数学模型与数学实验讲义

第一章MATLAB软件的基本操作

1.1矩阵的建立和基本运算

一、实验目的

熟悉MATLAB软件中关于矩阵的建立以及矩阵运算的各种名

命令。

二、实验内容与要求

1.启动与退出

双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口，即可输入命令，开始

运算。

单击File菜单中Exit,或使用MATLAB的Exit命令退出。

2.数、数组、矩阵的输入

(1)数的输入

>>a=5

回车：

SL—

5

输入复数2-5i

»b=2-5i

b二

2-5i

(2)数组的输入

»b=[1,3,5,7,9,H]

b=

1357911

»c=l:2:lU

c=

1357911

>>d=linspace(l,11,6)

d=

1357911

问题：体会以上输入方法有什么区别和联系。若b为在0~2万(乃

用pi表示)之间均匀分布的22个数据，

c=(l.3,2.5,7.6,2,-3),d=(23,20,17,14,11,8,5,2),b>c、d各

用何种方法输入较简单

(3)矩阵的输入

»A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4]外行之间要用分号隔开

A=

235

135

694

3.矩阵大小的测试和定位

»A=[3,5,6;2,5,8;3,5,9;3,7,9]

A=

2

356

258

359

379

>>d=numel（A）%测试定矩阵A的元素数

d=

12

>>[n,midsize（A）%测试人的行（n）、列（m）数

n=

4

m=

3

»[i,j]=find(A>3)%找出A中大于3的元素的行列数

4.矩阵的块操作

»A(2,:)%取出A的第2行的所有元素

ans=

258

»A（［l,3],：）%取出A的第1、3行的所有元素

ans=

356

359

»A（2：3,1：2）%取出A的2、3行与1、2列交叉的元素

3

ans=

25

35

»A([l,3],:)=A([3,1],:)%将A的第1行和第3行互换

问题：如何将A的2、3列互换?

»A(2,:)=4%将A的第2行的所有元素用4取代

»A(find(A==3))=-3%将A中等于3的所有元素换为-3

»A(2,:)=[]%删除A的第2行

>>reshape(A,2,6)%返回以A的元素重新构造的2x6

维矩阵

ans=

335596

434749

»A(4,5)=3%扩充人的维数，A成为4x5维矩阵,

未定义元素为3

注意：“：”表示全部

5.矩阵的翻转操作

>>flipud(A)%A进行上下翻转

»fliplr(A)%A进行左右翻转

>>rot(A)%A逆时针旋转90。

问题：尝试操作>>rot90(A,2)和〉〉rot90(A,-2),结果有区别

吗？

4

6.特殊矩阵的产生

>>A=eye(n)%产生n维单位矩阵

>>A=ones(n,m)%产生nxm维1矩阵

>>A=zeros(n,m)%产生nxm维0矩阵

>>A=rand(n,m)%产生nxm维随机矩阵(元素在0~1之间)

7.数的运算

»4+2

>>4*2

»4/2痢右除2,等于2

»4\2%4左除2,等于0.5

»4"3%4的3次方

»sqrt(4)刎的算术平方根

>>exp(3)%e的三次方，不能输成>3

»log(4)%4的自然对数,logl0(4)是以10为底,log2(4)

是以2为底

8.矩阵的运算

»/%A的转置

»det(A)%A的行列式，A必须是方阵

»rank(A)%A的秩

>>3*A%常数与矩阵相乘

»A+B%A、B必须是同维矩阵，和3+A进行比较

5

»A-B%A、B必须是同维矩阵，和3-A进行比较

>>A*B%和4.*8进行比较

»A/B%（和A./B进行比较）

»A\B%（和A.\B进行比较）

»A^2%A~2相当于A*A（和A."2进行比较）

三、练习与思考

（1）熟悉MATLAB的启动和退出

（2）自找2〜3个例子，熟悉数和数组的各种运算，以及它

们的各种函数值。

（3）自找2~3个例子，熟悉矩阵的加减乘除及其它运算，

注意和点运算的区别。

（4）输入一个矩阵A,取出A的第2行第1列的元素；取

出A的第1,3,4列的所有元素；让A的第1列和第3列互换；

删除A的第2列。

（5）产生3x4的1矩阵，产生4x2的随机矩阵，产生4

维的单位矩阵。

（6）将A的第2行元素扩大2倍，再增加3后作为A的第

3行元素。

6

1.2多项式和线性方程组的求解

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解多项式和线性方程组

二、实验内容与要求

1.多项式的表达方式

(1)用降嘉排列的多项式的数向量表示

例1对多项式p=X，+2/-5x+6和s=x?+2x+3,用多项式的系数表不

为

»p=[l,2,0,-5,6]

»s=[l,2,3]

(2)由根创建多项式

»L[1,4,8]/已知多项式的根为(1,4,8)

>>p=poly(r)

P=

1-1344-32

»p=poly2sym(p)%将多项式的向量表示转变为符号形式

P二

x"3-13*x，'2+44*x-32

2.多项式的加减乘除

例2求例1中多项式p,s的和、差、积、商。

»p=[l,2,0,-5,6]

»s=[0,0,1,2,3]

7

»p+s%多项式加法，向量p,S必须同维，S扩维

成s=[0,0,1,2,3]

ans=

121-39

»p-s%多项式减法，向量p,s必须同维

»conv(p,s)%求多项式p和s的乘积，也是向量p,s的

卷积

问题：向量的除法，除数不能为零，这里s的第一个元素为零，

怎么办？

解决方法有两种，当s=[0,0,1,2,3]时，输入

[q,r]=deconv(p,s(3:5)),或把s仍输为s=[l,2,3]

，贝[q,r]:deconv(p,s)

»p=[l,2,0,-5,6]；s=[l,2,3]

>>[q,r]=deconv(p,s)%求多项式p除以s的商q和余项r

q=

10-3

r=

000115

3.求多项式的根

»r=roots(p)%求多项式p的根，即方程p(x)=0的解。

>>pc=compan(p)%求多项式p的伴随矩阵。

例3求多项式p=/+2x+6的根

8

解:

»p=[l,2,6]

>>r=roots(p)

4.多项式的微分和赋值运算

>>d=polyder(p)%求多项式p的一阶微分

>>d=polyder(p,s)%求多项式p,s乘积的一阶微分

»[q,d]=polyder(p,s)%求多项式p,s商p/s的一阶微分，q

为分子，d为分母

>>y=polyval(p,a)%计算x=a时多项式p的值

例4求例1中多项式p的一阶导数，求x=l,3,5时多项式p(x)

的值。

解:

»p=[l,2,0,-5,6]

>>d=polyder(p)

结果为：

d=

460-5

»x=l:2:5权取3个值

>>y=polyval(p,x)%计算对应x的多项式p的3个值

结果为

y=

4126856

9

5.非齐次线性方程组求解

»X=A\b%用矩阵左除法求线性方程组AX=b的解

»C=[A,b]%由系数矩阵A和常数列向量b构成增广矩阵

C

»D=rref(C)%将C化成行最简行，则D的最后一列元素就

是所求的解

例5用矩阵左除法求解

»A=[2,3,5；3,6,8；6,5,4]

»b=[12;34;43]

»R=rank(A)

»X=A\b

结果为：

R=

3

X=

0.2759

12.3793

-5.1379

注意：b是列向量，求解前先检验A是否为满秩方阵

解二：用函数rref求解

»C=[A,b]

>>D=rref(C)

10

结果为:

D=

1.0000000.2759

01.0000012.3793

001.0000-5.1379

则D的最后一列元素就是所求的解,同解一结果相同

6.线性齐次方程组的求解

x[+2X2+2X3+x4=0

例6求解方程组的通解：2X,+X2-2X3-2X4=0

-x2-4X3-3X4=0

解:

2,2,1；2,1,一2,~2；1,-1,~4,-3]

>>forinatrat%指定有理式格式输出

>>B=null(A,'/)%求解空间的有理基

B=

25/3

-2-4/3

10

01

注意：formatrat是有理格式输出，小数用最接近的分数表示;

若输入formatlong则输出格式是长格式，显示15位数；缺省

格式是formatshort（短格式），显示到小数点后面4位。

7.利用矩阵的LU,QR和Cholesky分解求方程组的解

11

(1)LU分解

LU分解又称为Gauss消去分解，可把任意方阵A分解为下三角

矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A二LU,命令[L,U]=lu(A)可

求得L与U。

则方程AX=b变成LUX=b

所以，X=U\(L\b)

(2)Cholesky分解

若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三

角矩阵和其转置的乘积，即A=RxR,其中，R为上三角阵，命令

R=cho1(A)可求得R。

则方程AX=b变成R'xRxX=》

所以，x=R\(R\b)

(3)QR分解

对于任何长方矩阵A,都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵,

R为上三角矩阵的初等变换形式，即A二QR,命令[Q,R]=qr(A)

可求得QR

则方程AX=b变形QRX=b

所以，X=R\(Q\b)

说明：这3种分解，在求解大型方程组时很有用，其优点是运算

速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

例7用上述(1)(3)两种方法求解例5中的线性方程组。

解一：

12

»[L,U]=lu(A)

L=

1/38/211

1/210

100

U=

654

07/26

0029/21

»X=U\(L\b)

X=

8/29

359/29

-149/29

解二：

〉＞[Q,R]=qr(A)

Q二

-2/7-361/1469-1495/1614

-3/7-351/422271/768

-6/71127/2264341/2577

R=

-7-54/7-58/7

13

0-4625/1428-4130/701

00-1361/1064

»X=R\(Q\b)

X=

8/29

359/29

-149/29

三、练习和思考

(1)输入任意两个多项式，并进行加减乘除运算，注意它们

的结果

(2)求上面的两个多项式的根，并进行逆运算

(3)求上面的两个多项式的一阶导数，并求x:0:0.2:2对应

多项式的值。

(4)求解下列线性方程组

+/+3升一工4二-2

x}-4X2+2X3=0

x,-x3+x4=l

V2X2-x3=0

玉+/+2X+2X=4

34-%1+2%—W=0

-x2+x3-x4=0

14

1.3符号运算

一、实验目的

学会MATLAB符号运算的基本功能

二、实验内容与要求

1.字符型变量、符号变量、符号表达式、符号方程的建立

用单引号设定字符串变量的方法如下：

例1

»a='u+4'%定义a为字符型变量

a=

u+4

创建字符型变量有如下两种方法。

方法一：用命令sym（一）创建单个符号变量、符号表达式、符

号方程。

15

例2

>>x=sym('m+n+i')%定义x为符号型变量

x=

m+n+i

>>y=sym('d*x2+x-4')%定义y为符号表达式

y=

d*x~2+x-4

>>e=sym(，a*x"2+b*x+c=0,)%定义e为符号方程

e=

a*x"2+b*x+c=0

问题：继续输入a⑵,x⑵,dot加e(a),dowb/e(x)(命令是将符号变量

或字符变量转换为数值变量)，找出字符型变量和符号型变量之

间的区别和联系。

方法二：用命令syms创建多个符号变量、符号表达式。

例3

>>symsabxy%定义a,b,x,y为符号变量,

>>s=a*x~4+b*cos(y)-x*y%定义s为符号表达式

s=

a*x-4+b*cos(y)-x*y

注意：sym(")中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不

能用逗号，用syms不能建立符号方程。

2.合并同类项

16

格式：collect(S)%是对S中的每一函数，按缺省变量x的

次数合并系数。

collect(S,v)%是对制定的变量v计算，操作同上。

例4

»symsxy%定义x,y为符号变量

>>Rl=collect((exp(x)+x)*(x+2));%结果为

x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

>>R2=collect((x+y)*(x"2+y2+1),y);%结果为

y^3+x*y^2+(x^2+l)*y+x*(x12+l)

3.复合函数计算

格式:compose(f,g,x,y)%返回复合函数/[g(y)],其中，/=/(x),g=g(y)

例5

>>symsxy

»f=l/(l+x"2*y);g=sin(y);

»C=compose(f,g,x,y)%结果为1/(1+sin(y)-2*y)

问题：例1.19中若C=compose(/,g,y,x),结果如何？

C=compose^,g,y,x,t)，结果又如何?

4.符号表达式的展开

格式：R二expand(S)%展开符号表达式S中每个因式的乘积。

例6

>>symsxyt

>>E=expand((x-2)*(x-4)*(y-t))%结果为

17

x-2*y-x2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t

5.符号因式分解

格式：factor(S)%S可以是正整数、符号表达式或符号

整数。

例7

>>symsxy

>>Fl=factor(x4-y4)%结果为(x-y)*(x+y)*(x°2+y-2)

问题：若F2=factor(sym('12345678901234567890')),结果

如何？

F2=(2)*(3厂2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541),分

解为质因数之积。

6.符号表达式的通分

格式：[N,D]:numden(S)%将符号表达式S中的每一元素进行

通分，其中N为分子的表达式，D为分母的表达式。

例8

>>symsxy

>>[N,D]=numden(x/y+y/x)%结果为N=x2+y"2,D=x*y

6.符号表达式的化简

7.格式：R=simplify(S)%运用多种恒等式转换对符

号表达式S进行综合化简。

例9

>>symsxabc

18

>>R=simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))%结果为

(a+b)"(l/2*c)

8.搜索符号表达式的最简形式

格式：r=simple(S)%运用包括simplify在内的各种指令找

出符号表达式S的代数上的最简短形式，多次使用，可找到最少

字母的简化式。

例io化简A=A+4+-+8

Vxxx

>>symsx

»f=(l/x"3+6/x"2+12/x+8)(1/3);

>>fl=simple(f),f2=simple(f1)

fl=

(2*x+l)/x

f2=

2+1/x

问题：分别用simple,simplify命令两次化简加=cosx+口liK,

试比较命令simple,simplify命令之间的区别和联系。

9.将复杂的符号表达式显示成我们习惯的数学书写形式

格式：pretty(S)%用缺省的线型宽度79显示符号矩阵S中的

每一元素。

例11

»y=sym(，log(x)/sqrt(x)J;

19

>>dy=diff(y)

>>pretty(dy)

计算结果为：

1/x"(3/2)-l/2*log(x)/x"(3/2)

10.函数的反函数

格式：g=finverse(/)%返回函数F的反函数，其中F为单值

的一元数学函数，如/=/(x)。若/'的反函数存在，设为g,则有

g"(x)]=x。

例12

»f=sym(，l+3*x，);

>>v=finverse(f)%结果为T/3+l/3*x

n.符号表达式求和

格式：r=匕a,b)%对S中制定的符号变量y从a到。求和。

例13

>>symsn

>>r=symsum(n"2,1,n)%结果为

l/3*(n+lL3T/2*(n+l厂2+l/6*n+l/6

>>simple(r)%上式化简为l/6*n*(n+1)*(2*n+l)

问题：若4=1,3,5,7;5,8,3,6;2,0,9,7]s“m(A)结果如何(按列求和)?

12.确定符号表达式中或矩阵中的符号变量

格式：r=findsym^%以字母表的顺序返回表达式S中所有符

20

号变量(除了，•与/)。若S中没有任

何的符号变量，则findsym返回一空

字符串。

r=findsym(S,n)%从S中返回靠x最近的n个符号变量，若〃

大于S中符号变量的个数，则按字母

表的顺序返回符号变量。

例14

>>symsaxyzt

>>sl=findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)

>>s2=findsym(a+t-y,2)

>>s3=findsym(a+t-y,4)

si=

NaN,x,y,z

s2二y,t

s3=

a,t,y

13.置换符号变量

格式：subs(S,old,new)%用〃evv置换S中的o/d°

例15

>>symsaxyt

>>S=a*sin(x)+y；

>>Sl=subs(S,x,t)

21

>>S2=subs(S,x,pi/3)

结果为：

SI=

a*sin(t)+y

S2=

l/2*a*3«l/2)+y

14.字符变量、符号变量和数值变量之间的转换

格式：doubled%若S是字符变量，转换为S中相应字符的ASCII

值；若S是符号变量，转化为数值形式，若

有非数字符号(除m,n,i,j),则给出错误信息。

"2nu似S)%将字符变量转换为数值变量

num2str(x)%将数值变量转换为变量字符

sym(f)%将/转换为符号变量

digits^%设置返回有效数字个数为d的近似解精度

vpa(S,d)%求符号表达式S在精度预加⑷下的数值解

eval(S)%执行符号表达式S的功能

例16

>>symsx

>>t=l+x;x=l/3

>>s=eval(t)%结果为1.3333

>>vpa(s,7)%结果为1.333333,vpa(t,7)结果为

1.+x

22

>>sym('0,3,)%结果为0.3

>>sym(0.3)%结果为3/10

>>double(s)%结果为1.3333,double(t)是不合法

的

三、练习与思考

(1)化间：sin2acos«sina/(I+cos2a)/(I+cos«)/(I-cosa)

(2)求证：cos4a-4cos2a+3=8sin4a

(3)求(3x+2/3)6展开式中系数最大的项

(4)因式分解：asin2x-(2a2-fz+l)sinx+2a-l

(5)求心ink乃，》,£一

k=0k=0k=0卜"

1.4二维绘图

23

一、实验目的

学习MATLAB软件中二维绘图的方法。

二、实验内容与要求

1.基本命令

格式1:plot(X,Y)

潮：以X,y对应元素为坐标绘二维图，注意，x,Y的维数要匹配。

例1

>>x=0:pi/18:2*pi;%给出横坐标

>>y=sin(x);%计算出纵坐标

»Plot(x,y)%绘制图形，如图1.1所示

图1.1二维绘图

I咽：当X=[1,5,3,7;3,6,8,4;9,6,1,5],Y=[2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2]时，命令plot(X,Y)画

出几条线，如何画出的？当X=[1,5,3,7],丫=[2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2]时,有何

规律?当X=1,5,3卜=[2,5,7,4;6,8,4,1;8,0,4,2]时,又有何规律？

格式2：p.(y)%若N为m维向量，则等价于p.(x,y),其中，X

—1：mo

格式3：〃/“的,丫"加6印"1，*2，丫2，乙加6即6,2・・,)%将按顺序分别回出由3

24

个参数定乂Xj,匕,LinespeCj的线条，其中，参数Linespec,指明了线条的

类型，标记符号，和画线用的颜色。

说明：(1)线型，有实线，虚线，划线，点划线，例如，'-'就

表示画实线。

(2)线条宽度LineWidth,取值为整数，例如，

'LineWidth',2就表示线宽为两个像素。

(3)线条颜色，常用8种颜色，例如，'b—，就表示画蓝

色划线。

(4)标记类型，表示数据点标记的类型，常见13种，例

如就表示红色星号。

(5)标记大小MarkerSize制定标记符号的大小尺寸，取

值为整数(单位为像素).

(6)标记面填充颜色'MarkerFaceColor'制定用于填充

标记符面的颜色，颜色配比方案见表L10,例如，

'MarkerFaceColor',[o,i,o]就表示标记面填绿色。

(7)标记周边颜色，例如,"MarkerFaceColor?,'k'表

示周边用黑色，以上参数意义详见表1.6〜1.10

例2

>>t=0:pi/20:2*pi;

>>plot(t,t.Mos(t),'r*')

>>holdon

>>plot(exp(t/100).*sin(t-pi/2),'-mo')

25

»holdoff图形结果如图1.2所示，注意holdon表示继续在

当前图形上画图。

图1.2例1.49图形结果

2.函数绘图

格式：function',limits)%在制定的范围limits内ifi]出函数名为

function的一兀函数图形，其中，

lim加是一个制定X轴范围的向

量[xmin,xmax]或者是X轴和y轴

的范围的向量

[xmin,xmax,ymin,ymax]

例3

»fplot('sin(3*x)',[0,pi])%画出x在0~pi

之间的y=sin3x的图形

»fplot('[sin(x),cos(x)[-2*pi,2*pi])%在同一张图

上绘制正弦曲线

3.符号函数的绘图

格式：ezplot(f,[a,b])%绘出符号函数/从a到人区间的图形。

26

例4

»y=sym('cos(x)));

>>ezplot(y,[-2*pi,2*pi])%画出x在-2],2乃之间的y=cosx的

图形。

4.对数图形

格式：loglog(X,y)%对苫轴乃，y轴的刻度用常用对数值(以

10M)o

semilogx(X,Y)%对x轴的刻度用常用对数值，而y轴为线

性刻度。

semilogy(X,Y)%对y轴的刻度用常用对数值，而x轴为线

性刻度。

例5

>>x=logspace(-1,2);

>>loglog(x,10*exp(x),'-s')

>>gridon

图形结果见图1.

27

图1.3例1.52图形结果

5.图形修饰与控制

>>axissquare%将图形设置为正方

形

>>axisequal%x,y轴单位刻度

相等

»title('字符串')%图形标题

>>axis([xmin,xmax,ymin,ymax])%x轴范围在

xmin~xmax,y轴在ymin~ymax

»xlabelC字符串')%x轴标注

»ylabelC字符串’)%y轴标注

»text(x,y,'字符串')%在(x,)1)处标注说

明文字

>>gridon%加网格线

>>gridoff%消除网格线

>>holdon%保持当前图形

»holdoff%解除holdon命令

>>legend('First','Second，,n)%对一个坐标

系上的两幅图形做出图例注解

>>subplot(m,n,p)%将当前窗口分成m行

n列区域，并指定在p区绘图

例6

28

>>subplot(2,2,1);x=0:pi/60:2*pi;plot(x,exp(-i*x))

>>subplot(2,2,2);fplot(，log(x)J,[10,2e3])

>>subplot(2,1,2);plot(x,sin(x),':b',x,cos(x),'-r')

>>legend('sin(x)','cos(x)’,1)

图形结果如图1.4所示。

注意：第一句exp(-i*x)中虚部被忽略；第二句中2e3表示2x103,不

能用2*e3表示；Q不能用而表示，而用k5表示。第三句中

subplot(2,1,2)巧妙的将第二行整个区域画一个图；第四句的参

数〃表示注解视窗的位置，详见表1.9

图1.4例1.53图形结果

例7将正弦曲线0~乃/2部分与轴包围的封闭图形填充为蓝色。

>>x=0:pi/60:2*pi;

>>y=sin(x);

>>xl=0:pi/60:pi/2

>>yl=sin(xl);

»plot(x,y,'-r')

29

>>holdon

»fill([xl,pi/2],[yl,0],'b')

11-------------，上•=---------------------------1-------------，---->----

081

0.6L

0.41

0.21

\/

-0.2\/

“\/■

.06

@8\/

结果如图1.5所示-，01234567

图1.5例1.54图形结果

问题：将上面最后一句分别改为

创(修，必,力’),川(3/2,匹,3*pi/2],[0,月,0],‘尸)，

fill。+pi/2,yj加)情况有何变化？

问题：在图1.5中画出红色的直角坐标系，表示颜色的向量含义

见表1.10

三、练习与思考

(1)输入x=[2,4,1,6,8]W”(x,体会图形特点。

(2)在一幅图上画出两个周期的正弦曲线和余弦曲线，画

出坐标轴，加上各种图注，并在正弦曲线(05/2)和横轴之间填

充红色。

(3)在个窗口回出四幅图,分别绘制sin2x,tanx,Inx,10”的图

形，并加上适当的图形修饰。

附录：

30

表1.6线型

——一.

定•

义符

线型实线（缺省双划线虚线点划线

值）

表1.7线条颜色

定义符R(red)G(green)B(blue)C(cyan)

颜色红色绿色蓝色青色

定义符M(nagenta)Y(yelloe)K(black)W(white)

颜色品红黄色里便白色

表1.8标记类型

定义符+0字母）*•X

标记类加号小圆圈星号实卢八、、交叉号

型

定义符dV><

标记类棱型向上三向下三向右三向左三

型角形角形角形角形

定义符ShP

标记类正方形正六角正五角

型形星

表1.9legend参数中n的意

义

31

参数n意义参数n意义

0自动放在最3图形的左下

佳位置角

1图形的右上4图形的右下

方角

2图形的左上-1图形外右边

方

表1.10典型颜色配比方案

[R,G,B]

原色调配颜色

R（红色）G（绿色）B（蓝色）

111白色(white)

0.50.50.5灰色(gray)

000黑色(black)

100红色(red)

010绿色(green)

001蓝色(blue)

110黄色(yellow)

101洋红色

(magenta)

011青色（cyan）

0.500暗红色（dark

32

red)

10.620.4红铜色

(copper)

0.4910.83碧绿色

(aquamarine)

33

1.5微积分基本运算

一、实验目的

学会用MATLAB软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的

方法。

二、实验内容与要求

1.函数的极限

格式：limit(F,x,a)%计算符号表达式F=F(x)的极

限值，当无一4时。

1imit(F,x,a,'right')%计算符号函数尸的右极限，当尤

1时。

limit(F,x,a,'left')%计算符号函数尸的左极限，当

x~*a~时‘°

【例1】

34

>>symsxathn;

»Ll=limit((cos(x)-l)/x)%在缺省状态下，计算当x

—0时的极限值

>>L2=limit(l/x3,x,0,'right')

>>L3=limit(1/x,x,0,'left')

>>L4=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)

»v=[(1+a/x)"x,exp(~x)];

»L5=limit(v,x,inf,，left')

»L6=limit((1+2/n)"(3*n),n,inf)

计算结果为：

LI=

0

L2=

inf

L3=

-inf

L4=

1/x

L5=

[exp(a),0]

L6=

exp(6)

35

2、求单变量函数的极值

格式：x+fmin(F,a,/?)%计算在区间”6上函数尸取最小值时

的x值。

湖：在5.3及以上版本命令fmin已改为fminbnd,常用格式

如下：

X=fminbnd(F,a,&)%计算在区间4-6上函数/取最小

值时的x值。

[x,fval]=fminbnd(F,a,b)%计算在区间a-6上函数尸取

最小值加H和对应的X值。

例2求函数/(%)=2/一6/-18%+7在区间(—2,4)的极小值，并

作图。

>>f=inline(，2*x,3-6*x,2-18*x+7,);%建立内联

函数f(x),

»[x,fval]=fminbnd(f,-2,4);%求函数f的最小值

和对应的x值，

»fplot(f,[-2,4])

结果为：

x=

3.0000

fval=

—47.0000

如图1.12所示:

36

图1.12例1.62图形结果

注意用inline建立的函数f,在funbnd和fplot命令中

不用加单引号，而用M函数文件建立的函数则要加单

引号。

问题：如何求函数f的最大值？

3.函数的微分

格式：diff(s,'/,〃)％对符号表达式s中指定的符号

变量丫计算s的〃阶导数，在缺省状态

下，v=findsym(s),n=l

例3

>>symsxyt

>>Di=diff(sin(x"2)*y"2,2)%计算与Vsin/

dx

»D2=diff(Dby)外计算斗乂/布金

为［dr)

»D3=diff(d6,6)

计算结果为:

37

Di二

-4*sin(x2)*x-2*yC2+2*cos(x"2)*y"2

D2=

-8*sin(x"2)*xI2*y+4*cos(x°2)*y

D3=

720

问题1.26:试一下输入diff(”3*xA3-力*x\a,2),有什么错

误？为什么1.63中的diff(DI,y),y不可以

加单引号？(因为在'symsxyt'中已经

定义了符号变量y.)如果A是一个造成矩阵，

diff(A)有何意义(求每一列元素的差分)？

4.函数的积分

(1)quad法数值积分

格式：s=%近似地从a到b计算函数加1的数值

积分，误差为10-6

s=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差tol代替缺省

误差。

s=qnad8(fim,a,b,…)%用图精度进行计算，效率可能比

quad更好。

说明：quad8命令在6.x版本用quadl代替。

s=quad(fun,a,b,…)

例4

38

>>fun=inline('3*x,2,/(x,-2*x,…2+3);%

构造一函数fun(x)=3*2—

>>SI=quad(fun,0,2)

>>S2=quadl(fun,0,2)

计算结果为：

SI=

3.7224

S2=

3.7224

注意：用inline构造函数比用function构造函数更简单；

命令quadl最后是字母1,不是数字lo

(2)梯形法数值积分

格式：T=trapz(x,y)%用梯形法计算丫在x点上

例5

>>x=-1：.1：1;

»r=l./(l+25*x/2);%注意这里用点计算。

»T=trapz(x,r);%计算函数y从T至U1的积

分。

计算结果为：

T=

0.5492

注意：步长取短，结果较精确。

39

(3)符号函数的积分

格式：R=int(S,v)%对符号表达式S中指定的符号变

量丫计算不定积分。

R=int⑸匕“⑼％对表达式S中指定的符号变量v计算

从a至心的定积分。

例6

»symsxztalpha

»11=int(-2*x/(l+x-3)-2)

>>I2=int(x/(l+z^2),z)

»I3=int(12,x,'a','b')%这里积分区

间a,b由于没有定义，所以要加单引号

>>I4=int(x*log(l+x),0,1)

>>I5=int([exp(t),exp(alpha*t)])

计算结果为：I1=

-2/9/(x+1)+2/9*lo晨x+1)T/9*log(x-2-x+1)-2/9*3]/2)*ata

n(1/3*(2*x-l)*3^(1/2))-2*9(2*x-l)/(x"2-x+l)

I2-x*atan(z)

I3=l/2*atan(z)*(b2-a"2)

I4=1/4

I5=[exp(t),l/alpha*exp(alpha*t)]

问题：输入/6=intCexp㈠人2)+log(”,l,10),结果较复杂，怎么办？

(这时常用eval命令进一步求数值解)

40

»I6=l/2*pi(1/2)*erf(10)+10*log(2)+

10*log(5)-9-l/2*pi"(l/2)*erf(1)

»I61=eval(16)

I61=

14.1653

5.泰勒级数展开

格式：taylor(/)%求出符号函数/在处的5阶麦克

劳林型泰勒展开式。

taylor(fn,v,,a)%求出符号函数/在V=a点的”-1阶麦

克劳林型泰勒展开式。

例7

>>symsax

>>f=a/(x-10);

>>yl=taylor(f,x,3)%求f在x=0处的2阶泰

勒展开式。

>>y2=taylor(f,3,x,4)%求f在x=4处的2

阶泰勒展开式。

计算结果为：

>>yl=

-l/10*a-l/100*a*x-l/1000*a*x"2

>>y2=

T/6*aT/36*a*(x-4)T/216*a*(x-4)-"2

41

6.傅里叶级数展开

MATLAB中没有专门用际傅里叶级数展开的命令，可编一个

M函数文件实现。

function[ao,an,bn]=mfourier(f)

sysmnx

aO=int(f,-pi,pi)/pi;

an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;

bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;

例8

>>symsx

>>f=x"2+x;

>>[aO,an,bn]=mfourier(f)

计算结果为：

>>aO;

2/3*p/2

>>an=

2*(n2*pi2*sin(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*

pi*n*cos(pi*n))/rT3/pi

>>bn=

-2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n))/n2/pi

进一步化简：

>>an=simple(an)结果为2/n*pi*

42

sin(pi*n)-4/pi/n'3sin(pi*n)+4/n2*cos(pi*n)

>>bn=simple(bn)%结果为2/pi/n"2*

sin(pi*n)-2/n*cos(pi*n)

再经手_L化间不难得到an=4*(-l)An/nA2，bn=2*(-l)A(n-l)/n

三、练习和思考

(1)求下列函数的极限：

y=(l+x)“在x=0处的极限值;y=In'x/x'在x趋向于正

无穷的极限值。

(2)求下列函数导数：

y=X3+4XJ+8,y=ax'+blogx,f=ma5-na2+mn(对

a求2阶导数)。

(3)用多种方法求下列积分，比较它们的结果：

£e""sin(r+f71-sin2xdx

1--222

i——edx\x\nxdx

后kJ

(4)求下列函数的泰勒展开式：

y=e%x=0处6阶麦克劳林型泰勒展开式。

y=x/sinxx=