高数第一章习题

高等数学第一章习题一、填空1.设的定义域是，，则复合函数的定义域为2.设的定义域是[1,2],则的定义域[-1/2,0]。3.设，则的定义域[0，1]。5.设的定义域为，则的定义域

6.已知，则的定义域为。7.设的定义域是,则的定义域8.设的定义域是,则的定义域9.＝010.。11.＝12.当时，是比高阶的无穷小13.当时，与为等价无穷小，则14.若数列收敛，则数列是否有界有界。15.若（A为有限数），而不存在，则不存在。16.设函数在点处连续，则在点处是否连续。（不一定）17.函数的间断点是－1、－218.函数在处连续是在该点处有定义的充分条件；函数在处有定义是在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的充要条件，是函数连续的必要条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）21.函数在区间内的最小值是不存在22.已知在＝0处连续，则＝2。23.设处处连续，且，则＝924.是的第1类间断点，且为跳跃间断点.25.是的第2类间断点，且为振荡间断点.26．设函数,当0，－1时，函数在点x=1处连续.27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列有界是数列收敛的必要条件。数列收敛是数列有界的充分条件。（2）在的某一去心邻域内有界是存在的必要条件。存在是在的某一去心邻域内有界的充分条件。（3）在的某一去心邻域内无界是存在的必要条件。存在是在的某一去心邻域内无界的充分条件。二、选择1.如果与存在，则（C）.（A）存在且（B）存在但不一定有（C）不一定存在（D）一定不存在2.如果，，则必有（D）。A、B、7.7.解：8.8.解：9.9.解：110.设时，是等价无穷小，求的值10.解：1111解：－312.12.解：13.13.解14.14解：15.15.解：16.16.解：17.17.解：118.18.解：219.设求19.解20.20.解：21.21.解：122.22.解：23.23.解：124.24.解：525.25.解：1（二．连续与间断）26.26.解27.指出函数的间断点，并判定其类型.27.解是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。 四、综合计算题（一．连续与间断）1．设，讨论在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。1.解x=－1是第一类跳跃间断点。2．设，试问：为何值时，使在＝0处连续？2.解：＝1。3．已知，求与的值，3.解：＝2，＝－3。4．讨论函数的连续性，并指明间断点的种类。4.解当＝－2或0或2时函数无定义故，－2、0、2为间断点＝－2为函数的第二类间断点。＝0为函数的可去间断点。＝2为函数的跳跃间断点。5．设，应怎样选取数，，才能使在＝－1处连续？5.解，＝0。6．讨论函数的连续性，并指明间断点的种类6.解当＝1或2时函数无定义，故＝1和2为函数的间断点，＝1为函数的可去间断点。＝2为函数的第二类间断点。7．求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型。7.解：当时，函数无定义，所以，是函数的间断点，是可去间断点；，是第二类间断点。8．设，求函数的间断点并指出其类型。8.解是第二类间断点；是跳跃间断点。9．9.解（二．已知某些极限，求另外的极限或常数）10．若，求，的值10.解，11．已知，求。11.解：12．设，试确定与的值。12.解：13．13.解：（三．零点定理、介值定理）14．设在上连续。且，则必存在使14解设15.设函数在上连续，证明：在上至少存在一点，使得15.解：利用最值、介值定理16．设在上连续，且，则，使得。16.解：利用最值、介值定理六、提高题（一．求极限）1．当时，求1.解原式＝2．设求2.解＝3.3.解 （二．零点定理、介值定理）4．设在[0,n](n为自然数，n≥2)上连续，，证明：存在使。4.解设，且连续，则：将以上各式相加得，另一方面，因为连续，所以有，由介值定理知使即5．证明：奇次方程至少有一个实根。5.证不妨设，令则，又在连续