高三-空间立体几何综合复习(一)(教师)-副本

高三空间立体几何综合复习（一）一、选择题1、已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A′B′C′，那么原△ABC的面积为．解析：如图：作C′D′平行于y′轴，交x′轴于D′，在△A′D′C′中，由正弦定理得：eq\f(a,sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sin\f(π,4))⇒a＝eq\r(6)⇒S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(6)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)2、（2012年高考（北京））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （B）A． B． C． D．3．一个体积为12eq\r(3)的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为(A)A．6eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．125．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋eq\f(8\r(5),3)，则正视图中x的值为(c)A．5 B．4C．3 D．26、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（c）A． B． C． D．7、对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线m、n，使得m//，m//，n//，n// 其中，可以判定与平行的条件有 （B） A．1个B．2个 C．3个 D．4个8.有五根长都为2的直铁条，若再选一根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(d)(A)（0,）(B)（1,）(C)(,）(D)（0,）变式：设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（a）A． B． C． D．9、如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（Ｄ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．15、已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。(B)A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解故选择B16、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。17、正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）A．2B．3C.4D.5【答案】：C【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。18、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（D）A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条19、与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点(D)（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D上的所有的点20、已知直线与平面所成角为，P为空间一定点，过P作与，所成角都是的直线，则这样的直线可作（A）A.2条B.3条C.4条D.无数条法1：圆锥法法2：与法向量21、已知二面角的大小为，P为平面外的一定点，则过点P且与所成的角都是的直线的条数为（B）A.2B.3C.4D.5法1：直接与平面的关系，找中间位置法2：与法向量成6522、已知异面直线a,b所成的角为，空间中有一定点P，过P点作直线，使得与a,b所成的角为，则这样的有（A）条A.0B.2C.3D.无数解法同上23、已知二面角的大小为，过外一定点的平面，与平面和平面所成的角都是的平面的个数为（B）A.1B.2C.3D.4转化为三个法向量之间的关系24、在正三棱锥P-ABC中，M为内(含边界)一动点，且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是（B）A.一条折线段B.一条线段C.一段圆弧D.一段抛物线B.提示：如图由于正三棱锥P-ABC的三个侧面积相等，因此，点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列等价于三个三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积成等差数列，即,所以，从而,故点M的轨迹是经过的重心且平行于BC的一条截线段25、已知正方体的棱长为1，点P在线段上，当最大时，三棱锥P-ABC的体积为（B）B.C.D.26、如图所示，M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A和AB的点，若=，那么的大小是（C）A、大于B、小于C、等于D、不能确定27、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1，CC1的中点，P为A1B1上的一动点，则PF与AE所成的角为（C）A、B、C、D、不能确定28、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1B1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P-BC1-D的大小为定值；③三棱锥D-BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值。其中真命题的个数为(D) A．1 B．2 C．3 D．429、(2010北京)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积(D)（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关30、如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是（D）A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值31、已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A）(B)(C)(D)【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴SE=，AF=，∴ABCSEF32、正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为ABCDABCDA1B1C1DABCDA1B1C1D1O【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，33、在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（C）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为【答案】C解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，，由三角形面积关系得设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以34、如图所示，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且,则与平面所成角的正切值构成的集合是（C）....35、正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量，则相邻两侧面所成二面角的余弦值与之间的函数解析式是（A）B.C.D.36、如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到的距离为（C）Α.Β.C.D.237、用一个边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上,则球体球心与蛋巢底面的距离为(B)A.B.C.D.二．填空题38、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．变式：等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,故所成角的余弦值39、已知O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影，若PA=PB=PC，则O为△ABC的___外____心；若有，则O为△ABC的___垂____心；若P到△ABC三边的距离相等，则O为△ABC的__内____心；三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，O为底面△ABC的__内____心.40、在平面几何里，“设△ABC的两边AB、AC相互垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面两两相互垂直，则_三个侧面面积的平方和等于底面的平方和_____________”。41、正方体的截面不可能是①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形.下述选项正确的是（B）①②⑤B.①②④C.②③④D.③④⑤42、如图，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则与AC夹角的余弦值为方法：基向量法43、如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是.44、如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角，为60°CD又由已知，∠ABD＝30CD连结CB，则∠ABC为与平面所成的角设AD＝2，则AC＝，CD＝1AB＝＝4∴sin∠ABC＝答案：45、在正三棱柱中，AB==1，边AB上有一点P，锐二面角、的大小分别为，则的最小值为。提示设AP=，易得46．直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．解析：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2eq\r(3)，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆心为O′，球心为O，在Rt△OO′B中，易得球半径R＝eq\r(5)，故此球的表面积为4πR2＝20π.答案：20π47、如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为。【答案】【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。三、解答题48、如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（I）证明：平面SAB；（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。50、(07全国)四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．DBCAS（Ⅱ）由（Ⅰ）知DBCAS故，由，，，得，．的面积．连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得．设与平面所成角为，则51、在四面体ABCD中，AB=AC=1，，AD=,是正三角形求证：求AB与平面ACD所成的角(取CB中点E连结EA、ED)52、已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，求证：若PB=3,求直线AB与平面PBC所成的角53、如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PD=,=证明：平面PAB求异面直线PC与AD所成的角的大小求二面角P-BD-A的大小54、如图已知矩形过作平面,再过作交于作交于求证：若平面交于，求证：.55、如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时的值为多少？解：因平面，则又，故平面，故平面平面，，在因此当且仅当时，上式中等号成立，即取得最大值这时，，又，由三垂线定理的逆定理，得，在中，由，知56、如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。（1）求证：∥平面；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上确定一点，使得与所成的角是57、如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，。另一个侧面是正三角形。（1）求证：（2）求二面角的大小（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。58、如图，在三棱锥中，，，，平面平面。（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的大小。59、（2006年江苏）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ