=a

Out[20]=a

ln[21]:=b

Out[21]=b

ln[22J>c

0ut[22]=c

4)变量值替换：

用数值或表达式替换一个变量的格式为：函数/.变量名->数值或

表达式；

替换多个变量的格式是：函数/.{变量名1->数值1或表达式1,变量

名2->数值2或表达式2,....}。如fl[x]/.x->8,即表示求函数值fl(8)；

xA3+yA2/.{x->a,y->b},即表示把x=a,y=b代入函数*人3+丫人2,可以得

到二+人

3、函数

我们前面已经提过内建函数(built-infunctions),它本身又

可细分为两类，一类是纯数学意义上的函数，第二类是命令意义上的

函数。除了内建函数外，用户还可以跟据自己的需要来定函数，我们

把此类函数称为自定义函数。下面我们先介绍数学函数，然后再介绍

自定义函数，命令函数我们后面再逐一学习。

1)常用的数学函数：

数学

Mathematica中的输入格式

函数

绝对

值函

Abs[x]

数

1x1

三角

Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x]

函数

反三

角函ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x],ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]

数

指数

函数Exp[x]

ex

对数

Log[x]（表示lnx）,Log[a,x]（表示log”x）

函数

平方

根函Sqrt[x]

数4

需要注意的是，内建函数都要以大写字母开头，后面是小写字母；

当函数名分成几段时，每段的头个字母要大写，后面的字母小写。如

正弦函数Sin[x],反正切函数ArcTanfx]。此外要注意的是，函数名后

面加的是中括号口而非其他括号。

2)自定义函数：

Mathematica允许用户自定义初等函数和分段函数。

定义一个一元函数的格式为：函数名[自变量_]：=表达式

定义一个多元函数的格式为：函数名[自变量1一,自变量2一,自变量

3_..…]：=表达式

其中函数名的命名规则与变量的命名规则相同。

例：先定义函数y=/-sinx,然后求函数在x=l处的近似值

解：

ln[23]:=y[x]:=x3-Sin[x];

ln[24]:=y[1]

Out(24]=1-Sin[l]

ln[25]:=N[%]

Out[25]=0.158529

例：先定义函数/(X,y)=/+2xy_y2,然后求函数在点(1,2)处的

值：

解：

皿26]:=f[x_,y_]：=X+2xy-y;

ln[27]:=f[1,2]

Out[271=1

定义分段函数要用条件判断语句If、Which,有两种方法：

方法1：当只分两段时，用If语句定义，格式是：

[条件1,表达式1,表达式2]

例：定义分段函数=

xx>0

解：

2

In[28]:=f[x_]:=If[x<0zx+2,x];

方法2：当分段多于两段时，用Which语句定义，格式是：

f[x」:=Which[条件1,表达式1,条件2,表达式2,条件3,表

达式3,…]

x-1x<0

例：定义分段函数：/(x)=<-0<x<2

sinxx>2

解：

In[29]:=f[x]::Which[x<0,x-1,0x<2z,x>2zSin[x]];|

二、初学者易犯错误总结

初学者容易犯的错误有：

1、大小写错误和拼写错误：内

建函数的首个字母无大写，数学常数的首字母无大写，命令拼

写错误。

2、括号错误：大、中、小括号

的用处混淆，或括号个数不配对。

3、空格：相乘时一定要加乘号

或空格，变量名中不能有空格。

4、未清除再次使用的变量的

先前赋值：当出现莫名其妙的结果或结果非常复杂时，应使用

“核心”菜单的“终止内核”选项以使内存清零。

三、练习

1.计算下列函数的值：1)siny2)arctan(0.125)3)ln(2.0375)

]行—2

4)V31265)--------sin-----------arctan0.6

l+ln262+V2

2.如下几项中全部符合命名规则的变量名是：

A.BlB.b_3

C.%D.datcdfkldhl8dal99999

3、自定义函数/")=/+2/+1,并用变量al,a2保存f(6),f(-14)的值。

4、清除上题定义的函数和al,再输入al,a2查看计算机是否还存有

这些变量的值。

X<

5、函数定义分段函数：/(x)=[2/0并求出《2)f(3)的值

X2-3x+2x>0

6、说出下列语句的含义和结果：

pl=5+6xA2+xA3+xA4*y

pl/.{x->1.2,y->2.3}

7、利用帮助浏览器或用“？”查询命令If、Which的用法及范例。

8、总结你在操作中出现的错误(注意克服)。

第三节图像的绘制

、命令与选项说明

本节要把握的绘图命令有

命令的格式用途说明

按选项的设置画函数

Plot[{fl[x],f2[x],…},{x,min,

fl[x],f2[x]在区间[min,max]上

max},option->value]

的图像

按选项的设置画参数方程

ParametricPlot[{x[t],y[tj},{t,m

x[t],y[t]在区间[min,max]上的

in,max},option->value]

图像

ListPlot[{{xl,yl},{x2,y2},-},按选项的设置绘出离散点

option->valuej{xl,yl},{x2,y2},…的图像

ListPlot[{y1,y2,},option->va按选项的设置绘出离散点

lue]{l,yl},{2,y2},…的图像

将图像gl,g2,…显示在同一幅图

Show[gl,g2,—]

上

常用的选项设置有:

Option说明默认值

图形的高、宽比，如：

AspectRatio1/0.618

AspectRatio->Automatic

给坐标轴加上名字，如：

AxesLabel不加

AxesLabel->{“shijian","weiyi”}

给图形加上标题，如：

PlotLabel不加

PlotLabel->udelaywalves^^

指定图像纵轴的画图范围，如：

PlotRange计算的结果

PlotRange->{-l,l}

设置图形的颜色，粗细等，如：

PlotStyle->{RGBColor[0,0,1J,

PlotStyle值是一个表

RGBColor[0,1,0]},又如

PlotStyle->PointSize[0.02]

二、实例

2

1.定义函数/(x)=sin-，然后做其在区间[0,2祠上的图像，并要求

x+1

所显示的图像具有如下特性：没有刻度；曲线的颜色是蓝色，图像名

称标注为“delaywaives”，横轴名称标注为“shijian”，纵轴名称标注

为"weiyi”。

解：

ln[2]:=f[x1:=Sin[--------1

-Lx+1J_

ln[11]:=Plot[f[x],{x,0,2Pi}tTicksNone,

Plotstyle->{RGBColor[0z0z1]},

PlotLabelfndelaywaives,

AxesLabelt{nshijianM,nweiyiH)]

Out[11>-Graphics-

注：颜色的输入可以通过“输入”菜单中的“颜色选择”项来输入，

单击该选项后将会弹出如下的颜色选择窗口（如下图），选择了颜色

后按“确定”键即可在工作窗口中返回一个RGBColor的值。

颜色0B

颜色।纯色⑥）亮度1）：西蓝也）：密

添加到自定义颜色出）

2.作参数方程[ism和卜吗在一个周期内的图像，并用

y=costIy=cost

不同的颜色来进行区分。

ln[15]:«ParametricPlot[{{2Sin[t],Cos[七]},{(Sin[七])',(Cos[t])3}),

{七，

0z2Pi),

Plotstyle{RGBColor[l,0z0],RGBColor[0z0z1]}]

x=3sinf

注意：颜色"RGBCoIor[1,0,0]”（表红色）对应的曲线是

y=5cosf'

x=Sint

而“RGBCok）r[0,0,l]”（表蓝色）所对应的曲线是＜，这两

y=cos'3t

个颜色要用大括号括起来。止匕外，参数方程和参数方程要有大括号括

起来，各个参数方程间要用逗号隔开。

这题的另一个做法是：先单独画出各个曲线的图像，然后再用Show

命令将其整合在一起，过程如下：

ln[8]:=ParametricPlot[{2Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi},

Plotstyle->RGBColor[1,0,0]];

33

ln[9]:=ParametricPlot[{(Sin[t])z(Cos[t])}z{tz0,2Pi),

Plotstyle->RGBColor[0z0,1]];

ln[10]:=Show[%z%%]

3.根据如下实验数据：(05,06),(08,085),(0.11,010),(0.15,0.145)

画出其离散点图。

ln[16]:=ListPlot[{{0.5,0.6},{0.8,0.85]z{0.11,0.10}z

{0.15,0.145}),Plotstyle->Pointsize[0.02]]

D.e■

0.7•

0.6­♦

D.5•

0.4•

3.3•

0.2

........................................................................

0.8

Out[16>-Graphics-

读者可以通过自行调整PointSize后面的参数以观察图像的变化，进

而理解PointSize后面的参数的含义。

4.先后画出sinx和cosx在[0,加上的图像，然后将其合并在同一幅

图上：

ln[20]:=Plot[Sin[x],{x,0,Pi}];]

5.画出数列｛（1+工）”｝的图像，然后观察其图像:

n

首先，我们用Table命令来生成一个集合，然后再画它的图像

ln[38]:=Table[+—j;{n,1,200)];

In[39]:=ListPlot[%];

200

2.69

2.62

2.67

2.66

2.65

2.64

接而我们画该数列的渐近线y=e

ln[401.=Plot[E,{x,0,200)];

最后我把前两幅图合并

In[41]:=Show[%,%%]

0ut[41]=-Graphics

通过上图不难发现数列的极限的确逐渐趋向常数e

6.制作动画，观察当t的范围不断增大时概周期函数

x=5cos/+cosg的图像的变化。

y=5sinr+sinV2/

lnp]：=Do[ParametricPlot[

{5Cos[t]+Cos[V^t],5Sin[t]+Sin[V^t]},

{t,0,d},AspectRatioAutomatic],(d,0.01z40,0.2}]

运行以后将后将会看到很多图像，随便点击其中一幅即可观看动画。

三、练习

1.画出微积分学中几个常见函数的图形:arcsinx,arccosx,arctanx,

x12Vx

arccotx,xsin-,电竺_,sin-,e~',e,注意通过不断调整画

xxx

图的范围以便于我们观察图形的变化。

...、皿xl=sin3fcosjfx2=sin3t_，”一小.

2.先分n别做参数万程，.。.和c＜的图像，然后将其

jl=sin3/sinZ[y2=cos5f

合并在同一幅图上，要求这两条曲线要用不同的颜色进行区分。

3.画出数列｛2、的前30个点，然后观察数列的的变化，并注意体

验图中点的大小的设置

第四节解方程命令和代数运算命令

一、命令与用途说明

本节要把握的命令有

命令格式用途说明

给出代数方程的解集，vars为该方程

Solve[equition==O,vars]

中的未知数，如：

Solve[/_3x+2==0,x]

Solve[{equition1==0,

给出代数方程组的解集，varsl、

equition1==0,,,,},{varsl,

vars2,…为该方程中的未知数

vars2,}J

Solve命令是给出代数方程或方程组

NSolve[equition==0,vars]的精确解，而此命令是给出方程或方

程组的近似解

此命令所能求解的方程不再局限于代

FindRoot[equition=

数方程，但只能给出以X。为初值的一

=0,{x,x0}]

个数值解。

Expand[expr]把多项式expr展开成和差的形式

Factor[expr]把多项式expr进行因式分解

化简表达式expr,注意expr不一定要

FullSimplify[expr]

求是多项式

二、实例

1.求方程/-3x+2=0的根

解：

In[1]:=Solve[x4"-3x+2==0,x]

{{x-1},{x72}}

FindRoot[x^-3x+2=0,{x,0}]

FindRoot[x^-3x+2==0z{x,3}]

注意：在Mathematica中，等号“=”是用来赋值的，而双等号“=="

才是是我们数学意义上的等号。此外，从以上结果可以看出：Sovle

命令所能求解的方程FindRoot命令也能求解，但Solve命令给出的是

方程解的集合，而FindRoot命令只能给出一个数值解，也就是近似

解，而该解往往是最为靠近初值点的解。至于FindRoot命令所能求

解的方程Solve或NSovle命令是否也能求解呢？这个问题留待第4

个实例去体会。

2.求方程组的解

解：

ln[2]:=Solve[{2x+y=lzx+3y==2},(x,y)]

注意：方程组要用大括号括起来，各个方程间用逗号隔开。

3.求方程/一工一2=0的精确解和数值解

解：

In[3]:=Solve[x4-x-2=0,x]

Out[3>—

[j/2/I__3__

{x一三|l-2|-------------:=|+(47+3-249

347+3Y2492

147+3.249!

(_____13

47+3”249:,

\l/3

I——io=l

I47+3”‘249

_____13

47+3*249

ln[4]:=NSolve[x4-x-20,x]

Out(4]={{x->-l・},{x->-0.176605-1.20282i}z

{xt-0.176605+1.20282i}r{XT1.35321))

从以上结果可以看出Solve命令给出的是精确解集，而NSovle命

令给出的是近似解。

4.求3cosx=lnx的解

解：

ln(9]:=NSolve[3Cos[x]==Log[x],x]

Solve::tdep:

Theequationsappeartoinvolvethevariablestobe

solvedforinanessentiallynon-algebraicway.More…

Out[9]=NSolve[3Cos[x]==Log[x],x]

从以上的结果来看，对于此类非代数方程，Solve和NSolve命令已经

无能为力了。故只能用FindRoot命令求解了，但命令中的初值又该

如何给定呢？所以为了给定初值，我们先通过图像来了解下解的大概

情况：

由于图像在区间［18,20］之间的相交情况看得不是很清晰，所以另外画

图以便观察：

Out[19]=-Graphics

In[20]:=Plot[{3Cos[x],Log[x]},{x,20,30)]

Out[20]=-Graphics-

从以上儿幅图我们不难看出方程有7个解。从图上有了各解的大概位

置我们也就不难通过设定初值用命令FindRoot来求出各个近似解了：

In[34]:=FinclRoot[3Cos[x]Log[x]z{x,1}]

0ut[34]={x.1.44726)

In[35]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,5}]

Out[35]={xt5.30199)

In[36]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x]z{x,7}]

Out[36]={xT7.13951)

In[37]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,12}]

Out[37]={x.11.9702}

In[38]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x]r{x,13}]

Out[38]={x->13.1064}

ln[39]:=FinclRoot[3Cos[x]==Log[x],{x,17}]

Out[39]={x-18.6247)

In[40]:=FindRoot[3Cos[x]==Log[x],{xz20}]

Ou