福建省福州教育学院第二附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2021-2022高三（上）福州教育学院二附中开学考卷数学试卷（测试时间：120分钟；满分：150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算，由元素个数即可求解.【详解】因为，，所以，所以真子集个数为.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，真子集，属于容易题.2.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A.B.，C.，，D.，，【答案】A【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可．【详解】，，解得：或，故不等式成立的一个充分不必要条件是，故选：．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．3.若，则的最大值是（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】首先根据定义，原式变形为，再利用基本不等式求最大值.【详解】，，，则，即，当，即时等号成立，所以的最大值是-1.故选：B【点睛】易错点点睛：本题考查利用基本不等式求最大值，需满足“一正，二定，三相等”的条件，而本题的条件是，所以应变形为.4.不等式的解集为空集，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，解出取值范围，即可得出答案.【详解】因为不等式的解集为空集，所以，解得：.则的取值范围是.故选：A.5.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.【详解】由，得，所以，所以．故选：D.6.设为可导函数,且=,则的值为A.1B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析:先将化简得到其等于,再求它的值.详解:因,故答案为B点睛：（1）本题主要考查导数的定义和极限的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2),分式的分母一定是自变量的增量，上面一定是函数值的增量，如果不满足，就要利用极限运算化简.7.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间【详解】函数y=log5（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），令t=x2-2x，则y=log5t，∵y=log5t为增函数，t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，∴函数y=log5（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞），故选B．【点睛】本题考查知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键．8.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得到结论【详解】解：定义域为，因为，且，所以此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，且，所以此函数为非奇非偶函数；的定义域为，因为，所以为奇函数，但在和上为减函数，所以此函数不符合题意；的定义域为，因为，所以为奇函数，因为当时，为增函数，则在上递增，符合题意，故选：D【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为A.2B.1C.0D.【答案】BCD【解析】【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数过原点的切线．【详解】解：函数的导数为；所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；故选：BCD【点睛】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题．10.已知则可能满足关系是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用指数运算法则可得，结合基本不等式，对选项逐个分析，可得到结果.【详解】由，可得，，∴，，∴，即，∴，依题意知为不相等的正数，∴，∴，解得，∴，故AB正确；又，∵，而，∴，即，故C正确；∵∴，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查指数幂的运算法则与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题.11.如如图，是函数的导函数的图像，则下列说法正确的是（）A.为函数递增区间B.为函数的递减区间C.为函数的递增区间D.函数有3个零点【答案】AB【解析】【分析】根据导数与单调性的关系判断．【详解】由导函数图象知在和上，，递减，在和上，递增，但没有函数的值的大小正负，不能得出其零点个数．故选：AB．12.已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集为________【答案】【解析】【详解】由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.14.已知，不等式在上恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】作出分段函数图象，可知在上单调递减，不等式可转化为在上恒成立，即，转化为即得解【详解】作出分段函数的图象如图，要使不等式在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，∴，解得：.故答案为：15.定义在区间上的函数恰有1个零点，则实数的取值范围是____【答案】或【解析】【分析】分为函数有一个点零点和两个零点分类讨论，若一个点零点则，若有两个零点，再分为三种情况求解.【详解】（1）若函数只有一个零点，则，即，此时，函数只有一个零点，符合题意；（2）若函数有两个零点，且在区间恰有1个零点，则或或，由得，解得，由得，解得，由得，无解.所以，当时，函数有两个零点，且在区间恰有1个零点.综上所述，实数的取值范围是或.【点睛】本题考查函数零点所在区间.方法：1、根据二次函数的性质按零点个数分类讨论；2、分离参数转化为两个函数的交点问题求解.16.（多空题）已知函数，设是的极值点，则=__________，的单调递增区间为___________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用导数，根据极值点处导数为0以及进行求解.【详解】因为函数，所以，，因为是的极值点，所以，解得，所以，，，所以在上单调递增，又，所以由有：，故的单调递增区间为：.故答案为：，.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知全集，函数的定义域为集合，集合（1）求集合；（2）求.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合（2）先根据数轴求，再根据数轴求交集试题解析：（1）由题意可得：，则（2）18.已知:,:,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】计算得到，或，，根据条件得到是的真子集，计算得到答案.【详解】令或由已知是的充分不必要条件得,是的真子集,所以或解得或,所以,即所求的取值范围是.【点睛】本题考查解不等式，根据充分不必要条件求参数，意在考查学生的综合应用能力.19.已知，，.（1）求的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出的最大值；（2）对变形为：，然后运用基本不等式求解即可.【详解】解：（1），，当且仅当时取等号，即时取等号.，所以的最大值为.（2），，当且仅当时取等号，即时取等号.所以的最小值为.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，基础题.20.已知函数在处有极值2．求的值；求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】求出,根据极值的定义可得，解方程组可求出的值；利用（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，可得在上递减，在上递增，利用函数的单调性可得出函数的最值．【详解】函数在处取得极值2，∴，解得.由得：，令，解得：，令，解得：或，故在递减，在递增，故的最大值是或，而，故函数的最大值是2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，属于中档题．求函数极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21.已知函数（1）作出函数的图象；（2）根据函数图象写出的单调区间；（3）方程恰有四个不同的实数根，写出实数的取值范围．【答案】（1）作图见解析；（2）递增区间为，递减区间为（3）【解析】【分析】（1）求得和时的解析式，画出的图象；（2）根据图象直接写出单调区间；（3）根据图象可求出顶点和与轴的交点，即可求得答案【小问1详解】因为，所以的图象如图所示【小问2详解】由（1）的图象可得的递增区间为：，的递减区间为：【小问3详解】由于，当时，最大值，当时，最大值，所以当时，与恰有四个不同的交点，即方程恰有四个不同的