高数论文-微积分

-3-目录TOC\o"1-3"\h高等数学——微积分 -2-什么是微积分 -2-微积分的历史 -3-微积分的创立 -3-中国古代微积分 -3-微积分的与公式 -4-微分公式 -4-积分公式 -4-微积分的运算法则 -6-微分的运算法则 -6-积分的运算法则 -6-例题与解题方法 -7-微分的计算方法 -7-定积分的计算方法 -8-微积分的意义与应用 -8-微积分的意义 -8-微积分的应用 -8-高等数学——微积分周露摘要：本文介绍了微积分的概念与历史发展，并在文中详细例举了微积分的各种公式和求取法则，文中用例题的方式讲解了微积分的解题方法，最后在文末说明了微积分的重要意义与生活中的应用。关键词：微分、积分、方法、数学史、应用引言众所周知，微积分是数学中重要的一个分支，微积分的发现，极大地促进了数学史的发展，那么，究竟什么是微积分？谁创立了微积分？微积分究竟有什么重要的作用与意义？让我们在这篇文章中揭晓答案吧。什么是微积分微积分，是一种数学思想。从字面上就可以看出，微积分分为微分与积分两部分。那么什么是微分？而什么又是积分呢？通俗的来讲，“微分”就是无限细分，而“积分”则是无限求和。举个例子来说吧，一段绳子，你第一天切下一半，第二天切下剩余部分的一半，每天都重复这样的行为，从理论上来说，这段绳子永远都切不完，这个就是微分。而积分则恰恰与之相反，积分是一点一点累加的过程，如将硬币放进储钱罐，积少成多，这就是积分。在物理运动学中也常常有微积分的存在，如火箭发射的一瞬间的瞬时速度就是微分，而火箭每时每刻每个瞬间飞过的路程之和则是积分。微积分分为微分学与积分学。微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括定积分与不定积分等。8、9、10、11、12、13、14、其中为双曲正弦函数15、其中为双曲余弦函数16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、微积分的运算法则微分的运算法则函数的和、差、积、商微分法则设u=u(x),v=v(x),则(u+v)’=u’+v’(u+v)’=u’+v’(Cu)’=Cu(uv)’=u’v+uv’(u/v)=(u’v-uv’)/v2（v≠0）复合函数的微分法则dy‘=d’(u)dudy=y’udu积分的运算法则

∫kd（x）dx＝k∫d（x）dx

∫(d（x）±g(x））dx＝∫d（x）dx±∫g(x）dx

d∫d（x）dx＝d（x）dx

∫dd（x）＝d（x）＋C

∫d（φ（x））φ′（x）dx＝d（φ（x））＋C

∫d（x）dx＝∫d（ψ（t））·ψ′（t）dt＝G（ψ^-1(x))+C

∫udv＝uv－∫vdu或∫uv′dx＝uv－∫vu′dx例题与解题方法微分的计算方法（1）、综合应用和差积商与复合函数的求导法则如题11.求出该函数的导数f(x)=lnlnx+2x2该题中y是一个复合函数，可运用函数的和求导法则拆分为两个函数分别计算，一个是lnlnlnx，一个是x2，对于复合函数lnlnx则可以利用复合函数的求导法则，令u=lnx，u’=1/x，f(x=)lnu，f(x)’=1/u，由f(u)’=u’f(u)’,所以可求出lnlnx=(1/x)*lnlnx.、综合应用微分法则求函数微分如题2已知函数y=e-x*cos(3+x)求dy乍一看该题较为复杂，综合性也比较强，其实仔细分析可以看出该函数也不过是两个复合函数相乘，我们可以利用微分的积法则，令u=e-x，v=cos(3+x)，由d(uv)=duv+udv可得出y’=d(e-x)*cos(3+x)+e-x*dcos(3+x)，d(e-x)=-e-x，d(cos(3+x))=-sin(3+x)，所以可以求出dy=-e-x*cos(3+x)-sin(3+x).、求隐函数的微分的方法如题3x*y=ex+y求dy这道题就要用到隐函数的微分方法了，先在两边同时微分，x*y=y+x*dy，ex+y=(1+dy)*ex+y,y+x*dy=(1+dy)*ex+y,再将dy提取出来，得dy=(y-ex+y)/(ex+y-x)，这样隐函数的微分就求出来了。不定积分的计算方法、利用公式与运算法则直接计算法如题44.∫(x2+2x+1)dx该题可拆分为三个函数分别积分∫(x2+2x+1)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫1dx，又由积分公式，∫x2dx=(1/4)x4+C，∫2xdx=x2+C，∫1dx=x+C，而C为任意常数，所以∫(x2+2x+1)dx=(1/4)x4+x2+x+C.、第一种换元积分法（利用一个中间变量u代换，∫f[g(x)]*g(x)’dx=F[g(x)+C=[∫f(u)*du]）如题5∫（2-3*x）4dx求dy该题可以令2-3*x=u，先对u4求导得（1/5）*u5，再对u求导得-3，将u的导数提出，所以可得出dy=（1/5）/3*u5+C，又u=2-3*x，所以dy=（-1/15）*（2-3*x）+C。、第二种换元法（先令中间一部分为u，求出x，再求x的导数，dx=f（x）‘du）如例题6∫arctan√x/（√x*(1+x)）dx求dy该题解法与例题5相似，也是换元法，先令u=√x，x=u2，dx=2*udu。∫arctan√x/（√x*(1+x)）=∫2*arctanu/（1+u2）du，在利用第一类换元法可得出∫2*arctanu/（1+u2）du=arctan2u，最后将u换回去得出dy=arctan2√x+C。、分部积分法。（∫uv‘dx=uv-∫vu’dx或∫udv=uv-∫vdu。）如题7例题7∫x2*lnx求dy该题就可用上述公式，∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-∫（x3/3）*（1/x）dx=lnx*（x3/3）-1/3∫x2dx，又∫x2dx=x3/3，所以得出∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-x3/9+C.。这就是最简单的分部积分法。定积分的计算方法不定积分与定积分相似而不同，他们的区别在于定积分是一个具体的数值，与上下限有关，而不定积分只是原函数的一个整体，定积分的计算方法与不定积分很像，也是利用函数的积分，只不过会带入上下限的值，他们相减得出具体的数。如例题8.∫basinxdx，a=π/2，b=-π/2求定积分该题先忽视上下限，然后将中间的函数积分得到-cosx，再将上下限分别带入，-cos（π/2）=0，-cos（-π/2）=0，f（a）-f（b）=0-0=0.微积分的意义与应用微积分的意义微积分是数学史中最为重要的一环，它可以解决许多仅仅依靠数学不能有效解决的问题，由于它是有关变化率的理论，它可以通用于物理运动学速度加速度等、数学函数曲线的斜率计算中，在数学中有极大的作用。不仅在数学层面，微积分在哲学方面也有十分重大的意义。众所周知，数学并不是单纯的数字游戏，数学与自然有着密不可分的关系，当然，同哲学也是相通的。微积分的应用微积分自从创立以来，就在数学、科学、经济学、物理学、天文学等领域有着重要的作用，在数学领域，微积分可以巧妙的计算出各个难以解决的问题如在几何学中研究函数的图像、面积、体积、近似值。在物理学中，微积分同样占有重要的地位，在物理运动学中，质点非匀速运动的计算，将非匀速运动看做一段段匀速运动，先微分后积分，使得计算变得简单。物理中常用的微元法，从部分到整体的思维方式也是微积分的一种。牛顿最初创立微积分的起因也是为了解决物理问题，可以这么说，微积分的创立不促进了数学史的进展同时也极大的促进了物理学的发展。在经济学中，微积分的应用也是十分的广泛。如关于利润最大值的问题，年收入增长率的问题，需求量与价格的相对变化等问题都离不开微积分