哈工程信号与系统本科生作业(全附详细答案)

1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时

间信号是否为数字信号？

图1-1

解信号分类如下:

[、出模拟：幅值、时间均连续(例见图1-2(a))

连续4

I量化：幅值离散，时间连续(例见图1-2(b))

角•散j抽样：时间离散，幅值连续(例见图「2(c))图1-1所示信号分别

内叫数字：幅值、时间均离散(例见图1-2(d))

为

(a)连续信号(模拟信号);

(b)连续(量化)信号；

(c)离散信号，数字信号；

(d)离散信号；

(e)离散信号，数字信号；

(f)离散信号，数字信号。

1-2分别判断下列各函数式属于何种信号？(重复1T题所示问)

(1)e~alsin(切)；

(2)e-nT；

(3)cos(〃乃)；

(4)sin(〃例))(g为任意值);

⑸耳

解

由1T题的分析可知：

(1)连续信号；

(2)离散信号;

(3)离散信号，数字信号；

(4)离散信号；

(5)离散信号。

1-3分别求下列各周期信号的周期£

(1)cos(lOt)-cos(30t)；

(2)ejl0'；

(3)[5sin(8t)]2；

OP

(4)Z(-l)'[u(t—nT)—u(t-nT-T)](n为整数)。

n=0

解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考

察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍

数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。

⑴对于分量cos(IOt)其周期工=(；对于分量cos(308,其周期T2吒。由

于3为1、的最小公倍数，所以此信号的周期T=-o

(2)由欧拉公式ejfiX=cos(以)+jsin(69t)

BPejlOt=cos(lOt)+jsin(lOt)

得周期丁=丝=2。

105

(3)因为［5sin(8t)1=25x-(⑹)言后cos(i6t)

所以周期丁=也=工。

168

(4)由于

l,2nT<t<(2n+l)T

原函数=n为正整数

-l,(2n+l)T<t<(2n+2)T

其图形如图1-3所示，所以周期为2T。

图1-3

1-4对于教材例1T所示信号，由/W求/'(-3/-2),但改变运算顺序，先求/(3。或先求

尺6

讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解原信号参见例1T，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由用)的波

形求得f(-3f-2)的波形。

两种方法分别示于图1-4和图『5中。

1-5已知;(f),为求/(%-袱)应按下列那种运算求得正确结果(式中%,a都为正

值)？

(1)/(一公)左移小

(2)/(ar)右移小；

(3)/⑷)左移也;

a

(4)f(-af)右移工。

a

解⑴因为/(-af)左移小得到的是+0)]=/(-af-%),所以采用此

种运算不行。

(2)因为/(必)右移％,得到的是/[a(fT0)]=/(af-叫)，所以采用此运算不

行。

(3)因为〃山)左移也，得到的是/1a(f+S)]=/(af+%),所以采用此运算不

aa

行。

(4)因为/(-加)右移％,得到的是/-四-与=/心一小)，所以采用此运算

a|_a]

不行。

1-6绘出下列各信号的波形：

(1)l+gsin(Qf)sin(8Qz)；

(2)[1+sin(Q/)]sin(8Qz)o

解(1)波形如图1-6所示(图中/«)=l+1sin(QO-sin(8Q0)o

(2)波形如图所示1-7(图中/(f)=[l+sin3)〉sin(8Qf))。

1-7绘出下列各信号的波形：

(1)[«(/)-w(f-r)]sin(^-f)；

(2)2w(f-7)+-2T)]sin(-^-r)°

解sin(仪f)的周期为工。

T2

(1)波形如图1-8(a)所示(图中[“(f)-“(f-TVsin(S))。在区间[0,“内,

包含有sin(T。的两个周期。

(2)波形如图1-8(b)所示(图中[“(f)—2M(f—T)+“(f—2T)kin(^f))。在区

间[T,2T]内是—sin(也/),相当于将sin(加万到像。

1-8试将教材中描述图1-15波形的表达式(1T6)和(1-17)改用阶越信号表示。

解表达式(1-16)为

Je"(当0<<。)

J5-e«。)(当toWt<8)

这是一个分段函数。若借助阶越信号，则可将其表示为

a,a,a]a,

=e-[M(f)-u(t-tn)]+[e--e-^]u(t-ta)=e-u(t)-e-^u(t

表达式(1-17)为

(0<f<%)

“04f<oo)

、aa

借助阶越信号，可将其表示为

MQaJ

=-(a-e-a,)M(/)--[1-eFf)]w(f-%)

aa

1-9粗略绘出下列各函数式的波形图:

⑴/(0=(2-e")»(/)；

(2)/«)=(3个+6/2%⑺：

(3)f(t)=(5e-'-5e-3')u(t)；

(4)f(t)=e'1cos(10⑼[w(f-1)-u(t-2)]。

图1-9

(1)信号波形如图『9(a)所示。

(2)信号波形如图1-9(b)所示。

(3)信号波形如图「9(c)所示。

(4)信号波形如图1-9(d)所示。在区间在，2］包含cos（10加）的5个周期。

1-10写出如图所示各波形的函数式。

解(a)由图1-10(a)可写出

(-2<r<0)

(0<f<2)

0(其它)

'l/p

于是/(f)=1-^[u(t+2)-u(t-2)]

(b)由图ITO(b)可写出

0"0)

1(0<r<1)

/⑴叱

(1</<2)

3t>2

于是f(f)=[“(f)—u(t—1)]+2[u(t-1)—u(f—2)]+3”(f—2)=u(f)+u(t-1)+u(t—2)

实际上，可看作三个阶越信号〃⑴，M(Z-1),2)的叠加，见图1T1,因而可

直接写出其函数表达式为

f(.t)=u(t)+u(t-l)+u(t-2)

(c)由图ITO(a)可写出

(0<f<T)

(其它)

于是/（，）=EsinaJ[M(0-M(/-T)]

1-11绘出下列各时间函数的波形图：

(1)te~'u(t)；

(2)e-('~l][u(t-\)-u(t-2')]；

(3)[1+cos(^?)][«(0-u(t-2)]；

(4)〃(，)—2〃(t—1)+〃(/—2)；

(5)[sina(r-r0)]_

a。-0)

(6)—[e~rsintu(t)]。

dt

解(1)信号波形如图172(a)所示,图中〃。二招一”⑺。

(2)信号波形如图「12(b)所示,图中f(f)=e-g)M("l)-"(.2)]。

(3)信号波形如图「12(c)所示，图中/«)=□+cos(M][“(f)—W-2)]。

(4)信号波形如图1-12(d)所示,图中/(Z)=H(Z)-2wa-l)+w(f-2)o

(5)信号波形如图lT2(e)所示，图中/«)=画也二蝴，信号关于/=偶对

称。

(6)因为

—[e^'sin/“(/)]=-e~'sintu(t)+e~'costu(t)+e~'sint8(t)

dt

--e~'sintu{t}+e'cosf"。)=—^cos|t+—\e''u(t)

41I4；

所以该信号是衰减正弦波。其波形如图lT2(f)所示，图中sin加⑴]。

dt

1-12绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间：

(1)z[w(z)-ll(t-1)];

(2)z-M(r-1)；

(3)f[u(?)—u[t—1)]+u(t—1)；

(4)(z-l)M(r-l)；

(5)-(r-l)[M(O-M(r-l)]；

(6)f[〃(f-2)-w(f-3)]；

(7)(r-2)[w(/-2)-w(z-3)]o

解(1)信号波形如图lT3(a)所示，图中⑺一〃(r-1)]。

(2)信号波形如图lT3(b)所示，图中=

(3)信号波形如图『13(c)所示,图中f(r)=/[w(r)-M(/-l)]+u(f-l)

(4)信号波形如图如13(d)所示,图中/«)=«—1)〃。一1)。

(5)信号波形如图-13(e)所示,图中f⑴=一(-1)[〃⑴一3一1)]。

(6)信号波形如图『13(f)所示,图中f(t)^t[u(t-2)-u(t-3)]0

(7)信号波形如图「13(g)所示,图中/«)=«—2)[〃。一2)—必。―3)]

1-13绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别:

(1)/,(£)=sin(ex)-w(r)；

⑵/2(0=sin(«y(r-))•«(/)；

(3)力(，)=sin(&)T())；

(4)/|(f)=sin(0(f_fo)>〃QTo)。

图1-14

(2)信号波形如图lT4(b)所示。

(3)信号波形如图174(c)所示。

(4)信号波形如图114(d)所示。

1-14应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值:

(1)£/(r-z0W)dt；

(2)「/仇-2⑺力；

(3)[5«-4)“。一?)力；

(4)/[SQ-4)i/Q-2.0)力；

(5)[：,+f)b(f+2)为；

rtc7T

(6)£(r+sinr)<J(r-—)dt；

(7)],一"源廨。)一5«—%)]力。

解有冲激信号的抽样特性£/⑺b(fTo)dt=f(t0)得

⑴£/(/-Z0W)^=/(-/0)

(2)f/D&)力=/4)

(3)设fo>O,则[,3。一%)“。-工)力=“/0--=w—=1

(4)设小>0,贝ijjb(f-£())〃(，一2%)必="(T0)=0

(5)£(e-1+t)3(t+2)dt=e2-2

(6)[«+sinf)SQ-gdt=+sin^^j+

(7)[e"俗⑺—bQ—fJdf=1-/叫

此题的(3)、(4)两小题还可用另一种方法求解：

⑶冲激久—0)位于r0处，阶越信号”-。始于?，因而

e>(?-/0)Mt-=3(t-t0)

则原式=[/(­/())力=1

（4）冲激仍位于"，而2/°）始于2%,也就是说在小处，u（t-tQ）=0,因而

a—Wo)=O

则原式=，0力=0

1-15电容G和串联，以阶越电压源近，)=瓦，⑴串联接入，试分别写出回路中

的电流灯)，每个电容两端电压丫口⑺、%2«)的表达式。

v(f)i(t)右：:心

图1-15图1-16

解由题意可画出如图1T5所示的串联电路，两电容两端的电压分别为

%0)，vC2(Z),则回路电流

2)=一℃2_叫。=.ESQ)其中,生为。1、。2的串联等效电容值。

G+02dtG+。2G+。2

再由电容的电流和电压关系，有

(^)=—f=JE

C,Lc,+C2

1-16电感心与心并联，以阶越电流源2)=/，，⑺并联接入，试分别写出电感两

端电压v(f)、每个电感支路电流i“(f)、力⑺的表示式。

解由题意可画出图1T6所示并联电路，两条电感支路的电流分别为3⑺和

i/2(t),则电感两端电压

()=L也di«)=L^

L,+L2dtL,+L2

其中_以为4的并联等效电感值。

LI+L2

再由电感的电流和电压关系，有

v(t)dt=LJ.〃⑺

L］版L,+L2

“2(f)=：［四)出=尸a")

L2工8L［+L2

1-17分别指出下列各波形的直流分量等于多少？

(1)全波整流/⑺=卜皿(d)|；

(2)/'(f)=sin“初)；

(3)/(f)=cos((yf)+sin(m)；

(4)升余弦/(f)=K［l+cos(砌］。

解(1)sin(m)的周期为主，卜in(函)|的周期为王，因而一⑺的直流分量

COco

fD=-ff(t)dt=-psin3)df=」cos(m)/=-(-1-1)=-

TJ)7T*)7T°7171

(2)/(/)=sin2(m)=；-；cos(2m)由于cos(2")在一个周期内的平均值为0,

因而了⑴的直流分量fD=-o

0QTT

(3)的两个分量cos(H)和sin(初)的周期均为三，因而的周期也为三。但

CDCO

由于cos(69f)和sin(tyf)在--个周期内的均值都为0,所以/⑺的直流分量/。二。。

(4)/⑺与(2)中/⑺类似，所以力,=K,理由同(2)。

1-18粗略绘出图1T7所示各波形的偶分量和奇分量。

/V;\°\2t

“。123，,------------------

(c)(d)

图1・17

解(a)信号/⑺的反褶/(T)及其偶、奇分量。⑺、力,。)如图1T8(a)、(b)、

(c)所示。

卜)/⑴

叼一一11

11

2-e-(-2)

一”，，产r

^3^2|ot-3-20-2-37%—F…

(a)(b)—c----

22

图1-18(c)

(b)因为/")是偶函数，所以/«)只包含偶分量没有奇分量，即

/《)=/«)，A(0=0

(C)信号/⑺的反褶"T)及其偶、奇分量/,(，)、/()如图1T9(a)、(b)、

(c)所示。

(d)信号/⑺的反褶/(T)及其偶、奇分量AQ)、。⑺如图1-20(a)、(b)、

图1-20

1-19绘出下列系统的仿真框图：

⑴乌厂(r)+人厂")==么乡e(r)；

atat

(2)47r(t)+a;r(t)+aor(t)=boe(t)+b,e(t)。

drdtdt

解(1)选取中间变量q(f)，使之与激励满足关系:

dq(t).,..

——+&“(/)=e(f)

at

①

将此式改写成4WD=ea)-aoq«)，易画出如图1-21(a)所示的方框图。再将

dt

①代入原微分方程，有

r\t)+aQr(t)=%\q'(f)+aoq(t)]+如矿(t)+aoq,⑺]=\boq'(t)+瓦矿⑹+a0\boq(t)+如'))]

对比两边，可.以得到如)与“。之间的关系式:

«，)=%4(，)+丽'。)

强此关系式在图1-21(a)中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21(b)所

/卜O

图1-21

(2)方法同(1)„先取中间变量式，),使4⑴与e(f)满足:

q"(f)+//⑴+勺式。=e(f)

②

将②式代入原微分方程后，易看出q(f)与r⑺满足：

r(f)=%q(f)+仇/。)

③

将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图。

-4

~ao

图1-22

1-20判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？

(1)r(r)=；

dt

(2)r(z)=e(t)u(t)；

(3)r(z)=sin[e(/)Jw(r)；

(4)r(z)=e(lT);

(5)r(z)=e(2t)；

(6)r(r)=e2(t)；

(7)r(r)=Je(r)6/r；

(8)«)二，e(T)dvo

解(1)由于

(f)T八(t)=

at

e2(t).G。)=df

at

而Ce(f)+C,e(r)-»G4(，)+Q，⑺=G弊"6(0+C与⑺

}]2at2at

所以系统是线性的。

当e(f)-r(f)=必⑷，而激励为eC-o)时,响应为

dt

de(—o)de(tTo).,、

-------------------=r(-t)

dtd(t-t^0

所以系统是时不变的。

由*/)=幽2可知，响应r⑴只与此时的输入e(f)有关，与这之前或之后的输入

dt

都无关，所以系统是因果的。

(2)由于

6。)->八")=/(»，(，)

e2(t)r2(t)=e2(tMt)

而Clel(t')+C2e2(t)->C,e,(0M(f)+C2e2(t)u(t)-Clrl(t)+C2r2(t,)

所以系统是线性的。

由于当6](/)=必(/+1)——1)时，(?)=w(/)—u(/—1)

而e2(t)=6](f-1)=M(Z)一-2)时，r2(t)=〃0)-〃Q-2)H八Q-1),

即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。

由r(f)=e(f)“⑺可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。

(3)由于

e/f)->八。)=sinL«)]“(，)

e2(t)—>r2(t)=sin[e2

而

C,e,(?)+C2e2(0—>r(t)=sinfc^](t)u(t)+C2e2(f)]«(/)

HG4⑺+C2r2(t)=Gsin%(t)]u(t')+C2sin[e2

所以系统是非线性的。

当激励为e1Q-%)时，响应r(f)=sin|>](f)]〃(f)*sink](f-%)]〃«—%)=r(f-％)所

以系统是时变的。

由/■⑺=sin[e«)]“⑺可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。

(4)由于

61(，)-»八(，)=0](1-，)

而

Cxex(t)+C2e2(t)fr(t)=C]e}(1-r)+C2e2(1-1)=G八⑺+C2r2。)

所以系统是线性的。

由于当e](f)=u(t)—u(t-1.5)时，A")=+0.5)—i/(r-l)

而当e2(r)=e](r—0.5)=w(z-0.5)-M(Z-2)时，

r2(r)=u(t+l)-«(z-0.5)丰八(r-0.5)

所以系统是时变的。

令rQ)=e(l-f)中f=0,则有，说r(0)=e⑴明响应取决于将来值(0时刻输出取

决于1时刻输入)，所以系统是非因果的。

(5)由于

⑺->八(f)=e,(2t)

e2(t)->r2(t)=e2(2t)

而

C(^t(/)+C->^2(0->C|^|(2/)+。202(2，)

=Ctrt(l)+C2r2(t)

所以系统是线性的

由于当e«)=“⑺一—1)时,r,(t)=u(t)-u(t-0.5)

而当e2(t)=e,(t-1)=u(t-1)-u(f-2)r2(t)=u(t-0.5)-u(t-1)rt(t-1)

所以系统是时变的。

对于"t)=e⑵)，令f=l,有R)=e(2),即响应先发生，激励后出现，所以系

统是非因果的。

(6)由于

⑺一八。)=e；⑺

02。)-G")=e；(f)

而

2

C,e,(f)+C2e2(t)->r(t)=[Cie](f)+C2e2(/)]

HGW+C2r2”)

所以系统是非线性的。

由于6|(，)-»八(，)=或(，)

02")="一4)—G。)=e；(f-为)=八QT。)

所以系统是时不变的。

由「⑺=e2⑴知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。

(7)由于

G«)f八⑺=fG(7)dz

•F-oo

e(t)—>r,(t)=[e(r)<7r

0J-OO7

(t)+C2e2(t)—>G[乌(r)dr+C2[e2(r)Jr

=C,r,(t)+C2r2(t)

所以系统是线性的。

r,Q=a

由于e(f-fo)fjr(T-t0)dr—~.>£"e(a)da=r(t-10)

所以系统是时不变的。

由r(f)=J,e(7)dr可知，t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关，所

以系统是因果的。

(8)由于

<?i(0->八⑺=f：e](r)dr

e2(r)->r2(r)=^e2(T)dr

而661(/)+。202。)f[，。品«)+=C,e^T)dv-\-C2£e2(T)Jr)

=GW+GG")

所以系统是线性的。

60>

由于e(T-t0)dr—je(a)da£e(a)da-r(t-tn)

所以系统是时变的

对于r(f)=，e(r)dr,令f=l,有*l)=[e(r)dr

即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。

1-21判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出

使该系统产生系统输出的两个输入信号。

(1)“f)=eQ—5)；

(2)«f)=《e(f)；

dt

(3)r(t)-j*e(r)dT；

(4)r(t)=e(2f)。

解(1)该系统可逆，且其逆系统为r«)=e«+5)

(2)该系统不可逆，因为当，e|(f)=G，e2(t)=C2,(6工。2且均为常数)时，

八⑺=々"),即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。

(3)该系统可逆。因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为

厂⑺=£e(f)。

dt

(4)该系统可逆，且其逆系统为r(f)=e(，。

1-22若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分：

(1)cos(2gf)；(2)cos(3gf)；(3)直流。

请你分别设计相应的系统(尽可能简单的)满足此要求，给出系统输出与输入的

约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。

解(1)若系统的输入、输出具有约数关系%)=e⑵)

则当此系统的输入信号为cos(gf)时，输出信号中会包含cos(2gf)。

(2)若系统的输入、输出具有约数关系r(f)=e(3f)

则当此系统的输入信号为cos(gf)时，输出信号中会包含cos(3gf)。

(3)若系统的输入、输出具有约数关系rQ)=e(f)+C(C为非零常数)

则当此系统的输入信号为cos(gf)时，输出信号中会包含直流成分。

三个小题中，输入信号均为cos(gf)，而输出信号中分别包含cos(2(y0/),cos(3gf)

和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号cos(gf)经系统传输后,

产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。因此在设计系统中，要考虑改变

输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。

1-23有一线性时不变系统，当激励e«)=“⑺时，响应八(f)=eF“(f),试求当

激励e«)=b«)时-，相应的响应々⑺表达式。(假定起始时刻系统无储能。)

解因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。

有LTI系统的微分性质，即若当激励为e(f)时产生的响应为r(f),则当激励为也。

dt

时产生的响应为也D,有

dt

at

ex⑺=u(t)—>rx(t)=e~u(t)

e(t)=d(t)Tr2(/)=八,=-…%⑺+小节⑴=-ae^uit)

2dt

2-1对图2-1所示电路分别列写求电压%⑺的微分方程表示。

C

-O

+

+

以。

少«)

图2-1

解(a)对于图2-1(a)所示电路列写网孔电流方程，得

2i[+由1⑴+fz(r)Jr-fz,(r)Jr=e(t)

dtbLB

[,L(「)~hT+»2(7)=~vo。)

消元可得如下微分方程：

2-jyV0(f)+5-^-7v0(0+5v0(f)+3v0(0=2e(t)

dtdt~dtdt

(b)对于图2-1(b)所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得

—jz((r)Jr+L+M*")+Ri、(f)=e(f)

CJ-1dt，)dt'

<—[母加工+L"?")+M"I⑺+电(。=0

Ckdtdt

_&2(，)=%")

消元可得如下微分方程：

j413

(L一-M")—yv(?)+2/?L—yv(Z)

dtd0t0

+[(I^L+R02J1而d2％⑺*2工Rd帚%,⑺、+/1%⑺,、

.2

=MR、e⑴

dr

(c)对于图2-1(c)所示电路列写电路方程，得

atR

<P

1「d

v(r)+/?—%(，)力+孰丁0«)=〃V]Q)

0|_L,基外dt

消元可得如下微分方程：

j3fjd

vr八CId/、1/、

3i-jTo()+%(，)+~T+~RR京”⑺+歹〜⑺，・⑺

dt、fV11\yCllKL、~R,~dt

(d)对图2-1(d)所示电路列写电路方程，电流i(f)如图2-2所示，得

Ri(f)+31i(T)d7+ii(f)=e(f)

CMs

<RQ)+v«)=e(f)

Vo«)=〃Vi(f)

消元可得如卜微分方程:

图2-2

(1+4%(，)=,e«)

atRR

2-2图2-3所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为何，荷载舱质量为机2,两

者之间用钢度系数为々的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩

擦系数分别为力和力。求火箭推进力e(f)与荷载舱运动速度匕⑺之间的微分方

程表示。

输入：推进?'

输寓：荷载舱速度

火箭质量VWW\/荷载舱质量---------►

e(t)叫m2

__________XA八八八八八八/UV—

摩擦系数:/；摩擦系数:人

图2-3

解设班的速度为匕⑴，叼，，松的受力情况如图2』所示。

网m2

图2-4

由题可知Fk与F\大小相等，均为k[[v](r)-吆⑺山。

对叫，可建立如下方程:

/iv,(r)-£[V1(r)-v(r)Ji/r=)

^(0~k2mt„①

对，叫,可建立如下方程:

山!⑺-匕⑺"-力《)=〃”若②

由式②得匕")=匕(f)+g£Vj(f)+牛Jv(0

2③

katkat

将式③代入①式，并整理可得

d3»/,/+»：,/,d2,.

而”⑺+加2〃」声叱⑷

1f,f2+k(m]+m2)d

//加2dt叫加2

-----^(0

m"?

2-3已知系统响应的齐次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。

j21

(1)^vrW+2—r(/)+2r(r)=0

dt2dt

给定：r(0+)=l,r'(0+)=2

j2j

(2)—r(/)+2—r(Z)+r(r)=0

d/dt

给定：«0+)=l,r'(0+)=2

⑶*3+2%⑴+%)=。

给定：r(0+)=r'(0+)=0,r"(0+)=l

解(1)系统的特征方程为

(x~+2a+2=0

特征根为%=-1+j,a2=-l-j

因而零输入响应的形式为

j(f)=e~'(A]cost+A2sint)(r>0+)

将r(0+)和r'(0+)的值代入求出常数

4=1

A2=3

要求的零输入响应

r.,(?)-e~'(cosr+3sinr)(t>0)

(2)系统的特征方程为

a~+2<z+1=0

特征根为%2=-1

因而零输入响应的形式为

rzi^={\e-'+A2te-')(f>0+)

将r(0+)和,(0+)的值代入求出常数

入=1

A2=3

要求的零输入响应

J。)—心(Z>0)

(3)系统的特征方程为

£+2/+a=0

特征根为a,=0,a23=-1

r

因而零输入响应的形式为j(f)=(A1+A2e-+A3te")(r>0+)

将r(0+)和,(0+)的值代入求出常数

4=1

<A2=-1

4=T

要求的零输入响应

rzi(t)=l-(t+l)e-'(t>0)

2-4给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况：

(1)gr(t)+2r(t)=e(t),r(O_)=O,e(t)=u(t)

dt

(2)二r⑺+2r(f)=3^-e(t),r(Q_)=0,e(f)=〃⑺

dtdt

(3)2二r(f)+33r(f)+4r(f)=^-e(t),r(Q_)=l,,r'(0_)=1,e(f)="(f)

dfdtdt

试判断在起始点是否发生跳变，据此对(1)、(2)分别写出其r(0+)值，对(3)

写出“0+)和-(0+)值。

分析当系统用微分方程表示时，系统的0状态到0+状态有没有跳变，取决于微

分方程右端是否包含5(f)及其各阶导数。

解(1)将e«)=〃0)代入原方程，得

4(f)+2rQ)=〃(f)

dt

可见方程右端不包含5。)及其导数项，因而「⑺在仁0处连续，即

r(0+)=r(0_)=0

(2)将e(f)="(f)代入原方程，得

4r(f)+2*f)=3S")

dt

可见方程右端包含b(f),丽r⑺在，=0处有跳变。用冲激函数匹配法确定r(0+)。

由于方程右端存在第⑴，所以左端的4r(f)必定含36(f),从而广⑺在r=0时

dt

3加(。刻有存在，△”")表示0_到。+单位跳变函数，即

他)-《0_)=3

亦即r(O+)=3+r(O_)=3

(3)将e(f)="(，)代入原方程，得

2-^r-r(f)+3—r(f)+4r(r)=①

dt-dt

可见方程右端包含3(，)，因而r⑺在仁0处有跳变。设

12

--r(Z)=6/^(0+姐②

dt

则有必"⑴③

r(t)=aZAw(Z)④

将②、③、④式代入式①，有

\2a8(t)+2办〃(3+3〃△〃⑺+△〃⑺=KQ)

从而得a=L

2

于是

13

6(0+)=”(0_)=2

«0+)="0_)=1

2-5给定系统微分方程

S)+2/r⑺+，)=ge«)+3e(f)

dtdtdtdt

若激励信号和起始状态为以下二种情况：

(1)e(f)=M(t),r(0_)=l,/(0_)=2

(2)e(t)=/勿⑺,“0_)=l,r'(0J=2

试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫

响应各分量。

解(1)先求零输入响应。由已知条件，有

九⑴+3乙⑴+2勺⑴=。

<r；.(0+)=r；.(0.)=2

%(。+)=七(0.)=1

特征方程为。2+3。+2=0

特征根为%=-l,a2=-2

故％(f)=Ae-'+Ae。，t>Q

将r'zi(0+)和j(0+)代入可求得

A}=4,A,=—3

从而%(f)=4e-'-3e-",r>0

再求零状态响应。将e(r)=“⑴代入原微分方程，有

⑴+3r',(0+2G⑴=J(/)+3z,⑺①

由于方程右端包含6(f),因而

(f)=ab(f)+姐”(f)

<r'u(/)=aAi/(Z)②

r„(f)=aZAw(Z)

将②式代入①

式，由平衡方程两边仇f)的系数，可得

a=1

因而

乙Q)=乙(0_)+1=1

勺(°+)=%(0-)=0

下面用经典法求％⑴。由所求得的特征根枝知，齐次解

%&=8-+犷，，>0

又由于e(，)=l,t>0

故设特解G(f)=p,t>0

将餐，⑺代到原方程中，有

2P=3

3

即p=—,t>0

2

3

从而=层+万，r>0

将q(0+)=0,%'(0+)=0代入上式，可得

i3

故「(fX—ZeT+yX+jf>0

53

从而全响应rQ)=j(/)+q«)=2/-/1/+万，，>()

其中自由响应：2/一9Kr>0

2

3

强迫响应：-

2

(2)用经典法先求出全响应。首先用b⑺函数平衡法确定“0+)和厂,(0+)。将

e-%”)代入原方程，有

r'\t)+3r'(0+2r(f)=-3e-3,M(r)+5(t)+3e'3,»(f)=5(f)③

方程③右端包含S(f),因而

r"«)=ab(f)+办〃Q)„

«④

，⑺=aAuQ)

将式④代入式①，由平衡方程两边演f)的系数，可得

a=1

因而，(0+)=/(0_)+1=3

«。+)=，(0一)=1

由于e(f)=e-",/>0

故设特解//f)=Ce-",f>0

将弓⑺代入原微分方程，有

9Ce-3'-9Ce-3'+2Ce-3'=-3C*"+3Ce-3'=0

所以得C=0

因而々⑺=0

由第(1)小题知，齐次解

2

rh(t)=Dxe-'+D2e-',t>0

2

因止匕全响应r(t)=%«)+%«)=D[e-'+D2e-',t>0

将初始条件r(0+)=1,/(0+)=3代入上式，可得

Dx=5,。2=-4

故全响应r(f)=£>£'+2"”,t>0

再求仁⑺。由于是同一个系统，且初始状态相同，所以此小题的％⑴与第

(1)小题的j“)相同，即

2

rzi(t)=4e-'-3e-',r>0

222

因此q⑺=径响应(t)-rziQ)=5e-'-Ae''-4e-'+3e-'=e-'-4e-',t>0

在全响应r⑺中，没有与激励e』e相同的模式项，因此强迫响应为零，整个/•⑺

均为自由响应。

2-6电路如图2-5所示，f=0以前开关位于“1”，已进入稳态，r=0时刻，S］与

$2同时自“1”转至“2”，求输出电压%。)的完全响应，并指出其零输入响应、

零状态、自由、强迫各响应分量(E和八各位常量)

解换路前，系统已进入稳态，因此

vo(OJ=E

而换路后，由于电容两端电压不会发生突变，因而有

%Q)=%(O_)=E

(1)根据电路形式，列写/NO*后的电路方程

u-------1-----=e(f)①

dtR

其中e⑺代表激励电流源，且

e(f)=Isu(t)

(2)求系统的完全响应。

齐次解：系统的特征方程

Ca+-=O

R

特征根ct=——5—

RC

1

齐次解匕/)=AJ正'

特解：由于f〉0时，e⑴=八，因此令%,")=3,代入式①，有

R$

所以B=ISR

__1_

因此完全响应％(f)=A)正'+R/s，/>0

将初始条件%(()+)=£代入上式，可得

A=E-R1S

__1_

所以完全响应乙«)=(£-R/sV正'+R3(>0

(3)求零输入响应分量。由于零输入响应与系统方程的齐次解具有相同的模式,

于是

__|_

设“(f)=cJ而'，z>0

将初始状态/(0_)=E代入上式，可得

C=E

即%i(f)=Ej正'，f>0

__i_

从而%⑴=Rls-RA：菽'，t〉0

其中自由响应分量：｛E-RIsy^',/>0

强迫响应分量：Rls,t>0

2-7如图2-6所示电路，f<0时，开关位于“1”且已达到稳态；”0时，开关

自“1”转至“2”。

(1)试从物理概念判断i(0_),40_)和i(0+),/,(0+)；

(2)写出『20+时间内描述系统的微分方程表示，求Q)的完全响应；

(3)写出一个方程式，可在-oo<f<oo时间内描述系统，根据此式利用冲激函

数匹配原理判断0_时刻和0+时刻状态的变化，并与(1)的结果比较。

图2-6

解(1)f<0时;电路已达到稳态，因此回路中电流为0,即i(0_)=0

由于此时电感两端的电压为0,所以

z'(0_)=0

换路后，由于电容两端电压不会发生突变，所以

vc(0+)=vc(0.)

又因为迫)=。皿

dt

所以i(0+)=i(0_)=0

换路后，由于电感两端的电压0+在时刻为10V,所以

“()+)=10

(2)换路后的系统微分方程为

f/(r)Jr+^^+z(r)=20M(0

dt

由于年0+时，，/，)=0,所以出0+时一，描述系统的微分方程为

这是一个齐次方程，其特征根为

(---1---(-----------------/)/

齐次解为i(t)=Ae2222,f〉0

利用初始条件i(0+)=0,40+)=10可求得

则完全响应

(3)f<0时，回路中电阻、电感及电容的电压之和为10V；f<0时，回路中电

阻电感及电容电压之和为20V。因此可在-8<，<8时间内描述系统的微分方程

为

粤+幽+叱皿

①

drdtdt

其中e(f)=10+10〃(f)

将e(f)=10+10w(f)代入方程①,有

i"«)+/⑺+&)=105(f)②

由冲激函数平衡原理，应有

["«)=.)+6△〃⑺

i\t)=tzAu(f)

将③式代入式②，有平衡方程两边S⑺的系数，有

a=10

“0+)=40)+10=10

从而

皿)=，(0.)=0

与(1)的结果一致

2-8将下列微分方程描述的系统冲激响应〃⑺和解阶跃响应g«)：

(1)4(，)+%)=2=e(f)

dtdt

(2)—r(Z)+—r(0+r(t)=—e(t)+e(t)

dtdtdt

(3)；R)+2r(f)=/e(f)+3§e”)+3e(f)

dtdrdt

解(1)系统冲激响应/?(，)满足方程

—r(/)+r(f)=2—e(f)①

dtdt

齐次解形式=NO*②

利用冲激函数匹配法求〃(0+)。由于方程①右端的最高阶导数为5(),

所以设

m)=ab'(f)+bb(f)+cA〃(f)

=abQ)+必“«)