随机过程考点总结1

一.概率论部分（30%）：

1.随机事件和概率

随机事件和样本空间的概念，随机事件的关系和运算

（1）随机试验的定义：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果在试验

前可以明确知道；（3）每次试验将要出现的结果是不确定的。满足上述特点的试验称为随

机试验，简称随机试验为试验。用E来表示。

（2）样本空间的定义：随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验样本空间，记

为。。

（3）随机事件的定义：样本空间的子集称为随机事件，简称事件。

（4）随机事件的关系：事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等

事件的包含与相等：若事件A发生必然导致事件8发生，则称事件A包含于事件8,记

为AuB或者若AuB且BuA,即A=B,则称事件4与事件8相等。若

事件A和B不能同时发生，则称事件A与B互不相容（或互斥）

（5）事件运算

事件的和：事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件5的和事件，记为

4|jB，事件发生意味着：或事件A发生，或事件3发生，或事件A与事件5都发生。

事件的和可以推广到多个事件的情景。设有〃个事件A”A2,…A"，定义它们的和事件为

{4,4,…A,,中至少有一个发生},记为

Jt=l

事件的积：事件A与事件8都发生的事件称为事件A与事件6的积事件，记为A0|B,也

简记为事件4n8（或A3）发生意味着事件A发生且事件3也发生，即A与5都发生。

类似的，可以定义〃个事件4,4,…4的积事件仆人={4,4,…A,都发生}。注：若事

k=\

件A和B互不相容，则

事件的差：事件A发生而事件3不发生的事件称为事件A与事件3的差事件，记为4-8。

对立事件（或逆事件）：若A|JB=。，则称A，B为对立事件,记做4=豆，有=A方。

事件的概率定义（包括古典型概率，几何型概率）及其计算

频率的定义：设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重

复做”次，表示事件A在这八次试验中出现的次数（称为频数）。比值＜（A）=%/〃称

为事件A在这八次试验中出现的频率。

概率的统计定义(古典型概率)：设有随机试验E,若当试验的次数〃充分大时，事件A

的发生频率力(A)稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件的概率，记为：尸(A)=p

抽样问题：

自N个元抽样方式各种不同抽取方法总数

素中进行n还原有序

〃

次简单随机N

抽样无序

/+,1

非还原有序

玲

无序

分配问题:

自n个分配方式各种不同抽取方法总数

质点分配盒子能容纳任意多个质点可辨

至UN个N"

盒子中质点不可辨

盒子能容纳1个质点可辨

4

质点不可辨

5

概率的公理化定义：

事件域：设。是一样本空间，是。的某些子集组成的集类，如果它满足下列条件：

n

(1)Qed；(2)若AeJ,贝|彳6士；(3)若A”€豆，“=1,2,...,贝ij|j4e3

2=1

则称n是Q上的一个事件域，3中的元素称为事件。

定义：设。是一样本空间，n是。上的一个事件域，尸(。是定义在n上取值为［o,i］上

的实值函数，若P(。满足：

(1)非负性：对于任一随机事件有P(A)20；

(2)规范性：对于必然事件。，P(Q)=I；

'00、co

(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件4,4,…4,…，有pUK=£P(4)

3=1/i=l

则称「(•)为3上的概率，而称(Q,3,P)为一个概率空间。

几何型概率：(1)样本空间。是一个大小可以度量的几何区域(如线段、平面、立

体)。Q(2)向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的那么，事件

A的概率由下式计算：P(A)=44,这里L(A)表示A的度量.则称此试验为几何概型.

L(Q)

概率的性质：

(1)P(①)=0;

(2)设n个事件4*2,…A“两两互不相容，则有

P(4U&UA…UA.)=£P(4)

i=\

(3)对于任一一个事件:P(A)=1-P(A)

(4)若事件满足：AuB,则有P(6—A)=P(8)—P(A),注：对任意两个事件力,

B有P(A-B)=P(A)-P(AB)

(6)P(AUB)=P(B)+P(A)-P(AB)

对于n个事件：

P[LM]=：£P(4)-EP(44)+EP(444)-…+(-1广)(4…4)

\»=1Ji=\\<i<j<nl</<；<^<n

计算举例：古典概型很多都要用到排列组合的计算，这里不讲。

例子：甲乙两人相约8-12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙

两人能会面的概率。

解：用X,Y表示甲乙二人到达的时刻，于是84XW12,84yAi2,；若以(X,Y)表示

平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：84X412,

84y412内所有的点表示出来。二人会面的充要条件是图中的阴影部分：

阴影的面积

正方形枷飘

16-2

15

1664

▲

例子：（蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是a（a>0）。向

平面任意投一长为1（l<a）的针，试求针与一条平行线相交的概率。

解：设x是针的中点M到最近的平行线的距离，夕是针与此平行线的交角，显然

0<^<^<0<x<于是投针的可能位置可以表示为。10<^?<乃,0<x<^>

投针问题就相当于向平面区域Q内投点的几何概型，设A表示“针与任一平行线相交”事件

A的面积2/

则Ax)IO<^9<zr,0<x<—sin(p>于是P(4)

。的面积

—a7_1兀a

2

条件概率的定义，事件的独立性定义

条件概率的定义：设A,B是样本空间。中的两个事件，定义尸（AIB）尚）为“在

B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

乘法公式：P（B）>0P（AB）=P（B）P（4IB）

若P(A4…Ai)>0,则

P(A4..4T)=P(4)P(&IAJP(4IA4)...P(4IA4...4T)

(4-aO、+5

PLIA"

3=i)/»=1

全概率公式：44…4为样本空间。的一个事件组，满足：（1）4A2…A”互不相容,

且P（4）＞0（i=l,2,…,〃），（2）4UA2LL.UA,,=O,则对于。中的任意一个事件B

都有:P（B）=P（AJP（BI4）+P（A2）P（8I4）+…+P（4,）P（5I4,J,由原因推知

结果。

贝叶斯公式：B是样本空间。中一个事件44…4为样本空间。的一个事件组，满足:

（I）44…4互不相容；且P（4）＞o（i=i,2,…,〃）（2）AUAU...UA,

P（A⑻=名竺1=___________________尸（A*）P⑷4）____________________

kP（B）P（4）P（8IAJ+P（4）P（*4）+…+P（4,）P（6I4）

贝叶斯公式也称为后验概率。由结果推知原因

事件独立性的概念：对于事件A,B有P（A8）=P（A）P（8）,则称事件A,B相互独

立，简称A与B独立。（互斥P（A8）=0）

注意：（1）必然事件和任意随机事件相互独立，不可能事件与任意随机事件相互独立。

（2）互不相容时间爱你与相互独立不能同时成立。

事件独立的充要条件是：P（AI6）=P（A）

若四对事件{A,B},“,B},{A,8},{X,跳中有一对是相互独立的，则另外三对也是独立的。

多个事件的独立性：设有事件A，…A,,，…，对任意的＜…＜〃，如果下式均

成立：

P（44）=P（4）P（4）

尸（444）=p（4）p（Aj）p（4）

P（AA...A.）=P（4）P（4）…P（A.）

则称n个事件相互独立。

例子:尸（可=0.3,P（0）=04,P（。万）=0.5,求尸（BI4U百

解：P（A豆）=P（A（1—8））=P（4—AB）=P（A）—P（A8）=0.5

于是P（A8）=0.2

尸（B（AU吊））+

P（"）1

P（BIAUB）=

P（AU邛P（A）+P（B）-P（AB）尸（A）+P⑻-尸（A可4

2.一维随机变量及其分布

（1）随机变量定义，分布函数定义及性质

随机变量的定义：

定义1设随机试验的样本空间为。，称定义在样本空间。上的实值单值函数X=X（e）为随

机变量.

设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个

离散型随机变量.

离散型随机变量的分布列：

设离散型随机变量X的可能取值为王,々,…（其中任何两个都不同），X取各个值得概

率分别为P，P2,…,记

-（X=XJ=PK优=1,2,…）

称为离散型随机变量的分布列，也称为概率分布（简称分布），显然分布列满足下列

p1tX

条件：〃/20（女=1,2广・）且£>«=1。

k=\

分布函数：设X为随机变量，x为任意实数，称/（x）=P（X4x）为随机变量的分布函数,

有如卜关系：

£P”当是离散性随机变量

F（x）=P（X4x）=2

当是连续型性随机变量

例子：现有7件产品，其中一等品4件，次等品3件，从中任取3件（不放回抽取），求

（1）抽取3件产品中含有一等品件数X的分布列

（2）X的分布函数

（3）抽取3件产品中含有一件一等品的概率

解（1）X的可能取值为0,1,2,3

c°c31rlC212C2cl18

p(x=0)=J,p(x=l)=^^=尸(X=2)=*=

335,~35

c35')C：C7

-0123'

.C洛4

尸（X=3）==—,于是X的分布列为：112184

35

,35353535.

分布函数的定义直接可得：

0,x<0

—,0<x<l

35

F(x)=<—,l<x<2

35

—,2<x<3

35

l,x>3

（3）所求的概率表示为：{XN1}即尸{XN1}=1_P{X<l}=l_P{X=0}=34/35

几种典型的离散型随机变量：两点分布，二项分布，泊松分布，几何分布

两点分布和二项分布：若一个随机变量X满足，且其分布为P（X=k）=C：p["T,

（左=0,1,2「一,〃）其中（0<p<l）,q=l—p,则称X服从处参数为（〃,p）二项分布.记做

X8（〃,p）,当n=l时，称8（1,p）为两点分布。或0-1分布。

泊松分布：若一个随机变量X满足,P（X=L）=（ye4（Z=0,l,2「・；/l>0）,则称则称X

服从处参数为/I的泊松分布记XF（2）

几何分布：若一个随机变量X满足,P（X=攵）=//1住=1,2,…），其中（0<〃<1）,

q=l—”，则称X服从处参数为p几何分布，记做XG（p）

连续型随机变量：

连续型随机变量的定义：

如果存在一个非负可积函数“X）,对于任意实数x,有P（XKx）=1/RM”

则称X是连续型随机变量，f（x）称为X的分布函数或密度函数。

P（aWX<b）=J：/（x*x,a,b是任意实数

概率密度函数的性质：/(X)>0,XG(-OO,+OO),「；/(X世=1

几种典型的连续型随机变量：均匀分布，指数分布，正态分布

均匀分布：若随机变量X的分布密度为：

a<x<b,

f\x)=\h-a

0,其他，

则称X服从区间[a,同上的均匀分布。简记为XU[a,b],其分布函数为

F(x)=<a<x<b

b-a

1,

指数分布：若随机变量X的分布密度为:

则称X服从参数为2的指数分布。其中4>0是常数。其分布函数为

正态分布：若随机变量X的分布密度为

](7产

f(x)=-oo<%<+oo

其中cr>0,〃为常数，则称X服从参数为(〃,cr2)的正态分布。记做XN出吟,其

分布函数为

1IPXL—川—

F(x)=1—[e@

V27io-J-°°

若XN(〃,4)那么y=士上N(0,l)

P(o<xWb)=PJ-

正态分布的性质：(l)分布函数/(x)关于轴冗=4对称，(2)正态分布有线性性即：

XNR,。：),YN.2,切若X,Y相互独立，那么

cX±dYN卜〃]±[4，+4匕；)

3.二维随机变量及其分布

二维随机变量的定义：

定义：设x,Y是应以在样本空间。上的两个随机变量，则（x,y）称为随机向量或随机变

量。对于任意实数x,y函数尸（x,y）=P{XWy}称为二维随机变量（X,Y）的分布

函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

若将二维随机变量（x,y）看成是平面上的随机点（x,y）的坐标，则分布函数E（x,y）

就表示随机点（X,y）落在以点（x,y）为顶点的左下方的无限矩形区域内的概率。

二维分布函数：设（X,y）是二维随机变量，对于任意实数二元函数：

R（x,y）=P（（XWx）n（yWy”记为P（xWy）称为二维随机变量（X,y）的分布

函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

p{x[<X<x2,y,<y<y2}

=F（x2,y2）-F（x2,yl）+F（x1,y,）-F（x,,y2）

如果二维随机变量（x,y）全部可能取到的不同值是有限对或可列的无限多时，则称

（x,丫）是离散型随机变量。设二维离散型随机变量（x,y）所有可能取值为（x,

i,j=l,2,…记P（X=玉,丫=匕）=〃r，,_/=1,2「一，则由概率定义有：

3。，丛=1

/=!j=l

称P（X=玉,丫=匕）=「r,,/=1,2/一为二维离散型随机变量（*,丫）的分布律，或随机

变量X和Y的联合分布律。可以用表格来表示X和Y的联合分布律。

例子：设随机变量X在1,2,3,4四个正数中等可能的取一个值，另一个随机变量Y在

1~X中等可能的取一整数值，试求（x,y）的分布律。

解：有乘法公式容易求的（x,y）的分布律，易知（x=i,y=/）取值情况是：t=i,2,3,4,

，是不大于，的整数且:

尸(x==力=P(y=/1x=i)尸(x=i)=；♦；,i=1,2,3,4,J<i

（x,y）分布律为:

1234

1J_111

481216

201_11

81216

30011

1216

40001

16

离散型随机变量X和Y的联合分布函数为:

.“Mx升0

对于二维随机变量（X,y）的分布函数F（x,y）,如果存在非负的函数/（x,y）使得对于任

意的X,y有尸（x,y）=/。/（〃,设四人称（乂,丫）是连续型的二维随机变量，函数

/（x,y）称为二维随机变量（X,丫）的概率密度或者为联合概率密度。

例子：假设二维随机变量（x,y）具有概率密度

2e~(2x~y\x>0,y>0

/(x，y)=«

0,其他

（1）求分布函数/（x,y）（2）求概率p{y«x}

解⑴"X,y）F（x,y）=J：fj（x,小），平［2产。"x〉0,），＞0

&x,y）=!。-叫（1-"八〉。，，〉。

0

（2）将（x,y）看作是平面上的随机点坐标，即有{y«x}={（x,y）GG},G是xoy平面

上直线y=x及其下方的部分，于是

P{yWX}=P{（X,y）eG}=JJG"x,y）dxd），

=£|2e"（2x+＞）dxdy=—

边缘分布：

二维随机变量（X,y）作为一个整体，具有分布函数/（x,y）,而X,Y都是随机变量，各

自也有分布函数，将它们记为Fx（x）和耳（y）,依次称为二维随机变量（X,y）关于X和

关于Y的边缘分布函数，可以由分布函数/（x,y）确定。

Fx（x）=P{X<x}-P{X<8}=尸（X,8）即玲（》）=尸（》,8）同理

00

4（y）=/（y，8）对于离散型随机变量x的分布律p{x=%}=ZP/=1，2,…，

六1

X的分布律p{x=fPu，/=1,2,…，记

/=1

/?,,=P{X=%,.}=Jp..(Z=1,2,•••),p.j=p{y=yj=1>,)()=1,2,…)

;=i/=]

分别称p”（i=1,2,…）和p.j（j=1,2,…）为（X,y）随机变量的独立性关于X和Y的边缘分

布律（其中的记号p”中的“”表示P,.是由p,7关于j求和后得到的，同理记号p.j中的“

“表示p./是由P,）关于i求和后得到的）

对于连续型的随机变量（X,Y）设它的概率密度为“X,y）有fx（x）=J：/（x,y）dy同

理4（y）=1/（x,沙x分别称（x）和万（），）为（x,y）关于x和关于Y的边缘概率密

度。

例子：整数N等可能的在卜10十个值中去一个值，设O=O（N）是能整除N的正整数个

数尸=1F（N）是能整除N的素数的个数（1不是素数），试写出D和F的联合分布律，并求

边缘分布。

样本点12345678910

D1223212434

F0111121112

D可能取值为1,2,3,4,F可能取值为0,1,2容易得到（。,尸）取（i,j）i=l,2,3,4,

14

i=0,l,2的概率。例如P{O=1,尸=0}=而，P[D=2,F=1}=—

可得D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示：

1234

><P{D="

01/100001/10

104/102/101/107/10

20002/102/10

P[D=i]1/104/102/103/101

例子：设随机变量X和Y具有联合概率密度

0,else

求边缘密度％(x)和/y(y)

解：人3=广〃内)办，="力=6(」),。皿1

…[0,else

二(x，y)dy#6八6所力0/1

0,else

对连续型随机变量若/(x,y)=fx(x)/r(y)则称X与Y相互独立。

对离散型随机变量若尸(X=Xi,Y=%)=p(x=x,.)p(y=yj则称X与Y相互独立。

条件分布

定义：设(x,y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若p{y=yj>(),则称

f、/>{%=r,y=y.}p

产{x=%.Iy=匕}=」~一—二包=D,i=1,2,…为在y=y,.条件下随机变量X

I"p{y=yjPjJ

的条件分布律。同理对于固定的i,若尸{x=x』>0,则称

=y/X=七}=」[〃=’工"=1,2/一为在*=若条件下随机变量Y

P[X=X(.)Pi.

的条件分布律。

例子：工厂中的--辆汽车的工序是有机器人完成的，包括紧固3只螺栓，和焊接2个焊点,

x表示螺栓紧固不良的数目，Y表示焊点不良的数目，由累积资料显示(x,y)具有分布律:

X0123叩=力

Y

00.8400.0300.0200.0100.900

10.0600.0100.0080.0020.080

20.0100.0050.0010.0010.020

0.0910.0450.0320.0131.000

P（X=i）

（1）求在X=1条件下，Y的分布律，（2）求在Y=0条件下，X的分布律

解：在X=1条件下，Y的分布律：

PiX=1}="X[}3,

11P（X=1）0.045

11P”=l）0.045

P—x小"

Y=k012

=8X=1}6/92/91/9

同理在Y=0条件下，X的分布律

例子：某人射击时集中目标的概率为P（O<P<1）,射击直至集中目标两次为止，设X表

示首次击中目标时所进行的射击次数，Y表示总共进行的射击次数，求X的Y联合分布律

及条件分布律。

解：Y=n表示在第n此射击是击中目标，且在前n-1此中有一次击中目标，已知各次射击是

独立的，于是不管机（〃?<〃）是多少，概率P（X=%,丫=〃）都等于：

pxpxqxqx…xq=p2/-2（这里q=l一p）,两个p表示击中的两次，于是

P{X=m}=ZP（X=机，丫=〃）=p2qn~2,n=2,3,・・・；加=1,2,3,…,〃一1

n=m

“sr）2""iT

又P{X=nt}=ZP'Q"2=P?Z*7'2=----------=pq"i,m=1,2,…（这里是对Y求

n=m+\n=ffi+l1-4

和，题设是已经射击了m次了，且中了一次，所以Y就是从m+1开始至无穷。）

P{Y=〃}=（〃—l）p2q“-2（第n次射中了两次，即前n-1次只有1次射中）

当"=2,3,…时

P"=〃"=〃）=消卧=NT〃E2,3,…，〃-1

当m=1,2,3,…时

2n-2

P（y=nlX=m）=pq-pqn~m~x,/?=m+1,/w+2,•••,

____?M-1

pq

定义：设二维随机变量（X,y）的概率密度为/（x,y）,（X,y）关于X和Y的边缘概率密度

为人（y），若对于固定的y，A（y）>0,则称/架?为在条件Y=y下的x的条件概率

人（y）

〃x，y)

密度记为：启y（xly）=，称匚/xiy（xlyMx-J：△为在条件Y=y下的

；（；不?

fy())

X的条件分布函数，记为尸（X4xlY=y）或Fxv（xly）即

于(%)1)

Fxw(xly)=P(XWxlY=y)=「-dx

类似的，定义源3x）=勺斗和降X3X）=匚纬%

x

Jx\7JY

例子：设G是平面上的有界区域，其面积为A,若二维随机变量（X,y）具有概率密度

“X,加""G

0,其他

则称（x,y）在G上服从均匀分布，线设二维随机变量（x,y）在圆域Y+/<1上服从均匀

分布，求条件概率Fx1（xiy）

—,x2+y2<1

解：由题意/（》,），）=<n,且有边缘概率密度

0洪他

-y2,l<y<l

4(加£/(%加=7171

0,其他

于是当一1<y<1时有:

2

71==-/1,，_J]-ywJ]_y2

&y(xiy)*田2

y2yliI_y-

71

0,其他

例子：设数X在区间（0,1）上随机的取值，当观察到X=x（xw（0,l））时数Y在（x,l）上

随机的取值，求Y的概率密度函数6(y)。

解：按题意既有概率密度力(%)=：0其他，对于任意给定的值xe(0,1),在X=x条件

下，Y的条件概率密度为：

1,

,、----,X<V<1

Aix(yix)=11

o,其他

于是X和Y的联合概率密度为：

1.

/(内)=源3》)7%(了)=(1一『

0,其他

o,其他

相互独立的随机变量：

定义：设F(x,y)及Fx(x)，Fy(y)分别是二维随机变量(X,y)的分布函数及边缘分

布函数函数，若对于所有的x,y有：

P{xWx,yWy}=P{X<x}P{y〈y}即尸(x,y)=G(x)耳(y)则称随机变量X

和Y相互独立。

设(X,y)是连续型随机变量，/(x,y),fx(x),/y(y)分别是(X,y)的概率密度和

边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件是/(%#=%(%)人(》)几乎处处成立(在平

面上出去“面积”面积为0的点，处处成立)。

(X,Y)是离散型随机变量，X和Y相互独立的条件是：对于(X,y)的所有可能的值

(4力)有：P{x=Xj,y=,}=尸{X=xi}p{Y=yj}

随机变量函数的分布：

一维随机变量函数的分布：

例子：设随机变量X具有一下分布律，试求y=(x-i)2的分布律：

X-1012

0.20.30.10.4

pk

解：Y的所有可能取值为0,1,4

p{y=o}=p{(x-1)2=o}=p(x=1)=0.1

P{y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7

P{y=4}=P{X=-1}=0.2,所以Y的分布律为:

Y014

Pk0.10.70.2

例子：设随机变量X具有概率密度

x八)

/、一，0<xv4

%(x)=8

0,其他

求随机变量y=2X+8的概率密度

解：分别记x,Y的分布函数为3(x)，K(y)，现求K(),)

y—8y-8

6(y)=P{y<y}=P{2X+8”}=PX<

2

将号(y)关于y求导，得y=2X+8的概率密度为:

二<4

y-8Vy-8

fy(y)=fx822

22

0,其他

Mg/

0,其他

例子：设随机变量具有概率密度—00<X<00,求y=x2的概率密度。

xfx(x),

解：分别记X,Y的分布函数为吊(x),4()，)，现求耳(y),由于丫=*220,于是

当y40时，4(y)=0,y〉0时有

2

Fr(y)=P{y<y}=P{x<y}

=p(-VF<x<VF}

=4(")』-")

将K(y)关于y求导，即得丫的概率密度函数为:

1

力(加河M(⑸+力(心]>0

[0,y<0

二维随机变量函数的分布:

(-)Z=X+y的分布设(X,y)的概率密度为则2=乂+丫的分布函数为:

Fz(^)=P[Z<z}=Jj,这里的积分区域G:x+yWz是直线x+y=2及

X+)0

其在左下方的半平面，如图，化为累次积分得：

Fz(z)=jjf(x,y)dxdy,固定z和y对积分//(x,做变量替换，令

x=“一y得，f'f(x,y)dx=£y)du于是

Fz(z)=t[Ldy

y叫八

由概率密度的定义即得Z的概率密度为：

/(z)=J："(z—y,y)dy由对称性/⑶又可以写成/z(z)=「：/(x,z—x)dy

若两个变量相互独立则上式可以化为：

/z(Z)=7X(Z-y)人()')力和/z(Z)=J：/x(X)万(Z一X)小(注意这是卷积)

例子：设X和Y是相互独立的随机变量，它们服从N(0,1)分布，其概率密度为:

1

2

fx(%)=——e,-oo<x<oo

兀

1_Z

4(y)=-^=e2,-00<x<00

72兀

求2=乂+丫的概率密度。

解：由前面的结论

心(Z)=j：/x(x)/y(z—x)dx

[x2(ZT)2

-——eL-e2ax

24J-00

2万J~°°

424

令/=x—■得/2(z)=Jeje~'dx---=e即Z满足N(0,2)分布。

若X,N3,苏)(j=1,2,…它们相互独立，弧和Z=X1+X?+…+X”仍然满足正

太分布，Z(M+生+…+〃“,b；+b；+…+端)一般地：有限个相互独立的正太随机变

量的线性组合仍然服从正态分布。

(二)M=max(X,Y)&N=min(X,y)的分布，

设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fjx)和耳(》)，由于

M=max(X,y)等价于X和Y都不大于Z,故有

P{M4z}=P{XVz/Az}又由于X和Y相互独立，得到M=max(X,y)的分布函数

为：工即有:

1ax(?)=P{M<z}=P{x<z,y<z}=p{x<z}p{y<z}

Emax(z)=Fjz)4(z)。

类似的N=min(X,y)的分布函数为：

工而(z)=P{NWz}=l_P{N>z}=l_P{X〉z,y>z}=l-P{X>z}P{y>z},即

%耐(2)=1—[1一心卜)]口一6卜)]

以上结果推广到n个相互独立的随机变量，设X”X2,…,X,是n个相互独立的随机变

量，它们的分布函数分别为4,(毛)(=1，2,…川则M=max(X”X2,…,X“)及

N=min(X「X2,…，X“)的分布函数分别为：

工印(%)=4(z)&⑶…&(z)，

/M(Z)=1—口―F%(z)][l—&<z)]…—

特别地，当,*2,…，X“相互独立且具有相同的分布函数尸(X)时有：

产max(z)=[F(Z)]"，*z)=1-口-F(z)]"

例子：设系统L由两个相互独立的子系统4，右连接而成，连接方式分别为(1)串联,

(2)并联，(3)备用(当系统右开始工作)，已知它们的概率密度分别为:

ae-ax,x>0旗，>o

/x(x)="K(y)=,