7.32021届高三数学专题复习练习基本不等式(教师版)

【课前测试】1、“x>0”是“x＋eq\f(1,x)≥2成立”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.因为x，eq\f(1,x)同号，所以若x＋eq\f(1,x)≥2，则x>0，eq\f(1,x)>0，所以“x>0”是“x＋eq\f(1,x)≥2成立”的充要条件，故选C.答案：C2、已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．解析：由a＋2b＝3得eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(4,3)＋eq\f(a,3b)＋eq\f(4b,3a)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq\f(8,3).当且仅当a＝2b＝eq\f(3,2)时取等号．答案：eq\f(8,3)

基本不等式【知识梳理】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)

【课堂讲解】考点一基本不等式公式的简单应用例1、若x>0，求函数y＝x＋eq\f(4,x)的最小值，并求此时x的值；解：当x>0时，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)在x＝2时取得最小值4.变式训练：1、已知x>0，求f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值；解：∵x>0，∴f(x)＝eq\f(12,x)＋3x≥2eq\r(\f(12,x)·3x)＝12，当且仅当3x＝eq\f(12,x)，即x＝2时取等号，∴f(x)的最小值为12.2、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：∵x>0，y>0，∴eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案：C3、eq\r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.eq\f(9,2)C．3 D.eq\f(3\r(2),2)解析：选B因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，eq\r(3－aa＋6)≤eq\f(3－a＋a＋6,2)＝eq\f(9,2)，当且仅当a＝－eq\f(3,2)时等号成立．答案：B4、已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是()A．4B．5C．6 D．7解析：选B因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1＋b＋2,2)))2，即16≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋3,2)))2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，故选B.答案：B考点二配凑法应用命题点1凑系数例2、已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．解析：x(4－3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4－3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号．答案：eq\f(2,3)命题点2凑项例3、已知x>2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；解：∵x>2，∴x－2>0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6.变式训练：1、设0<x<eq\f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；解：∵0<x<eq\f(3,2)，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时，等号成立．∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).∴函数y＝4x(3－2x)(0<x<eq\f(3,2))的最大值为eq\f(9,2).2、已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；解：∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋x－3＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，当且仅当eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.3、设x>0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)解析：y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．∴函数的最小值为0.故选A.答案：A4、已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．解析：因为x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.答案：1考点三常数代换法命题点1乘“1”法例4、已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．解：方法一∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋10≥6＋10＝16，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.方法二由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1可知x>1，y>9，∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq\r(x－1y－9)＋10＝16，当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.命题点2常数替换例5、已知正数x，y满足x＋2y＝3，则eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．解析：eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(\f(x＋2y,3),y)＝eq\f(y,x)＋eq\f(x,3y)＋eq\f(2,3)≥2eq\r(\f(y,x)×\f(x,3y))＋eq\f(2,3)＝eq\f(2\r(3)＋2,3)，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(x,3y)，即x＝eq\r(3)y时等号成立，所以eq\f(y,x)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(2\r(3)＋2,3).答案：eq\f(2\r(3)＋2,3)变式训练：1、已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y的最小值是________．解：∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(2)(当且仅当y＝eq\r(2)x时取等号)，∴当x＝eq\r(2)＋1，y＝2＋eq\r(2)时，(x＋y)min＝3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)2、已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为．解析：∵x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq\f(2x＋5y,20)＝eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))≥eq\f(1,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋2\r(\f(5y,x)·\f(2x,y))))＝eq\f(7＋2\r(10),20)，当且仅当eq\f(5y,x)＝eq\f(2x,y)时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝20，,\f(5y,x)＝\f(2x,y)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10\r(10)－20,3)，,y＝\f(20－4\r(10),3).))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(7＋2\r(10),20).答案：eq\f(7＋2\r(10),20)3、设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值．解析：方法一由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18.当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.方法二由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1.∴x＋y＝(x＋y)＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.当且仅当eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18.答案：184、设正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为8．解析：正实数a，b满足a+b＝1，则＝+＝++4≥2+4＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立；∴的最小值为8．故答案为：8．答案：8考点四消元法应用例6、已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝eq\f(2a＋3b,a＋b)()A．有最大值eq\f(14,5) B．有最小值eq\f(14,5)C．有最小值3 D．有最大值3解析：∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b>0，∴eq\f(a,a＋b)≤eq\f(a,a2＋a＋4)，∴－eq\f(a,a＋b)≥－eq\f(a,a2＋a＋4)，∴u＝eq\f(2a＋3b,a＋b)＝3－eq\f(a,a＋b)≥3－eq\f(a,a2＋a＋4)＝3－eq\f(1,a＋\f(4,a)＋1)≥3－eq\f(1,2\r(a·\f(4,a))＋1)＝eq\f(14,5)，当且仅当a＝2，b＝8时取等号．故选B.答案：B变式训练：1、若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．解析：因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝eq\f(4a－1,a－1).又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋eq\f(6,a－1)＋1＝6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15.因为a－1>0，所以6(a－1)＋eq\f(6,a－1)＋15≥2eq\r(6a－1×\f(6,a－1))＋15＝27，当且仅当6(a－1)＝eq\f(6,a－1)(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.答案：272、已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．解析：因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝eq\f(4－y,y＋2).由x＝eq\f(4－y,y＋2)>0，得－2<y<4，又y>0，则0<y<4，所以x＋y＝eq\f(4－y,y＋2)＋y＝eq\f(6,y＋2)＋(y＋2)－3≥2eq\r(6)－3，当且仅当eq\f(6,y＋2)＝y＋2(0<y<4)，即y＝eq\r(6)－2时取等号．答案：2eq\r(6)－3考点五整体法应用例7、若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)知，a>0，b>0，所以eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)，))即a＝eq\r(4,2)，b＝2eq\r(4,2)时取“＝”，所以ab的最小值为2eq\r(2).答案：C变式训练：1、已知正数a，b满足a+2b+ab＝6，则a+2b的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8解析：依题意，6＝a+2b+ab＝a+2b+×a×（2b）≤a+2b+，即（a+2b）2+8（a+2b）﹣48≥0，解得a+2b≤﹣12（舍）或者a+2b≥4，故a+2b的最小值为4．故选：B．答案：B2、已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析：因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy．所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2．当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．所以x＋y的最大值为2．答案：23、已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．解析：因为x>0，y>0，所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)，令x＋2y＝t，则8≤t＋eq\f(t2,4)，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．答案：4考点六换元法的应用例8、已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)的最小值为________．解析：∵x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，∴eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,2)[(x＋1)＋2y]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(2,y)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2y,x＋1)＋\f(2x＋1,y)))≥eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f(2y,x＋1)·\f(2x＋1,y))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2y,x＋1)＝\f(2x＋1,y)，,x＋2y＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)))时取等号，故eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2,y)的最小值为eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)变式训练：1、若正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值为()A．16 B．9C．6 D．1解析：∵正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝ab，eq\f(1,a)＝1－eq\f(1,b)>0，eq\f(1,b)＝1－eq\f(1,a)>0，∴b>1，a>1，则eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(9,a－1b－1))＝2eq\r(\f(9,ab－a＋b＋1))＝6(当且仅当a＝eq\f(4,3)，b＝4时等号成立)，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值为6，故选C.答案：C2、设a，b为正实数，则+的最小值为．解析：设a+2b＝m，a+b＝n，（m＞0，n＞0），则a＝2n﹣m，b＝m﹣n，即有+＝+＝+﹣5≥2﹣5＝4﹣5．当且仅当m＝n，即a＝（2﹣）n，b＝（﹣1）n．取得等号，则所求最小值为4﹣5．故答案为：4﹣5．答案：4﹣5考点七基本不等式的综合应用求参数值或取值范围例9、已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于或等于9，∵1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋2eq\r(a)＋1，当且仅当y＝eq\r(a)x时，等号成立，∴a＋2eq\r(a)＋1≥9，∴eq\r(a)≥2或eq\r(a)≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B.答案：B变式训练：1、若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围是________．解析：x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立⇔a≤x＋eq\f(1,x)，x∈(0,1)恒成立，∵x∈(0,1)，x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，∴a≤2.答案：(－2、已知a>0，b>0，若不等式eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．24解析：由eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋3b)，得m≤(a＋3b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6.又eq\f(9b,a)＋eq\f(a,b)＋6≥2eq\r(9)＋6＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(9b,a)＝\f(a,b)，即a＝3b时等号成立))，∴m≤12，∴m的最大值为12.答案：B3、已知不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0可化为2(x－1)＋eq\f(8,x－1)>－m－2，因为x>1，所以2(x－1)＋eq\f(8,x－1)≥2eq\r(2（x－1）·\f(8,x－1))＝8，当且仅当x＝3时取等号．因为不等式2x＋m＋eq\f(8,x－1)>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，所以－m－2<8.解得m>－10.答案：(－10，＋∞)

【课后练习】1．函数f(x)＝eq\f(x2＋4,|x|)的最小值为()A．3 B．4C．6 D．8解析：f(x)＝eq\f(x2＋4,|x|)＝|x|＋eq\f(4,|x|)≥2eq\r(4)＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.答案：B2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的一个充分不必要条件是()A．x＝y B．x＝2yC．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1解析：∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2eq\r(2xy)，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的充分不必要条件．故选C.答案：C3．已知正数a，b满足a＋b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A.eq\f(5,3) B．3C．5 D．9解析：由题意知，正数a，b满足a＋b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝4＋1＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)时等号成立，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值为9，故选D.答案：D4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5解析：依题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取等号，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).答案：C5．已知a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．4 B．2eq\r(2)C．8 D．16解析：由a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，得ab＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(2).当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)时等号成立．故选B.答案：B6.已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,2) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值1解析：f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(x－22＋1,2x－2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1.当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时等号成立．答案：D7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________．解析：由xy＋x－y－10＝0，得x＝eq\f(y＋10,y＋1)＝eq\f(9,y＋1)＋1，∴x＋y＝eq\f(9,y＋1)＋1＋y≥2eq\r(\f(9,y＋1)·1＋y)＝6，当且仅当eq\f(9,y＋1)＝1＋y，即y＝2时，等号成立．答案：68．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．解析：由题意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，两边同除以(ab)2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,ab)))2＝eq\f(4ab3,a2b2)＋eq\f(4ab,a2b2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab＋\f(1,ab)))≥4·2eq\r(ab·\f(1,ab))＝8，当且仅当ab＝1时取等号．所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(2)，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2)9．若a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7 B．8C．9 D．10解析：选C因为a，b都是正数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．答案：C10．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞] D．(解析：选D∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2．答案：D11．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为.解析：由已知，得2a＋eq\f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)＝2eq\r(2a－3b)＝2eq\r(2－6)＝eq\f(1,4)，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故当a＝－3，b＝1时，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)12．若a，b∈R，ab＞0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为.解析：∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，∴eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)，由于ab＞0，∴4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4(当且仅当4ab＝eq\f(1,ab)时“＝”成立)，故当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,4ab＝\f(1,ab)))时，eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为4.答案：413．若正实数x，y满足x＋y＝2，且eq\f(1,xy)≥M恒成立，则M的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1；又eq\f(1,xy)≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.答案：A14．(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2)．当x<eq\f(3,2)时，有3－2x>0